ДИПЛОМНІ КУРСОВІ РЕФЕРАТИ


ИЦ OSVITA-PLAZA

Реферати статті публікації

Пошук по сайту

 

Пошук по сайту

Головна » Реферати та статті » Фізика » Теоретична фізика у 10 томах

Явления в сильно разреженных газах
Рассмотренные в предыдущем параграфе явления представ-
ляют собой лишь поправочные эффекты, связанные с высши-
ми степенями отношения длины свободного пробега / к харак-
теристическим размерам задачи L; это отношение по-прежнему
предполагалось малым. Если же газ настолько разрежен (или
размеры L настолько малы), что 1/L > 1, то гидродинамические
уравнения становятся вовсе неприменимыми, даже с исправлен-
ными граничными условиями.
В общем случае произвольного 1/L требуется в принципе
решать кинетическое уравнение с определенными граничны-
ми условиями на соприкасающихся с газом твердых поверхно-
стях. Эти условия определяются взаимодействием молекул газа
с поверхностью и связывают функцию распределения частиц,
падающих на поверхность, с функцией распределения частиц,
покидающих ее. Если это взаимодействие сводится к рассея-
нию молекул (без их химического превращения, ионизации или
поглощения поверхностью), то оно описывается вероятностью
w(Tf, Г) с/Г7, т. е. вероятностью того, что молекула с заданными
значениями Г, столкнувшись с поверхностью, отразится от нее в
заданный интервал с/Г7; функция w нормирована условием
/ЦГ7,Г)^Г7 = 1. A5.1)
С помощью w граничное условие для функции распределения
/(Г) записывается в виде
/ w(Tf, T)nv/® dY = -nv7/(r7) при nv7 > 0. A5.2)
nv<0
Интеграл в левой части представляет собой число молекул, па-
дающих в 1 с на 1 см2 поверхности и попадающих в результате
рассеяния в заданный интервал с?Г7; интегрирование производит-
ся по области значений Г, отвечающей молекулам, движущимся
по направлению к поверхности (п — единичный вектор внеш-
ней нормали к поверхности тела). Выражение же в правой части
условия A5.2) есть число молекул, покидающих поверхность (за
то же время и с той же площади); значения Г7 в обеих частях
равенства должны отвечать молекулам, движущимся по направ-
лению от поверхности.
В равновесии, когда температура газа совпадает с темпера-
турой тела, функция распределения как падающих, так и отра-
женных частиц должна быть больцмановской. Отсюда следует,
что функция w должна тождественно удовлетворять равенству
/ w(Tf, T)nve-?/Tl dY = -nv7e-?//^i ? A5.з)
nv<0
§ 15 ЯВЛЕНИЯ В СИЛЬНО РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗАХ 77
получающемуся подстановкой в A5.2) /(Г) = const • ехр(—e/Ti),
где Т\ — температура тела.
В описанной общей постановке решение задачи о движении
сильно разреженного газа, конечно, весьма затруднительно. За-
дача может быть поставлена, однако, более простым образом в
предельных случаях настолько сильного разрежения газа, что
отношение 1/L ^> 1.
Большая категория таких задач относится к ситуациям, ког-
да значительная масса газа занимает объем, размеры которо-
го велики как по сравнению с размерами L погруженных в газ
твердых тел, так и по сравнению с длиной пробега /. Столкнове-
ния молекул с поверхностью тел происходят тогда сравнительно
редко и несущественны по сравнению со взаимными столкнове-
ниями молекул. Если газ сам по себе находится в равновесии
с некоторой температурой Т2, то в этих условиях можно счи-
тать, что равновесие не нарушается погруженным в него телом.
При этом между газом и телом могут существовать произволь-
ные разности температур. То же самое относится и к скоростям
макроскопического движения.
Пусть т = Т2 — Т\ есть разность между температурой га-
за и температурой некоторого участка df поверхности тела, а
V — скорость движения газа относительно тела. При отличных
от нуля т и V возникает, во-первых, обмен теплом между газом
и телом и, во-вторых, на тело действует со стороны газа неко-
торая сила. Обозначим плотность диссипативного потока тепла
от газа к телу через q. Силу же, действующую в каждой точке
поверхности тела по направлению п внешней нормали к ней (и
отнесенную к единице площади), обозначим как F — Рп. Здесь
второй член есть обычное давление газа, a F — интересующая
нас дополнительная сила, связанная с т и V. Величины q и F
