Из теоремы Лиувилля непосредственно следует, что функция распределения должна выражаться лишь через такие комбина- ции переменных р, д, которые при движении подсистемы как замкнутой остаются постоянными. Это — так называемые меха- нические инварианты или интегралы движения, являющиеся, как известно, первыми интегралами уравнений движения. Мож- но, следовательно, сказать, что функция распределения, являясь функцией механических инвариантов, сама есть интеграл дви- жения. Оказывается возможным чрезвычайно сузить число интегра- лов движения, от которых может зависеть функция распреде- ления. Для этого надо учесть, что распределение р\2 для со- вокупности двух подсистем равно произведению функций рас- пределения р\ и р2 этих подсистем в отдельности: р\2 = р\р2- Поэтому mpi2 = lnpi + тр2, D.1) т. е. логарифм функции распределения есть величина аддитив- ная. Мы приходим, следовательно, к заключению, что логарифм функции распределения должен быть не просто интегралом дви- жения, но и аддитивным интегралом движения. Как известно из механики, существует всего семь незави- симых аддитивных интегралов движения: энергия, три компо- ненты вектора импульса и три компоненты вектора момента импульса. Обозначим эти величины для а-й подсистемы (как функции координат и импульсов ее частиц) соответственно че- рез Еа (р, q), Pa (р, q), Ма (р, q). Единственная аддитивная же комбинация этих величин есть линейная комбинация вида \пра = аа + f3Ea(p, q) + 7Pfl(p, q) + SMa(p, q) D.2) с постоянными коэффициентами аа, /3, 7, 5, причем /3, 7, 8 долж- ны быть одинаковыми для всех подсистем данной замкнутой си- стемы. К подробному изучению распределения D.2) мы вернемся в дальнейшем (гл. III). Здесь же для нас существенно лишь следу- 26 ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИКИ ГЛ. I ющее обстоятельство. Коэффициент аа есть просто нормировоч- ная постоянная, определяющаяся условием f padp^dq^ = 1. Постоянные же /3, 'у, д—всего семь независимых величин — могут, очевидно, быть определены по семи же постоянным зна- чениям аддитивных интегралов движения всей замкнутой системы. Таким образом, мы приходим к важнейшему для статистики выводу. Значения аддитивных интегралов движения—энергии, импульса и момента— полностью определяют статистические свойства замкнутой системы, т. е. статистические распределения любых ее подсистем, а с ними и средние значения любых их физических величин. Эти семь аддитивных интегралов движе- ния заменяют собой то невообразимое множество данных (на- чальных условий), которое требовалось бы при механическом подходе. Изложенные соображения непосредственно позволяют соста- вить для замкнутой системы простую функцию распределения, пригодную для описания ее статистических свойств. Поскольку, как мы теперь знаем, значения неаддитивных интегралов дви- жения не оказывают влияния на эти свойства, то для описания последних можно воспользоваться любой функцией /э, зависящей только от значений аддитивных интегралов движения систе- мы и удовлетворяющей теореме Лиувилля. Простейшей такой функцией является функция, равная р = const для всех точек фазового пространства, соответствующих заданным постоянным значениям энергии (Eq), импульса (Pq) и момента (Mq) систе- мы (вне зависимости от значений неаддитивных интегралов), и р = 0 для всех прочих точек. Ясно, что определенная та- ким образом функция во всяком случае остается постоянной вдоль фазовой траектории системы, т. е. удовлетворяет теореме Лиувилля. Данная формулировка, впрочем, не вполне точна. Дело в том, что точки, определяемые уравнениями E(p,q)=E0, P(p,q)=P0, M(p,q)=M0, D.3) образуют некоторое многообразие всего 2s — 7 измерений (а не 2s измерений, как фазовый объем). Поэтому, для того чтобы ин- теграл f p dp dq был отличен от нуля, функция р(р, q) должна обращаться в этих точках в бесконечность. Правильная запись функции распределения замкнутой системы гласит: р = const • 6(Е - Е0N(Р - РоЖМ - Мо). D.4) Наличие E-функций1) обеспечивает обращение р в нуль во всех х) Определение и свойства ^-функций—см., например, III, § 5. РОЛЬ ЭНЕРГИИ 27 точках фазового пространства, в которых хотя бы одна из вели- чин ?, Р, М не равна своему заданному значению Eq, Pq, Mq. Интеграл же от р по всякому фазовому объему, заключающе- му в себе хотя бы часть указанного выше многообразия точек, конечен. Распределение D.4) называется микроканоническим1) . Импульс и момент замкнутой