Кинетические коэффициенты металла. Высокие температуры
При высоких температурах, Т ^> Э, в кристалле возбуждены фононы со всеми возможными квазиимпульсами, вплоть до мак- симальных, совпадающих по порядку величины с фермиевским импульсом электронов: А;тах ~ рр ~ 1/d. По самому опреде- лению дебаевской температуры, максимальная энергия фононов o;max ~ 0 и, таким образом, для всех вообще фононов ио <^Т. Таким образом, в рассматриваемых условиях энергии фоно- нов малы по сравнению с шириной области размытости ферми- евского распределения электронов. Это позволяет приближенно рассматривать испускание или поглощение фонона как упругое рассеяние электрона. Углы же рассеяния отнюдь не малы, по- скольку квазиимпульсы электронов и фононов в рассматривае- мых условиях одинакового порядка величины. При высоких температурах, когда числа заполнения фо- нонных состояний велики, установление равновесия в каждом элементе объема фононного газа (фонон-фононная релаксация) происходит очень быстро. По этой причине при рассмотрении электро- и теплопроводности металла можно считать фононную функцию распределения равновесной, т. е. положить в интегра- лах столкновений х — 0 (к количественной оценке х мы вернемся еще в конце параграфа). Другими словами, достаточно рассма- тривать кинетическое уравнение лишь для электронов. Сразу же отметим, что в приближении, предполагающем упругость рассеяния электронов, остаются в силе полученные в § 78 результаты, основанные лишь на этом предположении. В том числе остается справедливым закон Видемана-Франца G8.13), определяющий отношение а/к. Для определения же темпера- турной зависимости каждого из коэффициентов а и к по от- дельности надо более детально рассмотреть электрон-фононный интеграл столкновений G9.9). В рассматриваемых условиях этот интеграл сильно упроща- ется. Ввиду малости энергии фонона ио = =Ь(?7 — б), можно раз- 408 МЕТАЛЛЫ дожить разность п$ — щ по ее степеням 1): n0 — no ~ ±uo . После этого в аргументах E-функций можно уже положить ио = 0; тогда / \ U К 1 — ш)ио . ^ Bтг)з При ио ^Т функция распределения фононов TVq ^ Т/оо, так что дЩ/доо w —Т/ио2. Производная же дщ/де ~ —1/Т. Интеграл определяется областью значений А; ~ fcmax, в которой о; ~ в. С учетом E-функций интегрирование по с/3А; вносит в оценку инте- грала множитель Используя оценку G9.17), находим отсюда (80.1) Это значит, что частота электрон-фононных столкновений ve,rph ^ Т (Т/Н в обычных единицах), длина пробега / ~ vp/T и из G8.16) находим для электропроводности (обычные едини- ЦыJ): о ~ Щ. (80.2) гп*Т Таким образом, электропроводность металла при Т ^> в обратно пропорциональна температуре. Из закона Видемана- Франца следует тогда, что коэффициент теплопроводности по- стоянен: х ~ —. (80.3) т* Учет ио в этой разности не противоречит принятому приближению — упругости рассеяния электронов. Он понадобился ввиду того, что при при- ведении интеграла столкновений к виду G9.9) было использовано равенство G9.8), правая часть которого становится при е = е' неопределенной. 2) Заметим, что квантовая неопределенность энергии электронов, ~ fcve^ph ~ T, оказывается порядка величины ширины области размытия их распределения. Это обстоятельство, однако, не нарушает применимости полученных результатов по причине, аналогичной той, которая была объяс- нена в конце § 78 в связи с рассеянием на примесях. Ввиду относительной медленности колебаний атомов в решетке и упругости рассеяния электро- нов, задача может быть в принципе сформулирована как задача о движении электронов в заданном потенциальном поле деформированной решетки. § 80 МЕТАЛЛЫ ПРИ ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ 409 Оценим теперь поправочные функции ср и х в распределени- ях электронов и фононов с целью оправдания пренебрежения х в интеграле столкновений. Сделаем это, например, для случая наличия электрического поля при равном нулю градиенте тем- пературы. Поскольку электрическое поле не влияет на движение фоно- нов, левая часть кинетического уравнения для фононов равна нулю. Уравнение сводится поэтому к равенству нулю суммы ин- тегралов столкновения фононов с электронами и друг с другом: $>) + 7?