Кинетическое уравнение для квазичастиц в бозе-жидкости
Если длина пробега квазичастиц в сверхтекучей бозе-жид- кости мала по сравнению с характерными размерами задачи, движение жидкости описывается уравнениями двухскоростной 390 КВАНТОВЫЕ ЖИДКОСТИ гидродинамики Ландау (см. VI, гл. XVI). Диссипативные члены в этих уравнениях содержат несколько кинетических коэффици- ентов (коэффициент теплопроводности и четыре коэффициента вязкости). Вычисление этих коэффициентов требует детально- го рассмотрения различных процессов рассеяния, многообразие которых связано с существованием двух типов квазичастиц — фононов и ротонов. В реальном жидком гелии ситуация услож- няется еще и неустойчивостью начального участка фононного спектра. Эти вопросы здесь рассматриваться не будут. Длины свободного пробега квазичастиц возрастают с пони- жением температуры (уже хотя бы из-за уменьшения плотности числа квазичастиц). Поэтому при достаточно низких температу- рах легко возникает существенная неравновесность системы ква- зичастиц. В этих условиях уравнения двухскоростной гидроди- намики неприменимы. Более того, вообще теряют смысл понятия температуры и нормальной скорости vn — их можно определить только по равновесному распределению квазичастиц; вместе с vn теряет смысл и разделение плотности жидкости на сверхтекучую и нормальную части. Полная же плотность р и сверхтекучая ско- рость vs сохраняют свой смысл, являясь в этом аспекте по суще- ству механическими переменными. Полная система уравнений, описывающих сверхтекучую жидкость, должна состоять теперь из кинетического уравнения для функции распределения ква- зичастиц п(?, г, р), уравнения непрерывности для плотности р и уравнения для скорости vs. Кинетическое уравнение имеет обычный вид1) дп дп де дп де с, /™ -, ч — + — = btn, G7.1) dt дтдр дрдт ' v J где е' — энергия квазичастицы, зависящая как от параметра от скорости сверхтекучего движения vs; обозначение е сохраняем для энергии квазичастицы в покоящейся жидкости. Связь меж- ду ? и е' выясняется следующими рассуждениями. По определению, е(р) есть закон дисперсии квазичастиц в си- стеме отсчета Ко, в которой vs = 0. Иными словами, при наличии всего одной квазичастицы энергия жидкости (отсчитываемая от энергии при Т = 0) есть б(р), а ее импульс совпадает с импульсом квазичастицы р. Совершим галилеевское преобразование в непо- движную систему отсчета К, в котором сверхтекучая скорость равна vs. В этой системе энергия и импульс массы М жидкости есть E = e(p)+pvs + Mf, P = p + Mvs. G7.2) ) Разумеется, предполагается выполненным условие квазиклассично- сти — медленного изменения всех величин на расстояниях порядка вели- чины длины волны квазичастицы h/p. § 77 КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ БОЗЕ-ЖИДКОСТИ 391 Отсюда видно, что в жидкости, совершающей сверхтекучее дви- жение, энергия квазичастицы есть е(р) = ф) + pvs G7.3) (ср. рассуждения при выводе условия сверхтекучести в IX, § 23). Таким образом, фигурирующие в кинетическом уравнении производные г) де де , — = — +vs, dp dp де де , 3 ( ч де^ . , _ч QY QY QY Qp Во втором равенстве учтено, что энергия е может зависеть от координат за счет переменной плотности р, от которой е зависит как от параметра. Учтено также (при преобразовании производ- ной от pvs), что сверхтекучее движение всегда потенциально, rotvs = 0. G7.5) Уравнение непрерывности для плотности есть ^ + divi = 0, G7.6) где i, по определению, есть импульс единицы объема жидкости. Выражение для i можно найти прямо из второй формулы G7.2), просуммировав ее по всем квазичастицам в этом объеме: i = pvs + (p). G7.7) Здесь и ниже в этом параграфе угловые скобки означают инте- грирование по импульсному распределению: <¦¦¦>-/¦¦¦ п- BтгйK Остается найти уравнение для сверхтекучей скорости. Для этого исходим из закона сохранения импульса, выражаемого уравнением + dt где i дается формулой G7.7), а Па^ — тензор потока импульса. Строго говоря, формула G7.2) выведена для однородного сверхтеку- чего потока, vs = const. В неоднородном потоке в энергии могли бы по- явиться еще и члены, содержащие пространственные производные от vs. В предположении медленности изменения vs, однако, эти члены привели бы в кинетическом уравнении к поправкам высших порядков малости. 