Покажем на простом примере, каким образом осуществляет- ся переход от уравнений типа (94.16), (94.17) к обычному квази- классическому кинетическому уравнению. Мы рассмотрим слабо неидеальный ферми-газ при температурах Т ~ ер, предполагая выполненными условия квазиклассичности: промежутки време- ни т и расстояния L, на которых существенно меняются все ве- личины, удовлетворяют неравенствам reF > 1, LpF > 1 (95.1) (ср. § 40). Хотя мы, естественно, не получим в этом случае ничего нового, вывод содержит поучительные моменты, полезные и в более сложных случаях. 490 ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА Квантовое кинетическое уравнение должно определять одно- частичную матрицу плотности p(t, гх,Г2). Для перехода к ква- зиклассическому случаю целесообразно воспользоваться ее сме- шанным координатно-импульсным представлением, произведя фурье-разложение по разности ? = ri — Г2 и оставив коорди- натную зависимость от г = (ri + Г2)/2. При этом так что соответствующий фурье-образ есть (спиновые индексы опускаем) n(i,r,p) ye^(i,r+,r|) dt (95.2) Обратное преобразование: p(t, гь г2) = 11 e-(—)n (*, Е!±?», р) |Е.. (95.3) Интегрирование функции п(?, г, р) по координатам дает функцию распределения частиц по импульсам, как это видно из выражения этого интеграла через исходную матрицу плотности: Np = f n(t, r, p) dsx=Aff е-^Г1-Г2V(?, гь г2) dsXl dsx2. (95.4) Интегрирование же по импульсам дает распределение по коор- динатам, т. е. пространственную плотность числа частиц, как это снова видно из выражения через матрицу плотности: N(t, г) = / n(?, r, p) dsp = J\fp(t, r, r). (95.5) Саму же функцию п(?, г, р) в общем квантовом случае отнюдь нельзя рассматривать как функцию распределения по координа- там и импульсам одновременно; не говоря уже о том, что это про- тиворечило бы основным принципам квантовой механики, опре- деленная согласно (95.2) функция п(?, г, р) в общем случае даже не положительна). Функция п(?, г, р) имеет, однако, буквальный смысл функ- ции распределения в квазиклассическом приближении. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим оператор какой-либо физической величины, относящейся к отдельной частице и зависящей от г ир:/ = /(г, р) = /(г, — iV) -1). По определению матрицы плот- ности, среднее значение величины / дается интегралом 7 = /[Лр(*? гЬ г) Для определенности можно считать, что все операторы V стоят пра- вее г. В квазиклассическом приближении это несущественно. §95 КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 491 где /i действует на переменную г. Подставим сюда р в виде (95.3) и учтем, что при условиях (95.1) п является более медленно ме- няющейся функцией гх, чем множитель ехр(гргх). Поэтому до- статочно дифференцировать только последний, что сводится к замене — iVi —» р. Тогда выражение / примет вид / = 11 /(r, p)n(t, r, p) d3x^, (95.6) что (ввиду произвольности /) как раз соответствует определе- нию классической функции распределения. Ниже мы будем писать уравнения для гриновской функции G l~(Xj_,-X'2), наиболее тесно связанной (согласно (92.5)) с мат- рицей плотности. Введем для нее «четырехмерное» смешанное представление G~+(X, P)= f eiPSG~+ (х + \Z,X- is) d4E, (95.7) где Р = (ш,р), X = (t,r), H = (Со,О» причем t = (ti + t2)/2, Со = h - t2. Тогда n(t,r,p) = -iJG-+(X,P)^-; (95.8) интегрирование по duo /Bтг) эквивалентно тому, что полагается После этих предварительных определений, перейдем к выво- ду кинетического уравнения. Возьмем (—Ь)-компоненту уравнений (94.6) и (94.7) и соста- вим их почленную разность: (G02 - G01 )G12 = = ~ (^13 ^32 + ^13 ^32 + ^13 ^32 + ^13 ^32 ) ^ ^3- (95.9) Оператор, действующий на функцию G^2+ в левой части урав- нения: Перейдем теперь в обеих частях уравнения (95.9) к фурье- компонентам (95.7) и положим t\ = ?2 (или, что то же, проин- тегрируем по duo/Bтг)). С учетом (95.8) найдем, что левая часть 492 ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА уравнения (95.9) примет в результате вид дп р дп dt m дг — как раз требуемый вид левой части кинетического уравнения для функции распределения п(?, г, р). Правая же часть уравне- ния (95.9) после фурье-преобразования должна поэтому дать ин- теграл столкновений, Stn. Переход к фурье-компонентам в этой части должен быть про- изведен с учетом условий квазиклассичности. Интеграл в (95.9) представляет собой сумму членов вида Выразим множители ЕиСв виде функций от разностей и по- лусумм «4-координат»: ±*) G При переходе к фурье-компонентам по первым аргументам су- щественна область значений разностей координат |ri — гз|, |гз — — Г21 ~ 1/р и разностей времен \t\ — ?