В двух предыдущих параграфах подразумевалось, что кри- сталлическая решетка — идеальная, без дефектов. Остановимся теперь на роли, которую может играть в теплопроводности ди- электрика рассеяние фононов на примесных атомах. По отношению к длинноволновым акустическим фононам примесный атом представляет собой точечный дефект решетки. Характерная особенность рассеяния на таких дефектах состоит в его упругости (частота фонона не меняется), причем сечение § 70 РАССЕЯНИЕ ФОНОНОВ НА ПРИМЕСЯХ 363 рассеяния быстро падает с уменьшением частоты или, что то же, волнового вектора — как /с4 1). Интеграл столкновений для рассеяния фононов на примесях имеет вид J G0.1) Как обычно, первый член в фигурных скобках дает число актов рассеяния, приводящих (в единицу времени) фонон в состояние с заданным квазиимпульсом к из состояний с любыми други- ми значениями к7, отвечающими той же энергии. Аналогичным образом, второй член дает число актов рассеяния, уводящих фо- ноны из заданного состояния во все другие. Если примесные ато- мы расположены хаотически, а среднее расстояние между ними много больше амплитуды рассеяния, то различные атомы рас- сеивают независимо и вероятности складываются. В этих усло- виях (что и предположено в G0.1)) общее число актов рассе- яния пропорционально плотности примесных атомов Nup. При рассеянии в анизотропной среде функция u? (k, k7) зависит от на- правлений обоих векторов кик7; зависимость же от абсолют- ной величины к = к1 дается законом week4". В G0.1) положено u? (k, k7) = U7(k7,k). Напомним, что в борновском приближении это равенство следует из условия унитарности с учетом малости амплитуды рассеяния, при пренебрежении членами второго по- рядка (см. II, § 126). К рассеянию фонона на примесном атоме борновское приближение, вообще говоря, неприменимо. Но при низких температурах, когда речь идет о фононах с малыми к, есть другой источник малости амплитуды рассеяния — ее про- порциональность к2; пренебрегая членами со/с4, снова придем к требуемому равенству. Произведения N^N^r в фигурных скобках в G0.1) сокраща- ются, и после подстановки N = N + SN интеграл столкновений сразу принимает линеаризованный вид: StiV = InpEN) = NnpJwENk, - 5Nk)8(u' - ")|^. G0.2) Вместе с функцией w этот интеграл пропорционален А;4. По- скольку в то же время производная дЩ/дТ со 1/ио со 1/к при а; < Т, то в этой области частот SNcok'6. G0.3) ) Это — общее свойство рассеяния звуковых волн на препятствиях с раз- мерами, малыми по сравнению с длиной волны (ср. VI, § 76). Ср. также аналогичную ситуацию для рассеяния длинных электромагнитных воли — II, § 79. 364 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ. VII С такой ситуацией мы уже встречались в § 68 (ср. F8.4)): зависи- мость G0.3) приводит к расходимости интеграла, определяющего тепловой поток. Таким образом, само по себе наличие примесей в кристалле не может обеспечить конечности теплового сопро- тивления диэлектрика. Это не означает, однако, что примеси вообще не играют роли в установлении этого сопротивления. Дело в том, что рассея- ние на примесных атомах не сохраняет квазиимпульс фононов, и в этом смысле оно может играть роль процессов переброса. В достаточно чистых образцах может существовать область низ- ких температур, в которой эффективная частота ^пр рассеяния на примесях (для фононов с ио ~ Т) занимает промежуточное положение между частотами нормальных и перебросных фонон- ных столкновений: vn > ^пР > vu- G0.4) В таких условиях роль процессов переброса переходит к примес- ному рассеянию и формулы F9.6)-F9.8) остаются в силе, если заменить в них 1ц на /пр. В результате коэффициент теплопро- водности определяется формулой F9.9) с иир вместо уц\ *= =-$ Согласно G0.2), ^ПрСОа;4 ~ Т4. Величины же f3\ и /?2 для аку- стических фононов пропорциональны Т3 (см. F9.10)). Поэтому мы приходим в рассматриваемой ситуации к закону ж col /Т.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Рассеяние фононов на примесях» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