являются функциями от т и V, обращающимися в нуль вместе
с ними.
Если т и V достаточно малы (первое — по сравнению с са-
мими температурами газа и тела, а второе — по сравнению с
тепловой скоростью молекул газа), то можно разложить q и F
в ряд по степеням т и V, ограничившись линейными членами.
Обозначим символами Fn и Vn компоненты F и V по направле-
нию нормали п, а символами Е\, "Щ — их тангенциальные соста-
вляющие; последние являются векторами с двумя независимыми
компонентами. Тогда указанные разложения будут иметь вид
q = aT + CVn, Fn = jT + 5Vn, Ft = 6Vt, A5.4)
где а, /3, 7, E, в — постоянные (вернее, функции температуры
и давления), характерные для каждых данных газа и вещества
твердого тела. «Скалярные» величины q и Fn не могут, в силу
соображений симметрии, содержать членов, линейных по векто-
78 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ ГЛ. I
ру VV По такой же причине в разложении вектора F^ отсутству-
ют члены, линейные по «скалярам» т и Vn.
Величины а, E, в положительны. Так, если температура газа
выше температуры тела (т > 0), то тепло будет переходить от
газа к телу, т. е. соответствующая часть потока q будет положи-
тельна; поэтому а > 0. Далее, действующие на тело силы Fn,
Ft, обусловленные движением газа относительно тела, должны
быть направлены в ту же сторону, куда направлены Vn и V^;
поэтому должно быть 5 > 0, в > 0. Что касается коэффициен-
тов /3 и 7, то их знак не следует из общих термодинамических
соображений (хотя, по-видимому, фактически они, как прави-
ло, положительны). Между ними имеется простое соотношение,
являющееся следствием принципа симметрии кинетических ко-
эффициентов.
Для вывода этого соотношения вычислим производную по
времени от полной энтропии всей системы, состоящей из газа
вместе с находящимся в нем телом. В единицу времени тело по-
лучает от газа через каждый элемент поверхности df количество
тепла qdf. При этом энтропия тела Si испытывает приращение:
где интегрирование производится по всей поверхности тела.
Для вычисления увеличения энтропии газа выбираем такую
систему координат, в которой газ (в месте нахождения тела) по-
коится; в этой системе скорость каждой точки поверхности тела
есть —V. Для целей доказательства искомого соотношения бу-
дем считать, что форма тела может меняться при его движении;
тогда скорости V различных точек его поверхности будут яв-
ляться произвольными независимыми переменными величина-
ми. Согласно термодинамическому соотношению dE = T dS —
— Р dV изменение энтропии газа в единицу времени равно
(величины с индексом 2 относятся к газу). Производная Е2 рав-
на, в силу сохранения полной энергии системы, взятому с обрат-
ным знаком изменению энергии тела. Последнее складывается
из количества тепла <fqdfn произведенной над телом работы,
равной интегралу $(—V)(F — Рп) df. Отсюда находим для изме-
нения энергии газа:
Е2 = §{-q + FnVn + FtVt - P2Vn) df.
Что касается изменения объема газа, то оно равно взятому с
обратным знаком изменению объема тела:
§ 15 ЯВЛЕНИЯ В СИЛЬНО РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗАХ 79
Таким образом, имеем для изменения энтропии газа:
#2 = ±§(-q + FnVn + FtVt) df.
J-2
Складывая производные от S\ и $2 и полагая затем (при ма-
лых т) Т\ « Т2 = Т, получаем окончательно для скорости изме-
нения полной энтропии системы:
+F~t+Ч1]df-
Выберем в качестве величин ?]_, Ж2, жз, ?4 в общей формули-
ровке принципа Онсагера (§ 9) соответственно g, Fn и две компо-
ненты вектора F^ (в каждой заданной точке поверхности тела).
Для выяснения смысла соответствующих величин Ха сравним
формулу A5.5) с общим выражением скорости изменения энтро-
пии (9.3). Мы увидим тогда, что величинами Х\, Хъ, -Х"з? Х^
будут соответственно —т/Т2, —Vn/T и две компоненты векто-
ра —Yt/T в той же точке. Кинетические же коэффициенты (ко-
эффициенты в соотношениях (9.1)):
711 = аТ2, 722 = ST, 7зз = 744 = вТ,
712 = /ЗТ, 721 = IT2.
Из симметрии 712 = 721 следует, таким образом, искомое соотно-
шение
C = 7Т. A5.6)
Отметим также, что из условия положительности квадратич-
ной формы (9.3) (S > 0) следуют уже упомянутые неравенства
а, /3, в > 0 и дополнительно еще неравенство