з|5 |?з — ^| ~ 1/е. Согласно условиям (95.1) на этих интервалах S и G как функции своих вторых аргументов меняются мало. Поэтому можно приближен- но заменить эти аргументы значениями X = (Х\ + Х%)/2\ J S(XX - Х3, X)G(X3 - Х2, X) d4X3, после чего можно переходить к фурье-представлению при задан- ном значении X. В результате правая часть уравнения (95.9) примет вид Stn = - /"{S-+(G~ + C++) + (S J + S+-G-+} —, (95.10) 27Г где все функции в подынтегральном выражении имеют одинако- вые аргументы (X, Р) = (?, г;о;,р); во втором равенстве исполь- зованы соотношения (92.7) и (94.15). Применим формулу (95.10) к модели почти идеального ферми-газа, рассматривавшейся уже в IX, § 6, 21. Как и там, бу- дем условно считать, что потенциал U(y\ — Г2) взаимодействия между частицами удовлетворяет условию применимости теории возмущений; для перехода к истинному взаимодействию (не удо- влетворяющему этому условию) достаточно выразить ответ че- рез амплитуду рассеяния. § 95 КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 493 Имея в виду найти интеграл столкновений в первом неис- чезающем приближении теории возмущений по взаимодействию частиц, можно считать, что точные G-функции в (95.10) связаны с функцией распределения п теми же формулами (92.20), (92.21), что и в идеальном газе; это означает пренебрежение малыми по- правками за счет взаимодействия к энергии е = р2 /2т частицы газа. Выражения (92.20), (92.21) относятся, строго говоря, к од- нородному и стационарному состоянию газа, но в квазиклассиче- ском случае, ввиду медленности изменения п с координатами и временем, можно пользоваться теми же выражениями, понимая в них в качестве пр функцию п(?, г, р), в которой f иг играют роль параметров. Интегрирование по ио устраняет E-функции и получается + г?+-(е - /i, p; t, r)rc(t, r, p). (95.11) Уже из самого вида этого выражения ясно, что первый член в нем описывает «приход» частиц, возможный лишь при 1 — п^О; второй же член описывает «уход», пропорциональный п. Оста- ется вычислить собственно-энергетические функции S h и SH . Первый неисчезающий вклад в них дают диаграммы второго порядка (ср. (94.9)); так, Р' Pl I !\pi I (95-12) р\ где Р[ = Р + Р\ — Р'. После замены U на ?7о (см. ниже) вклады в S от этих двух диаграмм связаны друг с другом равенством Sa = — 2Еб (минус — из-за замкнутой петли в диаграмме a, a коэффициент 2 — из-за спинового суммирования в этой петле; ср. аналогичные вычисления в IX, § 21). Раскрыв диаграмму б в аналитическом виде, получим г?"+(Р) = f G-+(Pl)G+-(P1)G-+(P[)U2(Pi-pl)d4p'dT ¦ В вырожденном газе длина волны частиц (~ 1/р) автоматиче- ски велика по сравнению с радиусом сил взаимодействия в силу 494 ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ГЛ. X условия разреженности газа (см. IX, § 6); это позволяет заменить U(pi — р7) на значение при Pi — р7 = 0: С/о = Г U® d3x. Подставив для функций G + и G+ выражения (92.20), (92.21) и устранив две E-функции интегрированием по «временным» ком- понентам 4-векторов Р\ и Р7, убедимся в том, что первый член в (95.11) действительно совпадает с членом «прихода» в интеграле столкновений G4.5) (причем w = 2ttUq). Аналогичным образом вычисляется S^ , и второй член в (95.11) оказывается совпада- ющим с членом «ухода» в том же интеграле столкновений.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Кинетическое уравнение в диаграммной технике» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
