Исследование поведения различных систем в слабом пере- менном внешнем поле сводится обычно к вычислению соответ- ствующих обобщенных восприимчивостей. В этом параграфе бу- дут выведены формулы, связывающие обобщенную восприим- чивость с некоторой вспомогательной величиной, которую мож- но вычислять с помощью мацубаровской диаграммной техники; тем самым открывается путь для использования этой техники при исследовании кинетических свойств систем (А.А. Абрикосов, И.Е. Дзялошинский, Л.П. Горькое, 1962). Напомним определение обобщенной восприимчивости а(ио) (см. V, § 123). Пусть внешнее воздействие на систему описы- вается введением в ее гамильтониан возмущающего оператора вида V{t) = -xf(t), (91.1) где х — шредингеровский (независящий от времени) оператор некоторой физической величины, характеризующей систему, а возмущающая обобщенная сила /(?) есть заданная функция времени; предполагается, что в отсутствие внешнего воздей- ствия среднее значение величины х равно нулю. Тогда в пер- вом по / приближении имеется линейная связь между фурье- компонентами среднего значения x(t) и силой /(?); обобщенная восприимчивость есть коэффициент в этом соотношении: Согласно формуле Кубо (см. V, § 126) функция а(ио) может быть представлена в операторном виде как оо а{ш) = г / eiujt(xo(t)xo(O) - xo(O)xo(t)) dt, (91.3) о где xo(t) — гейзенберговский оператор, определенный по невоз- мущенному гамильтониану системы (о чем напоминает ин- декс 0), а усреднение производится по заданному невозмущен- 470 ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ГЛ. X ному стационарному состоянию системы, или по распределению Гиббса с невозмущенным гамильтонианом 1). Рассмотрим теперь, чисто формальным образом, систему, подчиняющуюся «мацубаровским» уравнениям движения, отли- чающимся от реальных уравнений заменой времени t —>• гт; но- вая переменная т пробегает значения в конечном интервале -^т<1. (91.4) Пусть на эту систему налагается возмущение V(t) = -xf®. (91.5) Функцией переменной т будет тогда и среднее значение ~х. Раз- ложим функцию /(т) в ряд Фурье на интервале (91.4): оо f*e~iCsTi Cs = 2nsT (91.6) и аналогичным образом — функцию х(тJ). Мацубаровской восприимчивостью назовем коэффициент пропорциональности между компонентами обоих разложений: xs = aM(ts)fs. (91-7) Наша цель состоит теперь, с одной стороны, в получении для ам(Св) формулы, аналогичной (91.3), и, с другой стороны, в на- хождении связи между ам(Св) и интересующей нас функцией а(ио). Начнем с первой части задачи. Пусть Н — невозмущенный гамильтониан системы. «Точ- ный» мацубаровский оператор величины х вычисляется по фор- муле3) хм (г) =а-1(т,0)^(т)а(т,0), (91.8) где а — мацубаровская 5-матрица: а(т,0) =TTexp|-/f>M(r')dr'}, (91.9) а индексом 0 отмечены операторы в мацубаровском «представ- ) Во всей этой главе полагаем Л = 1. 2) Для величины ж, имеющей классический предел, должна использовать- ся техника, отвечающая случаю статистики Бозе; поэтому разложение (91.6) производится по «четным частотам» ?s. 3) Все используемые ниже понятия и формулы даны в IX, § 38. § 91 МАЦУБАРОВСКАЯ ВОСПРИИМЧИВОСТЬ 471 лении взаимодействия» 1): xf{r) = ехр (тН0)х ехр (-тН0) (91.10) и аналогично для V^®. В первом порядке теории возмущений выражение (91.9) сводится к а(т, 0) « 1 - / V0M(rf) drf. (91.11) о Вычислим усредненное по распределению Гиббса значение ¦^(тЛ — ^гл$р-Н1Т^М(п-\\ fQI 1 <Л JU \ I I kJ L» j О Ju V / Г * I *y -L • -L ^ J Согласно формуле C8.6) (см. IX) имеем гя/г = е-Но/г?П>0> / "^ / VT- а согласно (91.8) и (91.11) т —Л/Т / \ —Л/Т / \ г е ен,т = ен0/тэ Q.