TaS > f32.
Вычисление коэффициентов в A5.4) требует знания конкрет-
ного закона рассеяния молекул газа от поверхности тела, выра-
жаемого введенной выше функцией г^(Г7,Г). Для примера полу-
чим формулу, позволяющую в принципе вычислить величину а.
Плотность потока энергии от газа к телу выражается инте-
гралом
q = f(e- e')\vx\w(T', Г)/(Г) dT dT' A5.7)
(взятым по области vx < 0, v'x > 0), — при каждом столкновении
молекулы со стенкой последней передается энергия е — е'.
Преобразуем это выражение с помощью принципа детально-
го равновесия, согласно которому в состоянии равновесия число
80 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ ГЛ. I
переходов Г —>• Г7 при рассеянии молекул от стенки равно числу
переходов Г/Т —>> Гт. Это означает, что
(^) A5.8)
(в равновесии температура газа совпадает с температурой
стенки).
Произведем в A5.7) переобозначение переменных интегриро-
вания Г —>> Г/Т, Г7 —>> Гт. Взяв полусумму обоих получающихся
выражений, напишем
x
Наконец, подставив сюда w(TT, Г/Т) из A5.8) и разложив затем
подынтегральное выражение по степеням малой разности т =
= Т2 — Ti, найдем, что q = ат, где
(^±) dYdV A5.9)
(vx < 0, vx > 0; индекс у температуры Т\ « Т2 опущен).
Функция распределения молекул, рассеянных от стенки, за-
висит от конкретного характера их взаимодействия со стенкой.
Говорят, что имеет место полная аккомодация, если молекулы,
отраженные от каждого элемента поверхности тела, имеют (неза-
висимо от величины и направления их скорости до столкнове-
ния) такое же распределение, какое имели бы молекулы в пучке,
выходящем из маленького отверстия в сосуде с газом с темпера-
турой, равной температуре тела. Другими словами, при полной
аккомодации рассеиваемый от стенки газ приходит в тепловое
равновесие с нею. Величину коэффициентов в A5.4) имеет смысл
сравнивать именно с их значениями при полной аккомодации.
В частности, обмен энергией между молекулами газа и твер-
дой стенкой обычно характеризуют коэффициентом аккомода-
ции, определяемым как отношение а/ао (где «о отвечает полной
аккомодации). В реальных случаях полная аккомодация, вооб-
ще говоря, не достигается и коэффициент аккомодации меньше
единицы.
В том, что значение «о действительно является наибольшим
возможным, легко убедиться с помощью следующих соображе-
ний. Рассмотрим энтропию S в A5.5) с несколько иной точки
зрения: не как полную энтропию тела и газа в целом, а как эн-
тропию тела и лишь той совокупности молекул газа, которые за
время At падают на поверхность тела. Для этой системы отра-
§ 15 ЯВЛЕНИЯ В СИЛЬНО РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗАХ 81
жение молекул с полной аккомодацией означает переход в состо-
яние полного равновесия, так что ее энтропия принимает макси-
мально возможное значение. Соответственно будет максимально
возможным и изменение энтропии, AS = SAt, сопровождаю-
щее этот переход1). Другими словами, при полной аккомодации
квадратичная форма (9.3) должна быть максимальна при лю-
бых заданных значениях величин Ха (т. е. т, Vni V^). Отмечая
соответствующие значения коэффициентов 7аб индексом нуль,
запишем это условие в виде
а^аг2 2(/30-/3) fc-* 2 + в_о^± у2 Q
Отсюда следуют неравенства
«о > a, So > ?, Oq > 6,
Т(ао-а)(<5о-<5)>(А)-/3J. A5.10)
Рассмотрим вытекание сильно разреженного газа из малень-
кого отверстия (с линейными размерами L). В предельном слу-
чае 1/L ^> 1 этот процесс приобретает весьма простой харак-
тер. Молекулы будут покидать сосуд независимо одна от дру-
гой, образуя молекулярный пучок, в котором каждая молеку-
ла движется с той скоростью, с которой она подошла к отвер-
стию. Число молекул, выходящих в 1 с из отверстия, совпадает с
числом столкновений, которые испытали бы за это время моле-
кулы газа с площадью поверхности, равной площади отверстия
s. Число столкновений, отнесенное к единице площади стенки,
есть PBtt77iT)~1/2, где Р — давление газа, m — масса молекулы
(см. V, § 39). Таким образом, для количества (массы) вытекаю-
щего в 1 с газа находим
^? A5.11)
Если два сосуда с газом соединены друг с другом отверсти-
ем, то в случае I ^ L при механическом равновесии давления Р\
