Как известно из макроскопической электродинамики, пере- менное электромагнитное поле затухает в глубь проводника; вме- сте с полем оказывается сконцентрированным в поверхностном слое проводника также и вызываемый им электрический ток (так называемый скин-эффект). Напомним некоторые относящиеся сюда формулы (см. VIII, § 45, 46). Квазистационарное электромагнитное поле в металле удовле- творяет уравнениям Максвелла rotE = -i^, (86.1) с at rotB = — j, divB = 0 (86.2) С (металл предполагается немагнитным, так что в нем Н = В). При этом, разумеется, подразумевается выполненным общее условие применимости макроскопических уравнений: расстоя- ния E, на которых поле существенно меняется, велики по срав- нению с атомными размерами. Если, сверх того, эти расстояния велики также и по сравнению с длиной свободного пробега элек- тронов проводимости /, то связь плотности тока j с полем Е да- ется линейными соотношениями, связывающими их значения в одной и той же точке пространства: ja = аарЕр, где аа^ — тен- зор проводимости. Скин-эффект в этих условиях называют нор- мальным. Рассмотрим его, предполагая среду изотропной (или кристаллом кубической симметрии); тогда тензор аар сводится к скаляру, так что j = сгЕ. Предположим простейшие геометрические условия, когда ме- талл занимает полупространство (х > 0), ограниченное плоско- стью х = 0. К металлу приложено однородное внешнее элек- трическое поле, параллельное его поверхности и меняющееся со временем с частотой ио. Уравнения (86.1), (86.2) принимают вид rotE = ^B, rotB = — <тЕ, divB = 0. (86.3) с с В силу симметрии задачи, распределения всех величин в метал- ле будут функциями только одной координаты х. Из первого уравнения (86.3) следует тогда, что магнитное поле В везде па- раллельно плоскости границы. Мы удовлетворим всем уравнениям, предположив, что и электрическое поле Е лежит везде в той же плоскости. При этом автоматически выполнится и необходимое граничное условие ис- чезновения нормальной к поверхности металла компоненты тока: 442 металлы из Ех = 0 следует, что везде и jx = 0 г). Исключая В из первых двух уравнений (86.3), находим rot rot E = grad div E - АЕ = с2 Для тангенциального поля, зависящего только от ж, имеем div E = 0 и уравнение принимает вид Е" = -±™^Е, (86.4) С2 где штрих означает дифференцирование по х. Его решение, обра- щающееся в нуль при х —>• оо, есть Е = Eoe-^V*-1)*/*, (86.5) где Ео — амплитуда поля на поверхности металла, а д = -^=. (86.6) у2тгаио Величину S называют глубиной проникновения поля; она убыва- ет с увеличением частоты поля. Магнитное поле в металле за- тухает по тому же закону; из уравнений (86.3) следует, что Е и В связаны везде соотношением Е = С[Вп], где п — единичный вектор нормали к поверхности (направленной внутрь металла, т. е. в положительном направлении оси ж), а (86.7) Этим соотношением связаны, в частности, и значения полей на самой поверхности металла: Ео = С[Воп]. (86.8) Величину ? называют поверхностным импедансом металла. На- помним, что его вещественная часть определяет диссипацию энергии поля в металле (см. VIII, § 67). Для того чтобы имела место связь j = <тЕ между током и электрическим полем в той же точке пространства и в тот же момент времени, длина свободного пробега электронов / и время свободного пробега г ~ l/vp должны удовлетворять условиям i < (J и rw < 1: / должно быть мало по сравнению с характер- ным расстоянием изменения поля ?, а т мало по сравнению с периодом поля. При нарушении первого из этих условий связь С= i-0^ = (i-»K h=- ) В анизотропной среде ситуация меняется. Для выполнения указанно- го условия должно быть тогда введено наряду с тангенциальным также и нормальное к поверхности электрическое поле. § 86 АНОМАЛЬНЫЙ СКИН-ЭФФЕКТ 443 между током и полем перестает быть локальной, возникает про- странственная дисперсия