Тензор диэлектрической проницаемости бесстолкновитель- ной магнитоактивной плазмы с учетом пространственной дис- персии вычисляется по функциям распределения электронов и ионов, определяемым кинетическим уравнением. Будем, для определенности, писать все формулы для элек- тронов. Кинетические уравнения бесстолкновительной плазмы были написаны уже в § 27. Для электронов оно имеет вид1) f + v|-e(E+ i[vB,)g = 0. E3Л) Пусть плазма находится в постоянном однородном магнит- ном поле Bq произвольной величины и слабом переменном элек- тромагнитном поле, в котором E,B'~e*(kr-^. E3.2) При этом, в силу уравнений Максвелла, -В' = [кЕ]. E3.3) с Подставим в E3.1) В = Bq + В', а функцию распределения представим в виде / = /о + Sf, где /о — стационарное и од- нородное распределение в отсутствие переменного поля; малая j Строго говоря, в присутствии магнитного поля фазовое простран- ство частицы должно определяться как пространство г, Р, где Р = р — — еА(?, г)/с — обобщенный импульс. Но d3xd3P = d3x d3p, так как добавле- ние А только меняет начало отсчета импульса в каждой точке пространства. Поэтому можно относить функцию распределения по-прежнему к d x d p. 270 ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ГЛ. V добавка 6f зависит от t и г по тому же закону E3.2), что и по- ля Е, В', которым она пропорциональна. Отделив в уравнении члены нулевого и первого порядков по слабому полю, получим *) §|[vBo] = 0, E3.4) i(kv - u)Sf - e-[vB0}^l = e^ JE + ±[v[kE]]} . E3.5) с ар ар I uj ) Обозначим через vz, kz составляющие векторов v, k вдоль поля Bq, а через v_l, k^ — составляющие в перпендикулярной Bq плоскости; пусть <р — угол между v^ и плоскостью k^, Bq (отсчитываемый в направлении вращения буравчика, ввинчива- емого вдоль вектора Во); переменные vz, v±, <p составляют ци- линдрические координаты в v-пространстве. В этих переменных уравнение E3.5) принимает вид i(kzvz + k±v± cos ip - шN/ + чве— = е JE + -[v[kE]]| ^. д(р I и ) dp E3.6) Из уравнения же E3.4) следует, что dfo/d<p = 0, т. е. /о может быть любой функцией, зависящей только от pz и р±: fo = fo(Pz,P±) E3.7) (этот результат заранее очевиден для бесстолкновительной плаз- мы, поскольку pz и р± — те переменные, на которые не влияет магнитное поле). Для упрощения записи формул введем обозначения kzvz -и п k±v± /KQ Qx а = , р = , E3.8) E3.9) Если /о зависит только от энергии электронов е = р2/Bт), то производная dfo/др = v dfo/ds и ее произведение со вторым чле- ном в скобках обращается в нуль, так что <2 = —^vE. E3.10) ооBe de j В холодной плазме лоренцеву силу со стороны слабого поля В7 не на- до было учитывать, так как при пренебрежении собственным (в отсутствие поля) движением частиц эта сила второго порядка малости. § 53 ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 271 С этими обозначениями уравнение E3.6) примет вид ^ + i(a + /3 cos <pNf = Q(<p) E3.11) dip (аргументы vz, v± в функции Q не выписываем). Его решение: Sf = е-*(<*<Р+Раш<р) Je*(^'+/3siiV)Q(^')^', С или, после замены переменной интегрирования <рг = <р — т, ср-С Sf = e-iPsm<p J eiPsm(<p-T)-iaTQ((p_T)dTm О Постоянная С определяется требованием, чтобы функция 6f бы- ла периодична по <р с периодом 2тг. Поскольку подынтегральная функция (как и множитель перед интегралом) периодична по <р, то поставленное требование удовлетворится, если пределы ин- тегрирования не будут зависеть от <р; для этого надо положить С = ос или С = — ос. Выбор между этими двумя возможностя- ми определяется правилом обхода Ландау B9.6): интегрирование должно производиться при cj^cj + гО, т. е. а ^ а — гО; такой интеграл сходится лишь при С = — ос 1). Окончательно имеем Sf = e-tf Siny, J 0 = exp <—iar — 2if3 cos ((f —-) sin-> Q((f — r) dr. E3.12) о В пределе В$ —> 0 это выражение должно переходить в B9.2). Для выполнения предельного перехода замечаем, что при а ^> 1 в интеграле существенна область т ^С 1. Тогда sin (<р — т) ~ sin <p — — т cos <p и интеграл принимает вид сю сю Г О О Взяв интеграл при cj —)> cj + гО, получим «/ = 7Г^' E3ЛЗ) z(kv — cj) что и требовалось. ) Этот вывод зависит от знака, с которым ш входит в показатель степени. В случае ионов заряд —е заменяется на ге, так что иве —>¦ —ojbi- Тогда при из —>¦ о; + гО было бы а —>> а + гО и для С надо было бы выбрать значение оо. 272 ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ГЛ. V Если частота поля совпадает с ларморовой частотой иове или кратна ей, то говорят о простом или кратном циклотрон- ном резонансе (электронов). Для исследования диэлектрических свойств плазмы вблизи таких резонансов удобен другой способ решения уравнения E3.11), основанный на разложении искомой функции в ряд Фурье по переменной ср. Произведя в E3.11) замену ^ E3Л4) получим для функции g уравнение Его решение ищем в виде ряда Фурье оо Е s= — oo JS(Pg- (V V, ) D o s \uzi u-L) находим (Г 2тг 0 Qs :^8inT-eT)QK,t;±,r)rfr. E3. E3. 15) 16) Разложение E3.15) автоматически обеспечивает периодичность функции Sf по ср. Отметим прежде всего, что выражение Sf в виде ряда E3.14), E3.15) позволяет сразу сформулировать условия допустимости пренебрежения пространственной дисперсией. Волновой вектор входит в члены ряда через параметры Диэлектрическая проницаемость плазмы определяется функци- ей распределения при скоростях v ~ vt- Волновой вектор выпа- дает из этой функции, если k±v±^uiB, \oj-sojB\^\kz\vT. E3.17) Первое из неравенств E3.17) и второе с s = 0 совпадают с усло- виями E2.17). Мы видим, что помимо этих условий требуется еще, чтобы частота ио не лежала слишком близко к какому-либо из циклотронных резонансов. § 54 МАГНИТОАКТИВНАЯ МАКСВЕЛЛОВСКАЯ ПЛАЗМА 273 В окрестности циклотронных резонансов функция распреде- ления может выражаться, при выполнении определенных усло- вий, всего одним членом ряда Фурье. Именно, должно быть \kz\vr ^ив, \w — пиов\ < шв, E3.18) где п — какое-либо из чисел О, =Ы, ±2, ... Легко видеть, что при этом n-й член в разложении E3.15) велик по сравнению с остальными. Действительно, - - QnUJB >Q \kzvT\ + \u -пшв\ между тем как для s Ф п будет gs < Qs (так как \suob — ш\ > Ограничившись этим одним членом, получим для функции рас- пределения электронов: [/ 7 \ . / k±v± . \ г I mp sin (p 1 .. V U Be )\ — Tk 1 vi ' 27Г ZVz-{U-nUBe)\ E3.19) Qn = ^~ ехр [-г (пт - ^^sinrjl Q{vz,v±,t) dr. 2ТГ J L V UJBe / -I 0 Зависимость функции распределения от угла ср этой форму- лой определяется в явном виде. В частности, при п = 0 и к± —>> О распределение вообще не зависит от ср. Происхождение этого свойства очевидно из условия ио <^ иове (E3.18) с п = 0): частота ларморова вращения велика по сравнению с частотой изменения поля, что и приводит к «усреднению» функции распределения по углу вращения 1).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Функция распределения в магнитном поле» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
