Характер электрон-фононного рассеяния при низких темпе- ратурах радикально отличен от характера рассеяния при Т ^> в. При Т <С в в кристалле возбуждены фононы с энергиями uj ~ T (относящиеся, вообще говоря, к акустическим ветвям спектра). При испускании или поглощении такого фонона энер- гия электрона меняется на величину ~ Т, т. е. на порядок вели- чины всей ширины области размытости ферми-распределения. Изменение же квазиимпульса электрона совпадает с квазиим- пульсом фонона. Поскольку к ~ Т/и <С fcmax, a A;max ~ _р/?, то это значит, что квазиимпульс электрона изменяется лишь на относительно малую величину. Таким образом, при низких температурах имеет место предельный случай, обратный по отношению к упругому рассеянию: релаксация электронов по энергиям происходит значительно быстрее, чем по направлениям их квазиимпульсов. Релаксация по энергиям представляет собой быстрое «пере- мешивание» в зоне размытости фермиевского распределения. Ре- лаксация же по направлениям есть выравнивание распределения вдоль этой поверхности; оно происходит малыми (~ Т/и) скач- ками, т. е. имеет характер медленной диффузии по этой поверх- ности. Прежде чем перейти к детальному рассмотрению кинетиче- ских явлений в этих условиях, сделаем некоторые общие замеча- ния о роли процессов переброса. 1) Выяснение роли увлечения электронов фононами в кинетических явле- ниях в металлах принадлежит Л.Э. Гуревичу A946). 412 МЕТАЛЛЫ Как и в диэлектрических кристаллах, конечность кинетиче- ских коэффициентов идеального (без примесей или дефектов) металлического кристалла связана с существованием процессов переброса. С учетом одних лишь нормальных процессов, идущих с сохранением суммарного квазиимпульса электронов и фононов, кинетические уравнения имели бы паразитные решения, отве- чающие движению электронной и фононной систем как целого относительно решетки. Это — решения вида <p = p5V, x = b5V (81.1) с постоянным вектором JV (ср. F7.19)); эти функции обращают в нуль интегралы столкновений G9.9), G9.10), если испускание или поглощение фононов электронами происходит с сохранением квазиимпульса (р = р7 + к). При высоких температурах, когда квазиимпульсы как элек- тронов, так и фононов велики (~ 1/оГ), процессы переброса про- исходят, вообще говоря, с той же частотой, что и нормальные процессы. Необходимость их учета не приводит поэтому ни к ка- ким специфическим особенностям в кинетических явлениях. Квазиимпульсы электронов расположены вблизи ферми- поверхности и в этом смысле от температуры практически не зависят. Но при низких температурах становятся малыми квази- импульсы фононов, в связи с чем процессы переброса могут ока- заться затрудненными. В этом отношении ситуация существенно различна в случаях закрытых и открытых ферми-поверхностей. Открытая ферми-поверхность при любом выборе элементар- ной ячейки в р-пространстве (обратной решетке) пересекает гра- ницы ячейки. Ясно, что в этом случае всегда возможны процессы переброса с испусканием или поглощением фонона со сколь угод- но малой энергией: уже малое изменение квазиимпульса электро- на вблизи границы ячейки может «перебросить» его в соседнюю ячейку. В течении своей диффузии по ферми-поверхности все электроны в конце концов достигают границ ячейки и, таким об- разом, могут участвовать в процессах переброса. Следователь- но, и в этом случае вероятность процессов переброса не обладает какой-либо дополнительной (по сравнению с нормальными про- цессами) малостью. Само разделение процессов на нормальные и с перебросом зависит от способа выбора ячейки обратной решет- ки и в этом смысле условно. При открытой ферми-поверхности указанное выше свойство (отсутствие особой малости частоты процессов переброса) остается при любом выборе ячейки. В этом случае целесообразно вообще отказаться от разделения актов рассеяния на два типа, рассматривая их все как нормальные (т. е. идущие с сохранением квазиимпульса), но допуская зна- чения квазиимпульса электронов во всей обратной решетке. Для фононов же элементарная ячейка выбирается так, чтобы точка 81 ПРОЦЕССЫ ПЕРЕБРОСА В МЕТАЛЛЕ 413 к = 0 находилась в ее центре; тогда все длинноволновые фоно- ны (которые только и надо рассматривать при Т <С Э) находят- ся в малой части объема одной ячейки в окрестности ее центра. Исключение же паразитного решения (81.1) достигается при та- ком рассмотрении путем наложения на функцию распределения электронов условия периодичности в обратной решетке: n(p + b) =п(р). (81.2) Равновесное распределение, зависящее только от энергии элек- трона е(р), удовлетворяет этому условию автоматически ввиду периодичности функции б(р). Вместе с по(р) периодична и про- изводная дщ/де, а потому должен быть периодичен и множи- тель (р(р) в 8щ этим требованием устраняется не удовлетворяю- щее ему решение (81.1). Обратимся к случаю закрытой ферми-поверхности. В этом случае можно выбрать основную ячейку обратной решетки та- ким образом, чтобы ферми-поверхность нигде не пересекала ее границ1). Тогда процессам переброса отвечают переходы элек- трона между какими-либо точками ферми-поверхности в основ- ной ячейке и ее повторения