проводимости. Нарушение же второго условия приводит к появлению частотной дисперсии проводимо- сти. Для выяснения связи между током и полем надо обратиться тогда к кинетическому уравнению. Таким образом, характер скин-эффекта зависит от относи- тельной величины трех характерных размеров: #, / и vp/uo. Нормальному скин-эффекту, описываемому формулами (86.5)— (86.8), отвечает область наиболее низких частот, при которых I « <*, I < ^. (86.9) При увеличении частоты поля или при увеличении длины пробе- га (при уменьшении температуры металла) глубина проникнове- ния уменьшается. В металлах обычно первым нарушается усло- вие 6 ^> / и связь тока с полем становится нелокальной; о скин- эффекте в этих условиях говорят как об аномальном. Мы рас- смотрим в этом параграфе предельно аномальный случай, когда S<&1, 6<&Щ. (86.10) Соотношение же между I и vp/oo может быть произвольным 1). Решение граничной задачи о скин-эффекте мы начнем со вспомогательной задачи о связи в неограниченном металле меж- ду током и переменным во времени и пространстве электриче- ским полем E = Eoei(kr"a;*). Волновой вектор поля предполагается удовлетворяющим нера- венствам \ « I, \ « ^, (86.11) к к и отвечающим условиям (86.10). Вместе с полем по тому же закону будет меняться и добавка дп к функции распределения электро- нов. В силу условия vpk ^> vp/l ~ 1/т, в кинетическом уравне- нии можно пренебречь интегралом столкновений St n ~ 5п/т по сравнению с членом с пространственными производными vdn/дг ~ уркбп. В силу же условия kvp ^> w можно пренебречь также и производной по времени dn/dt ~ ио8п. х) Равенство 5 ~ I достигается при и ~ с2/(al2), т. е. (если воспользовать- ся оценкой а ~ le N/pf) при и ~ с Pf/(g I N). Это значение совместно с неравенством 6 ~ / <^С vf/ou, если / > c/Q, где п ~ GVe2/m*I/2 — плаз- менная частота металла (m* ~ Pf/vf — эффективная масса электронов проводимости). Для обычных металлов Q ~ 1015 — 1016 с. 444 металлы В силу последнего пренебрежения, кинетическое уравнение для квазичастиц электронной ферми-жидкости снова сводится к уравнению для газа путем переопределения функции распре- деления — замены 5п на 5п из G4.13). В данном случае, после указанных пренебрежений, кинетическое уравнение имеет про- стой вид Положив находим отсюда ддп дг дг — 'Ы~ др дпо ' ~др~ ieEvd _ дпо V де По (86.12) kv де Это выражение имеет полюс при kv = 0. При вычислении тока 2dsp этот полюс должен обходиться путем замены kv —>• kv — iO 1): j = гв2 / J J kv-гО де Bтт/гK (86.13) Пренебрегая, как обычно, температурным размытием равно- весной функции распределения, пишем дщ/де = —8{е — ер) и преобразуем интеграл по d?p в интеграл по ферми-поверхности по формуле G4.20). Согласно известной формуле дифференци- альной геометрии, элемент площади dS = dovjК', где dov — эле- мент телесных углов для направления нормали v к поверхно- сти, а К — гауссова кривизна поверхности, т. е. обратное про- изведение К = l/(i?]_i?2) ee главных радиусов кривизны в дан- ной точке. Заметив также, что направление нормали к ферми- поверхности в каждой ее точке совпадает с направлением скоро- сти v = де/др, получим • _ Не2 Г у(Е|/) dou (86 14) J Bтг/гK J К (у) kv-iO' У ' ) Определяя направление v азимутальным и полярным углами ср и в относительно направления к как полярной оси, будем иметь ki/ = к cos б, dou = sin в dip d6. Это отвечает обычной замене ио —>- uj + гО в разности uj — kv. § 86 АНОМАЛЬНЫЙ СКИН-ЭФФЕКТ 445 Интегрирование в (86.14) по переменной \i = cos в произво- дится по отрезку — 1 ^ \i ^ 1 вещественной оси с обходом полюса \i = 0 по полуокружности снизу. Легко видеть, что интеграл по прямолинейным отрезкам (т. е. главное значение интеграла) при этом обращается в нуль, так что остается лишь вклад от обхода полюса. Для этого замечаем, что в силу четности функции б(р) ферми-поверхность