392 КВАНТОВЫЕ ЖИДКОСТИ Пусть n^i — значение этого тензора в системе отсчета Kq. Совершив преобразование к системе К, получим 1) = Ua/3 + PVsaVsfi + Vsa{pp) + Vs/3(pa) G7.9) (i(°) = (p) — импульс единицы объема жидкости в системе Kq). Этим определяется зависимость тензора Пар от скорости vs. Для дальнейшего преобразования уравнения G7.8) вернемся к кинетическому уравнению G7.1), умножим его на ра и про- интегрируем по сРр/BтгН)^. Ввиду сохранения суммарного им- пульса квазичастиц при столкновениях, правая часть уравнения обратится в нуль. Интеграл же в левой части уравнения преоб- разуем точно так, как это делалось в § 74 (при выводе G4.10)), и находим д i v . д I де\ . / де \ п /771м т-fc + ^— \Ра— ) + {^— > = 0. 77.10 dt дх \ др I \ дх I Подставим теперь в G7.8) выражения G7.7) и G7.9) для i и Па{з и затем исключим dp/dt и d(p)/dt с помощью G7.6) и G7.10). В результате получим dt дха 2 р дх(з р \др/ дха Из условия rot vs = 0 (учтенного уж:е и во втором члене) следу- ет, что сумма трех последних членов должна быть градиентом некоторой функции. Кроме того, тензор П^о в отсутствие квази- частиц должен быть равен Ро^а/3? гДе Ро(р) ~ давление жидкости при Т = 0. Из этих требований однозначно следует вид тензора п(о). <! = ("¦?)+4ft+'(!)]¦ <77Л1) Уравнение для vs принимает теперь вид + у[^ + ^ + /^\1 =0, G7.12) dt [2 m \др/\ V J 1) Формулу галилеевского преобразования для Иа/з легко найти, рассмо- трев классическую систему частиц, для которой Иа/з = ^2РаУ/з = ^2mvaVf3, где суммирование производится по всем частицам в единице объема. § 77 КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ БОЗЕ-ЖИДКОСТИ 393 где /io — химический потенциал жидкости (при Т = 0), связан- ный с давлением Pq термодинамическим соотношением d/jQ = = mdPo/р (га — масса частицы жидкости, га/р — молекулярный объем). Уравнения G7.1), G7.6), G7.12) составляют полную систему уравнений, описывающих сверхтекучую жидкость в неравновес- ном состоянии {И.М. Халатников, 1952). Остановимся еще, для полноты, на законе сохранения энер- гии. Он выражается уравнением вида ^ 0, G7.13) где q — плотность потока энергии жидкости. Согласно G7.2), (p) + (f, G7.14) где Eq(p) — энергия при Т = 0, связанная с химическим потенци- алом соотношением dE$ = /j,q dp/m. Дифференцируя выражение G7.14) по времени и используя известные уже уравнения для всех величин, можно найти плотность потока энергии. Опустив вычисления, приведем окончательный результат G7.15) Равновесная функция распределения квазичастиц в системе отсчета, в которой «газ квазичастиц» как целое покоится (т. е. нормальная скорость vn = 0), есть обычное распределение Бозе с энергией квазичастицы ?, даваемой выражением G7.3). Распре- деление же в системе отсчета, в которой нормальная скорость отлична от нуля, получается заменой ?на е'— pvn. Таким обра- зом, равновесное распределение квазичастиц при наличии обоих движений есть Путем усреднения полученных выше уравнений по этому рас- пределению можно получить систему уравнений двухскоростной гидродинамики (в этом приближении — без диссипативных чле- нов); мы на этом здесь останавливаться не будем.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Кинетическое уравнение для квазичастиц в бозе-жидкости» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Строго говоря, формула G7.2) выведена для однородного сверхтеку- 