системы связаны с ее движе- нием как целого — равномерным поступательным движением и равномерным вращением. Поэтому можно сказать, что стати- стическое состояние системы, совершающей заданное движение, зависит только от ее энергии. Благодаря этому энергия приобре- тает в статистике совершенно исключительную роль. Для того чтобы в дальнейшем совсем исключить из рассмот- рения момент и импульс, можно применить следующий при- ем: будем представлять себе систему заключенной в твердый «ящик» и пользоваться системой координат, в которой «ящик» покоится. В таких условиях момент и импульс вообще не будут уже интегралами движения, и единственным аддитивным инте- гралом движения останется энергия; в то же время на статисти- ческих свойствах малых частей системы (подсистем) наличие «ящика», очевидно, вообще не скажется. Поэтому для логариф- мов функций распределения подсистем будем иметь вместо D.2) еще более простые выражения: In pa = aa+f3Ea(p,q). D.5) Микроканоническое же распределение для всей системы напи- шется в виде р = const -б(Е-Ео). D.6) До сих пор мы предполагали, что вся замкнутая система находится в статистическом равновесии. Другими словами, мы рассматривали ее в течение времен, больших по сравнению с ее временем релаксации. На практике, однако, обычно возникает необходимость рассматривать систему в течение времен, срав- нимых или даже малых по сравнению со временем релаксации. Для больших систем это оказывается возможным благодаря существованию наряду с полным статистическим равновесием всей замкнутой системы так называемых неполных (или ча- стичных) равновесий. г) Подчеркнем лишний раз, что это распределение отнюдь не является ис- тинным статистическим распределением замкнутой системы. Признание его истинным эквивалентно утверждению, что фазовая траектория замкнутой системы в течение достаточно длительного времени пройдет сколь угодно близко к любой точке многообразия, определяемого уравнениями D.3). Но такое утверждение (известное под названием эргодической гипотезы) в об- щем случае заведомо неправильно. 28 ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИКИ ГЛ. I Дело в том, что время релаксации растет с увеличением раз- меров системы. В силу этого обстоятельства отдельные малые части системы сами по себе приходят в равновесное состояние значительно быстрее, чем происходит установление равновесия между различными малыми частями. Это значит, что каждая малая часть системы описывается своей функцией распределе- ния вида D.2), но значения параметров распределения /3, 7> ^ различны для разных частей. В таком случае говорят, что си- стема находится в неполном равновесии. С течением времени неполное равновесие постепенно переходит в полное, причем па- раметры /3,^,6 для каждой малой части, медленно изменяясь со временем, в конце концов становятся одинаковыми вдоль всей замкнутой системы. Часто приходится иметь дело с неполными равновесиями также и другого рода. Это —неполные равновесия, происхожде- ние которых связано не с большой разницей в длительности времен релаксации для всей системы и ее малых частей, а с разницей в скоростях всевозможных процессов, идущих во всей системе. Наглядным примером может явиться неполное равно- весие в смеси нескольких веществ, между которыми идет хи- мическая реакция. Благодаря сравнительной медленности тече- ния химических реакций, равновесие по отношению к движению молекул устанавливается, вообще говоря, значительно быстрее, чем равновесие по отношению ко взаимным превращениям моле- кул, т. е. по отношению к составу смеси. Это обстоятельство да- ет возможность рассматривать неполные равновесия смеси как равновесия при заданном (в действительности неравновесном) ее химическом составе. Наличие неполных равновесий позволяет ввести понятие о макроскопических состояниях системы. Именно, в отличие от механического микроскопического описания (т. е. задания ко- ординат и импульсов всех частиц системы), макроскопическим называется описание системы заданием средних значений фи- зических величин, определяющих то или иное ее неполное рав- новесие. Например, это могут быть средние значения величин, характеризующих отдельные достаточно малые, но макроско- пические части системы, каждую из которых можно считать находящейся в некотором своем частном равновесии.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Роль энергии» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