б(р) = sf инвариантна относительно замены р —>• — р; поскольку изменение знака р меняет также и знак век- тора нормали I/, отсюда следует, что К (—и) = К (и). Интеграл в (86.14) можно поэтому представить в виде if/1 i/(Ei/)dou _ f i/(Ei/)dou 2 \J K(y)Qa/-iO) ~ J K(y)Qa/ + iO где в скобках стоит сумма интегралов, получающихся друг из друга заменой переменной интегрирования v —>• —i/; из этого вы- ражения сделанное утверждение очевидно. В полюсе подынтегрального выражения ki/ = к cos в = 0, т. е. нормаль v перпендикулярна заданному направлению волнового вектора к. Вычет по переменной cos в дается, следовательно, ин- тегралом взятым по кривой, представляющей собой геометрическое место точек ферми-поверхности, в которых v _L k. Таким образом, окончательно находим связь тока с полем в виде За = аар(к)Ер, (86.15) где 2тг (86.16) — вещественный тензор в плоскости, перпендикулярной к; если направление к выбрано в качестве оси ж, то индексы а и 0 про- бегают значения у, z. Вектор j лежит целиком в этой плоскости, т. е. поперечен по отношению к к. Обратим внимание на то, что вклад в ток возник только от электронов с vk = 0, т. е. движущихся перпендикулярно вол- новому вектору. Это — естественное следствие приближения, в котором длина свободного пробега рассматривается как сколь угодно большая: при движении под углом к направлению к элек- трон в своем свободном движении проходит через поле, осцилли- рующее в пространстве и эти осцилляции погашают суммарное воздействие поля на электрон. В следующем приближении, при учете конечности произведения /с/, вклад в ток возникал бы уже 446 МЕТАЛЛЫ от электронов, движущихся в малом интервале углов ~ 1/(Ы) относительно плоскости, перпендикулярной направлению к. Перейдем теперь непосредственно к задаче о проникновении поля при аномальном скин-эффекте. Здесь мы имеем дело с за- дачей о полупространстве, которую надо решать с учетом гра- ничных условий на поверхности металла. Граничные условия для функции распределения зависят от физических свойств поверх- ности по отношению к падающим на нее электронам. Существен- но, однако, что в данном случае в создании тока участвуют в основном лишь электроны, летящие почти параллельно поверх- ности металла (о них говорят как о скользящих электронах). Для таких электронов закон отражения в значительной степени не зависит от степени совершенства поверхности металла и близок к зеркальному, т. е. электроны отражаются с изменением знака нормальной к поверхности компоненты скорости v при неизмен- ных тангенциальных составляющих (чтобы не прерывать изло- жение, более подробное обсуждение этого вопроса перенесем в конец этого параграфа). Зеркальному отражению отвечает граничное условие для функции распределения: 8n(vXlvyivz) = 8n(—vXlvyivz) при х = 0. (86.17) При таком условии задача о полупространстве эквивалентна за- даче о неограниченной среде, в которой поле распределено сим- метрично по обе стороны плоскости х = 0: Е(?,ж) = Е(?, — х). При этом электронам, отраженным от границ в задаче о полу- пространстве (х > 0), отвечают в задаче о неограниченном про- странстве электроны, беспрепятственно прошедшие через плос- кость х = 0 со стороны х < 0. В задаче о предельно аномальном скин-эффекте можно счи- тать, что поле Е (зависящее только от одной координаты х) на- правлено везде параллельно плоскости х = 0. Согласно (86.15), в той же плоскости лежит и вектор тока j, и потому автомати- чески удовлетворяется условие равенства нулю на поверхности металла нормальной к ней компоненты тока1). Без предположения j = <тЕ для двумерного вектора Е имеем вместо (86.4) уравнение Е" = -±™j. (86.18) с2 Будем далее подразумевать временной множитель exp (—iuot) во г) В следующих приближениях, при учете конечности отношения S/1, на- ряду с компонентами аар тензора проводимости появляются