и ?2 газов в обоих сосудах будут одинаковыми, вне зависимости
от значений их температур Т\ и Т2. Если же / ^> L, то условием
механического равновесия будет являться равенство чисел моле-
кул, переходящих через отверстие из одного сосуда в другой и
1) В этих рассуждениях существенно, что тело (играющее роль «тепло-
вого резервуара») можно считать находящимся в состоянии равновесия в
течение всего процесса, а энтропия идеального газа зависит только от за-
кона распределения его молекул, но не от закона их взаимодействия друг с
другом.
82 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ ГЛ. I
обратно. Согласно A5.11) это приводит к равенству
A5.12)
Pi
Таким образом, давления разреженных газов в двух сооб-
щающихся сосудах будут различными, причем они относятся
друг к другу как корни из температур {эффект Кнудсена).
До сих пор речь шла о явлениях в значительной массе силь-
но разреженного газа, находящегося самом по себе в равнове-
сии. Остановимся коротко на явлениях другого характера, в ко-
торых и сам газ не находится в равновесном состоянии. Тако-
ва, например, передача тепла между двумя твердыми пластин-
ками, нагретыми до различных температур и погруженными в
разреженный газ, причем расстояние между ними мало по срав-
нению с длиной свободного пробега. Молекулы, движущиеся в
пространстве между пластинками, практически не испытывают
столкновений друг с другом и, отражаясь от одной пластинки,
свободно движутся до столкновения с другой. При рассеянии от
более нагретой пластинки молекулы приобретают от нее неко-
торую энергию, а затем при столкновении с менее нагретой —
отдают ей часть своей энергии. Механизм теплопередачи в этом
случае существенно отличается, таким образом, от механизма
обычной теплопроводности в неразреженном газе. Его можно ха-
рактеризовать коэффициентом теплопередачи х, определенным
(по аналогии с обычным коэффициентом теплопроводности) так,
чтобы было
где q — передаваемое количество тепла (отнесенное к единице
площади пластинок в единицу времени), Т\ и Т2 — температуры
пластинок, a L — расстояние между ними. Коэффициент к мож-
но оценить по порядку величины с помощью формулы G.10). По-
скольку вместо столкновений молекул друг с другом мы имеем
теперь дело с непосредственными столкновениями с пластинка-
ми, то вместо длины свободного пробега / надо подставить рас-
стояние L между пластинками. Таким образом, имеем
к~ LvN ~ -JL. A5.14)
Коэффициент теплопередачи в сильно разреженном газе пропор-
ционален давлению — в противоположность теплопроводности
неразреженного газа, не зависящей от давления. Подчеркнем,
впрочем, что теперь ж не является характеристикой лишь са-
мого газа: ж зависит также и от конкретных условий задачи (от
расстояния L между пластинками).
§ 15 ЯВЛЕНИЯ В СИЛЬНО РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗАХ 83
Аналогичное явление представляет собой «вязкость» сильно
разреженного газа, проявляющаяся, например, при относитель-
ном движении двух находящихся в нем пластинок (причем опять
L <С /). Коэффициент вязкости т\ надо определить теперь так,
чтобы было
F = rjV/L, A5.15)
где F — сила трения, испытываемая движущейся пластинкой
(отнесенная к единице ее площади), а V — скорость движения
одной пластинки относительно другой. Написав в (8.11) рассто-
яние L вместо длины пробега /, получим
г/ - mvNL ~ LPJ — , A5.16)
т. е. вязкость разреженного газа тоже пропорциональна давле-
нию.

Ви переглядаєте статтю (реферат): «Явления в сильно разреженных газах» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»

Заказать диплом курсовую реферат
Реферати та публікації на інші теми: Аудит малоцінних і швидкозношуваних предметів
Подвоєння та подовження приголосних
ЗАОЩАДЖЕННЯ ТА ІНВЕСТИЦІЇ В МЕХАНІЗМІ ГРОШОВОГО РИНКУ
СТВОРЕННЯ І РОЗВИТОК ГРОШОВОЇ СИСТЕМИ УКРАЇНИ
Свидетельства отвеса и маятника


Категорія: Теоретична фізика у 10 томах | Додав: koljan (30.11.2013)
Переглядів: 647 | Рейтинг: 0.0/0
Всього коментарів: 0
Додавати коментарі можуть лише зареєстровані користувачі.
[ Реєстрація | Вхід ]

Онлайн замовлення

Заказать диплом курсовую реферат

Інші проекти




Діяльність здійснюється на основі свідоцтва про держреєстрацію ФОП