в соседней ячейке, как это показано Рис. 28 Рис. 29 схематически на рис. 29. Соединяющий эти точки вектор к — квазиимпульс испускаемого или поглощаемого фонона. Расстоя- ние /с, вообще говоря, велико (к ~ 1/^0, и при низких темпера- турах число фононов с энергией со (к.) экспоненциально мало — пропорционально ехр (—ш(к)/Т). Эффективная частота актов рассеяния с перебросом в этих условиях зависит от температуры по закону {^i} (81.3) 1) Однако, если ферми-поверхность состоит из нескольких замкнутых по- лостей, то для этого может оказаться необходимым определить основную ячейку не как параллелепипед с плоскими гранями. Это пояснено схемати- чески на рис. 28 на примере плоской решетки с двумя неэквивалентными замкнутыми полостями «ферми-поверхности». Штриховой линией показана основная ячейка, не пересекающая этих полостей. Никаким выбором прямо- угольной ячейки нельзя было бы исключить пересечений. 414 МЕТАЛЛЫ где kmin — значение квазиимпульса фонона (среди всех векторов указанного типа), для которого энергия со (к.) имеет минималь- ное значение. Здесь существенно, конечно, что скорость электро- нов много больше скорости фононов (vp ^> и). Именно поэтому нельзя уменьшить экспоненту в (81.3), изменяя длину вектора к путем удаления от ферми-поверхности. Хотя энергия фонона мо- жет при этом уменьшиться на величину ~ ибк, но одновременно возросла бы на значительно большую величину, ~ vp6k, энергия участвующего в процессе электрона, что привело бы в результате к уменьшению, а не увеличению vjj. Для нахождения kmin доста- точно поэтому рассматривать ферми-поверхность как таковую, не учитывая размытия распределения вблизи нее. Фактически обычно оказываются существенными точки вблизи максималь- ного сближения ферми-поверхности с ее повторением в соседней ячейке. Решение (81.1) означает наличие макроскопического потока электронов в отсутствие электрического поля, т. е. бесконечную электропроводность. Экспоненциально же малая частота процес- сов переброса приводит к экспоненциально большой электропро- водности (R. Peierls). Теплопроводность же металла с закрытой ферми-поверх- ностью остается конечной и при пренебрежении процессами переброса. Дело в том, что коэффициент теплопроводности ус определяет, согласно G8.2), тепловой поток в отсутствие элек- трического тока; условие же j = 0 автоматически исключает паразитное решение (81.1). Учет процессов переброса может из- менить величину ус лишь в меру своей малости. То же самое относится и к термоэлектрическому коэффициенту а, который связывает (согласно определению G8.1)) градиент температуры с электрическим полем опять-таки при условии j = 0 (см. задачу к § 82). Сказанное, однако, не относится к компенсированным ме- таллам с замкнутыми электронными и дырочными ферми- поверхностями, т. е. к металлам с одинаковыми числами элек- тронов и дырок: Ne — Nh (см. IX, § 61). Дело в том, что в этом случае решение (81.1) не связано с существованием электриче- ского тока. Действительно, плотность тока, отвечающая этому решению, есть Первый интеграл берется по объему электронных, а второй — по объему дырочных полостей ферми-поверхности; в последнем вве- § 82 МЕТАЛЛЫ ПРИ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ 415 дено распределение дырок согласно п^ = 1 — п. Теперь можно преобразовать интегралы по частям; возникающие при этом ин- тегралы по поверхности граней ячейки обращаются в нуль ввиду г г (е) W) быстрого убывания щ и щ при удалении от соответствующих ферми-поверхностей. В результате найдем, что j = e8V(Nh-Ne). (81.4) Для компенсированного металла j = 0. Это значит, что электропроводность компенсированного ме- талла конечна уже и без учета процессов переброса. Напротив, коэффициент теплопроводности и термоэлектрический коэффи- циент определяются именно процессами переброса и без учета последних оказались бы бесконечными, поскольку условие j = 0 в этом случае не исключает паразитного решения (81.1). В рассуждениях и оценках в этом (и в следующем) парагра- фе по существу подразумеваются простейшие предположения о форме ферми-поверхности: предполагается, что она либо закры- та, либо открыта, причем все ее характерные размеры поряд- ка величины 1/d. Между тем ферми-поверхности реальных ме- таллов, вообще говоря, имеют сложную форму и могут состоять из нескольких различных листов; мы не будем останавливаться на анализе соответствующих усложнений в поведении кинетиче- ских коэффициентов реальных металлов. Так, листы открытых ферми-поверхностей в различных ячейках обратной решетки мо- гут быть связаны тонкими (с толщиной Ар <С Pf) перемычками. Появление в задаче малого параметра Ар/рр может привести к появлению новых «промежуточных» областей температуры со своими законами температурной зависимости кинетических ко- эффициентов. Листы замкнутых ферми-поверхностей могут под- ходить «аномально» близко друг к другу; это может привести к отодвиганию экспоненциального закона (81.3) в область «ано- мально» низких температур.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Процессы переброса в металле» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