также и ком- поненты аах, (Ухх- Для обеспечения граничного условия jx = 0 должно быть тогда введено также и нормальное к поверхности поле Ех (как это уже было отмечено в примеч. на с. 442). § 86 АНОМАЛЬНЫЙ СКИН-ЭФФЕКТ 447 всех функциях опущенным, так что Е, j, ... будут функциями только от х. Функция Е(ж), симметрично продолженная в область х < О, непрерывна при х = 0. Но производная Е'(ж), будучи нечетной функцией ж, испытывает при х = 0 разрыв, меняя знак при про- хождении переменной х через нуль. Согласно уравнению (86.1), эти производные связаны с магнитным полем соотношением где п — снова единичный вектор в направлении оси х. В задаче о полупространстве мы имели бы поэтому при х = 0 условие Е7 = го;[Воп]/с, где Во — поле на границе металла. В задаче о неограниченной среде этому отвечает условие -Е'(-0) = 2—[Воп]. с —гкх Умножим обе части уравнения (86.18) на е и проинтегри- руем его по ж в пределах от — оо до оо 1). В левой части уравнения имеем оо 0 оо оо / E"e~ikxdx = J (E'e-ikxydx+f(E'e-ikx)'dx+ik J E'e~ikxdx. — ОО —ОО 0 —ОО Поскольку на бесконечности поле Е(ж) обращается в нуль, то первые два интеграла дают как раз разность Е'(—0) — Е'(+0). В последнем же члене, ввиду непрерывности самой функции Е(ж), можно уже просто интегрировать по частям. В результате при- ходим к равенству — [Bon] + kzB(k) = —7-j(*0, с с2 где E(fc) и j(fc) — фурье-образы функций Е(ж) и j(x). Согласно (86.15) эти фурье-образы связаны друг с другом со- отношением ja{k) = &а/з{к)Ер(к). Воспользовавшись этим, най- дем для фурье-образа поля выражение Еа(к) = Сар(к)\В0п]р, (86.19) где Са(з(к) — двумерный тензор, задаваемый своим обратным: (86-20) 1) Дальнейшие вычисления формально совпадают с ходом решения задачи о проникновении магнитного поля в сверхпроводник в IX, § 52. 448 металлы Аргумент функций аар написан как |/с|, чтобы напомнить, что здесь фигурирует абсолютная величина вектора к. Сама функция Е(ж) получается из (86.19) умножением на ехр (гкх) и интегрированием по dk/Bтт). Ввиду четности функ- ций Сар(к) имеем оо Еа(х) = - Г Сав(к) cos kxdk- [Воп]л. (86.21) п о В частности, значение поля на границе металла есть оо Еоа = Ca/*[Bon]0, <ZaP = Lf (a?(k) dk. (86.22) ^ о Для фактического вычисления поверхностного импеданса выберем оси у и z в направлении главных осей симметрично- го тензора аа^{к). Вместе с аа^ приводится к главным осям и тензор ?ар, и его главные значения ОО — _^_ [ dk ~ тгс J к2 -ibW/к' где А^а; — главные значения тензора Аар. Интегрирование при- водит к результату 1) ) ^^ Г^I/3 . (86.23) Величины А^а; зависят только от характеристик — формы и раз- меров — ферми-поверхности. Отметим, что импеданс (86.23) ока- зывается не зависящим вовсе от длины пробега электронов. Для оценки по порядку величины можно считать, что радиусы кри- 1) Путь интегрирования (правая вещественная полуось) можно повернуть на угол —тг/6 в плоскости комплексного ?;, не пересекая при этом полюсов подынтегрального выражения. Интегрируя вдоль луча к = г^ехр (—гтт/6), имеем оо оо _ F kdk in/6 f udu ~ J к3 - ib J u3 +b о о и, после подстановки и3 + b = &/?, e^6 К-2/зп ,,-1/з ., ГA/3)ГB/3) We ^ i = It A — с ) ас = e = — § 86 АНОМАЛЬНЫЙ СКИН-ЭФФЕКТ 449 визны ферми-поверхности ~ рр; тогда А ~ р2^ и fc3, ,2 Напомним, что вещественная часть импеданса определяет диссипацию энергии поля в металле. В рассмотренном прибли- жении (не учитывающем столкновений электронов) эта диссипа- ция имеет природу затухания Ландау 1). Закон затухания электрического поля внутрь металла при аномальном скин-эффекте не экспоненциален, и потому понятие глубины проникновения не имеет в этом случае того буквально- го смысла, как в (86.5). Ввиду наличия в подынтегральном вы- ражении в (86.21) осциллирующего множителя cos kx, интеграл определяется (при заданном х) в основном областью значений к ~ 1/х. Существенное убывание функции Е(ж) происходит, ко- гда эти значения к ^> б1/32). Поэтому глубина проникновения по порядку величины равна 6 ~ б/3, или (86.25) При увеличении частоты эта глубина продолжает убывать, но медленнее, чем при нормальном эффекте. Величины, определяе- мые выражениями (86.6) и (86.25) (обозначим их как 6иорм и ?