е(х) + W/Дх) = 0 (80.4) (индексы A) и отличают две части интеграла G9.10) подобно тому, как это сделано в G9.11)). Интеграл Iph,e оценивается подобно тому, как это сделано вы- ше для интеграла 1е^н- При этом, однако, надо учесть, что инте- грирование по квазиимпульсам электрона р производится фак- тически лишь вблизи ферми-поверхности по объему слоя тол- щины ~ T/vp и площадью ~ p2F. Наличие E-функции вносит в оценку интеграла еще множитель 1/ifF- В результате получим Интеграл же фонон-фононных столкновений оценивается как т lph,ph\X) ^ ~l/ph,phV + \ ~ ~l/ph,ph~^X с эффективной частотой столкновений из F8.3): Т F " Mud V М Таким образом, IphMx) ~ -S\/?x ~ ~Х- (80.6) КУ у 1VL \У?р Сравнив (80.5) и (80.6), мы видим, прежде всего, что — эффективная частота фонон-электронных столкновений (при равновесных электронах, т. е. при ср = 0) мала по сравнению с частотой фонон-фононных столкновений. По этой причине в 410 МЕТАЛЛЫ уравнении (80.4) можно пренебречь вторым членом. Сравнение же двух оставшихся членов приводит к результату * ~ | « 1, (80.7) чем и оправдывается пренебрежение функцией \ в электрон- фононном интеграле столкновений. Тот же результат (80.7) получается, как легко убедиться, и при наличии градиента тем- пературы. Пренебрежение функцией \ в кинетическом уравнении элек- тронов может, однако, оказаться недопустимым при рассмотре- нии термоэлектрических явлений. Согласно формуле G8.12) (вывод которой основан только на предположении об упругости рассеяния электронов) термоэлек- трический коэффициент а1 ~ — (80.8) esF (смысл индекса I указан ниже). Эта величина «аномально» мала в том смысле, что порядок величины интеграла в G8.8) (второй член в формуле) оказался уменьшенным в отношении Т/ер из-за нечетности функции (р1 = -^1VT (80.9) по переменной r\ = e — \i. Это обстоятельство в известном смысле «случайно»; благодаря нему может оказаться, что сравнитель- но малая добавка к <р, связанная с неравновесностью фононов, приведет к сравнимому с (80.8) вкладу в а. Будем искать решение кинетического уравнения электронов f^WT = -%1 vVT = I%h(<p) + I%h(x) (80.10) в виде суммы (р = (р1 + ^п, где (р1 — решение уравнения без второго члена в правой части, а (р11 — решение уравнения UW + UW=0. (80.11) Функция (р1 является «большой» частью функции (р] ввиду от- меченной в § 79 четности оператора Ie h по переменной г/, эта часть имеет вид (80.9) и нечетна по переменной г/. Из уравнения же (80.11) следует, что (р11 ~ х и потому Но в отличие от ср1, функция ср11 вовсе не обращается в нуль при е = /i. Поэтому при вычислении соответствующего вклада § 81 ПРОЦЕССЫ ПЕРЕБРОСА В МЕТАЛЛЕ 411 в плотность тока не происходит погашения члена основного по- рядка и результат мал только в смысле относительной малости ip11. Это значит, что вклад последней в термоэлектрический ко- эффициент а ~ а —— ~ —. (80.12) Т Т еТ V J Ha нижней границе рассматриваемой температурной области, при Т ~ 0, имеем еа11 ~ 1 вместо малой величины eal ~ Q/sp. Таким образом, термоэлектрический коэффициент склады- вается из двух аддитивных частей. Эти части могут быть одина- кового порядка величины, но имеют различную температурную зависимость. Физическое происхождение второго слагаемого в а состоит в том, что при теплопередаче в кристалле возникает поток фононов («фононный ветер»), который увлекает за собой электроны х).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Кинетические коэффициенты металла. Высокие температуры» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Учет ио в этой разности не противоречит принятому приближению — 
отличают две части интеграла G9.10) подобно 