>0) и ехр (_|) ^ _ Jy^{r')dr^ 0 Подставив эти выражения в (91.12), получим с той же точностью: V / — kJL»\o I I V Г) V /Г) V/ Г) \/П V / / 0 В первом интеграле переменная т' < т, а во втором делим область интегрирования на интервалы от 0 до т и от т до 1/Т. После сокращений и подстановки Vb(^) из (91.5) видим, что ре- зультат может быть записан в виде 1/Т ЗД = / f(r')(TTx^(T)x^(T'))dr' (91.13) о Формула (91.8) справедлива и в том случае, когда исходный оператор V(t) зависит явно от переменной т (хотя это и не подразумевалось при выводе в IX, § 38). 472 ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ГЛ. X (напомним, что оператор Тт хронологизации по переменной т расставляет множители, без изменения знака произведения, в порядке возрастания т справа налево); усреднение в (91.13) про- изводится по распределению Гиббса с гамильтонианом Hq. Ре- зультат усреднения зависит только от разности т — т'. Наконец, представив f(rf) в виде фурье-разложения (91.6), получим окон- чательно искомую формулу для мацубаровской восприимчиво- сти: 1/Г ^^^r. (91.14) Мы видим, что c%m(Cs) выражается через фурье-компоненту мацубаровской гриновской функции, построенной по операторам х (ср. определение C7.2) (см. IX)). Обратим внимание на отличие от формулы (91.3) для а (о;), в которой стоит запаздывающий (по времени t) коммутатор, а не хронологизированное произведение. Для решения второй части поставленной задачи — нахожде- ния связи между функциями ot{uS) и ckm(Cs) — надо, исходя из формул (91.3) и (91.14), выразить эти функции через матричные элементы оператора х. Мы не будем проводить здесь соответ- ствующие вычисления, поскольку они практически совпадают с вычислениями, проводившимися уже по другим аналогичным поводам (ср. V, § 126; IX, § 36, 37). Ограничимся указанием ре- зультата: а(ш) = V е~Еп/т ^=^ A - е~Шгпп1т), (91.15) .е-Штп/Ту (91<16) its ~ Umn V Здесь xmn — матричные элементы шредингеровского оператора х по отношению к стационарным состояниям системы; иотп = = Ет — Еп. Сравнение обоих выражений показывает, что ам(С) = a(iCs), ts > 0. (91.17) Поскольку обобщенная восприимчивость а(оо) вещественна на верхней мнимой полуоси о;, то функция ckm(Cs) вещественна при ts > 0. С другой стороны, из (91.16) видно, что ам(—ts) = = a*M(ts)- Таким образом, «м(С0 является четной вещественной функцией ts и выражается через а(ио) формулой aM(ts) = a(i\ts\). (91.18) § 92 ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ 473 Соотношение (98.18) устанавливает искомую связь. Для опре- деления ol(uj) надо построить функцию, аналитическую в верх- ней полуплоскости переменной о;, значения которой в дискрет- ных точках uj = i?s на верхней мнимой полуоси совпадают с (%m(Cs)] эт0 и будет искомая обобщенная восприимчивость. Описанный метод будет применен в следующей главе к кине- тическим свойствам сверхпроводников. Покажем в заключение, что знание а(оо) позволяет опреде- лить закон релаксации величины ж к ее равновесному значению х = 0. Для этого будем считать, что начальное неравновесное значение х создается обобщенной силой /(?), действующей при t < 0, а затем выключенной. Значение x(t) в некоторый момент времени t определяется значениями / в течение всего предше- ствующего времени формулой вида x(t)= / a(t-t')f(t')dt', — ОО причем функция a(t) связана с обобщенной восприимчивостью обратным преобразованием Фурье a(t) = (ср. V, § 123). Если / = 0 при t > 0, то о x(t) = / a(t-tf)f(tf)dtf. — оо Поведение x(t) при больших t определяется асимптотическим по- ведением a(t) при t —>• оо. В свою очередь последнее определяет- ся ближайшей к вещественной оси особой точкой функции а(ио) в нижней полуплоскости. В частности, релаксации х по простому экспоненциальному закону х ~ е~1'т со временем релаксации г соответствует наличие у а(оо) простого полюса при ио = —г/т.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Мацубаровская восприимчивость» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Формула (91.8) справедлива и в том случае, когда исходный оператор 