ан), сравниваются по порядку величины при 5 ~ I. Поскольку одна из них убывает как о;/2, а другая как о;/3, то ясно, что при одном и том же значении ш: ?3Н ~ S^opMl. Наконец, сделаем некоторые замечания по поводу характера отражения электронов от границы металла. Если поверхность идеальна (без дефектов) и совпадает с какой-либо кристалличе- ской плоскостью, то расположение атомов в ней обладает пери- одичностью, отвечающей трансляционной симметрии кристал- лической решетки. В таком случае при отражении электрона сохраняются наряду с энергией также и тангенциальные ком- поненты его квазиимпульса ру, pz. Нормальная же компонента квазиимпульса отраженного электрона, р'Х1 определяется по зна- ) На явления, составляющие сущность аномального скин-эффекта, впер- вые указал Г. Лондон (Н. London, 1940). Качественная теория этого эффекта была дана Пиппардом (А.В. Pippard, 1947), а изложенная количественная теория принадлежит Рейтеру и Зондгеймеру (G.E. Renter, E.H. Sondheimer, 1948). 2) При х ^> S интеграл (86.21) определяется значениями к ^С Ь1^3. При этом ?(&) ~ к, а поле Е(ж) убывает как х~2. 15 Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, том X 450 МЕТАЛЛЫ чению рх падающего электрона уравнением z(p'xiPyiPz) = z(Px,Py,Pz), (86.26) причем должно быть v'x = де/ др'х > 0 — отраженный электрон движется по направлению от границы (скорость же падающего электрона vx = де/дрх < 0). Уравнение (86.26) может иметь несколько таких корней, причем, вообще говоря, vx Ф —vx. Но для скользящих падающих электронов среди этих кор- ней всегда имеется один, отвечающий небольшому изменению квазиимпульса, причем vx = —vx (т. е. отражение является зер- кальным в буквальном смысле этого слова). Действительно, для электрона, движущегося почти параллельно границе, производ- ная vx = де/дрх мала; это значит, что на изоэнергетической по- верхности в р-пространстве электрону отвечает точка Р, находя- щаяся вблизи точки экстремума энергии е как функции рХ1 т. е. точки, в которой де/дрх = 0. Но вблизи такой точки, по дру- гую сторону экстремума, всегда существует точка Р7, в которой значение производной де/дрх отличается от значения в точке Р лишь знаком. Можно показать, что отражение скользящего электрона с по- давляющей вероятностью происходит именно с таким изменени- ем квазиимпульса. Более того, это утверждение остается в силе и при отражении от несовершенной поверхности, содержащей шероховатости атомных размеров, когда закона сохранения тан- генциальных компонент квазиимпульса, строго говоря, уже не существует. Наглядное объяснение состоит в том, что волно- вая функция скользящего электрона медленно меняется вдоль оси х и потому «не чувствует» атомных шероховатостей поверх- ности 1). Интересно, что значение поверхностного импеданса при пре- дельно аномальном скин-эффекте фактически оказывается во- обще малочувствительным к характеру отражения электронов. Так, при диффузном отражении (когда все направления отра- женного электрона равновероятны вне зависимости от угла па- дения) значение импеданса отличается от (86.23) лишь множите- лем 9/8. Граничное условие при диффузном отражении от плос- кой поверхности формулируется как 6n(vx > 0,vy,vz) = 0 при х = 0. При этом, однако, метод Фурье оказывается непригод- ным и решение задачи должно производиться так называемым методом Винера-Хопфа2).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Аномальный скин-эффект» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
