Рассмотренные в предыдущем параграфе явления представ- ляют собой лишь поправочные эффекты, связанные с высши- ми степенями отношения длины свободного пробега / к харак- теристическим размерам задачи L; это отношение по-прежнему предполагалось малым. Если же газ настолько разрежен (или размеры L настолько малы), что 1/L > 1, то гидродинамические уравнения становятся вовсе неприменимыми, даже с исправлен- ными граничными условиями. В общем случае произвольного 1/L требуется в принципе решать кинетическое уравнение с определенными граничны- ми условиями на соприкасающихся с газом твердых поверхно- стях. Эти условия определяются взаимодействием молекул газа с поверхностью и связывают функцию распределения частиц, падающих на поверхность, с функцией распределения частиц, покидающих ее. Если это взаимодействие сводится к рассея- нию молекул (без их химического превращения, ионизации или поглощения поверхностью), то оно описывается вероятностью w(Tf, Г) с/Г7, т. е. вероятностью того, что молекула с заданными значениями Г, столкнувшись с поверхностью, отразится от нее в заданный интервал с/Г7; функция w нормирована условием /ЦГ7,Г)^Г7 = 1. A5.1) С помощью w граничное условие для функции распределения /(Г) записывается в виде / w(Tf, T)nv/® dY = -nv7/(r7) при nv7 > 0. A5.2) nv<0 Интеграл в левой части представляет собой число молекул, па- дающих в 1 с на 1 см2 поверхности и попадающих в результате рассеяния в заданный интервал с?Г7; интегрирование производит- ся по области значений Г, отвечающей молекулам, движущимся по направлению к поверхности (п — единичный вектор внеш- ней нормали к поверхности тела). Выражение же в правой части условия A5.2) есть число молекул, покидающих поверхность (за то же время и с той же площади); значения Г7 в обеих частях равенства должны отвечать молекулам, движущимся по направ- лению от поверхности. В равновесии, когда температура газа совпадает с темпера- турой тела, функция распределения как падающих, так и отра- женных частиц должна быть больцмановской. Отсюда следует, что функция w должна тождественно удовлетворять равенству / w(Tf, T)nve-?/Tl dY = -nv7e-?//^i ? A5.з) nv<0 § 15 ЯВЛЕНИЯ В СИЛЬНО РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗАХ 77 получающемуся подстановкой в A5.2) /(Г) = const • ехр(—e/Ti), где Т\ — температура тела. В описанной общей постановке решение задачи о движении сильно разреженного газа, конечно, весьма затруднительно. За- дача может быть поставлена, однако, более простым образом в предельных случаях настолько сильного разрежения газа, что отношение 1/L ^> 1. Большая категория таких задач относится к ситуациям, ког- да значительная масса газа занимает объем, размеры которо- го велики как по сравнению с размерами L погруженных в газ твердых тел, так и по сравнению с длиной пробега /. Столкнове- ния молекул с поверхностью тел происходят тогда сравнительно редко и несущественны по сравнению со взаимными столкнове- ниями молекул. Если газ сам по себе находится в равновесии с некоторой температурой Т2, то в этих условиях можно счи- тать, что равновесие не нарушается погруженным в него телом. При этом между газом и телом могут существовать произволь- ные разности температур. То же самое относится и к скоростям макроскопического движения. Пусть т = Т2 — Т\ есть разность между температурой га- за и температурой некоторого участка df поверхности тела, а V — скорость движения газа относительно тела. При отличных от нуля т и V возникает, во-первых, обмен теплом между газом и телом и, во-вторых, на тело действует со стороны газа неко- торая сила. Обозначим плотность диссипативного потока тепла от газа к телу через q. Силу же, действующую в каждой точке поверхности тела по направлению п внешней нормали к ней (и отнесенную к единице площади), обозначим как F — Рп. Здесь второй член есть обычное давление газа, a F — интересующая нас дополнительная сила, связанная с т и V. Величины q и F являются функциями от т и V, обращающимися в нуль вместе с ними. Если т и V достаточно малы (первое — по сравнению с са- мими температурами газа и тела, а второе — по сравнению с тепловой скоростью молекул газа), то можно разложить q и F в ряд по степеням т и V, ограничившись линейными членами. Обозначим символами Fn и Vn компоненты F и V по направле- нию нормали п, а символами Е\, "Щ — их тангенциальные соста- вляющие; последние являются векторами с двумя независимыми компонентами. Тогда указанные разложения будут иметь вид q = aT + CVn, Fn = jT + 5Vn, Ft = 6Vt, A5.4) где а, /3, 7, E, в — постоянные (вернее, функции температуры и давления), характерные для каждых данных газа и вещества твердого тела. «Скалярные» величины q и Fn не могут, в силу соображений симметрии, содержать членов, линейных по векто- 78 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ ГЛ. I ру VV По такой же причине в разложении вектора F^ отсутству- ют члены, линейные по «скалярам» т и Vn. Величины а, E, в положительны. Так, если температура газа выше температуры тела (т > 0), то тепло будет переходить от газа к телу, т. е. соответствующая часть потока q будет положи- тельна; поэтому а > 0. Далее, действующие на тело силы Fn, Ft, обусловленные движением газа относительно тела, должны быть направлены в ту же сторону, куда направлены Vn и V^; поэтому должно быть 5 > 0, в > 0. Что касается коэффициен- тов /3 и 7, то их знак не следует из общих термодинамических соображений (хотя, по-видимому, фактически они, как прави- ло, положительны). Между ними имеется простое соотношение, являющееся следствием принципа симметрии кинетических ко- эффициентов. Для вывода этого соотношения вычислим производную по времени от полной энтропии всей системы, состоящей из газа вместе с находящимся в нем телом. В единицу времени тело по- лучает от газа через каждый элемент поверхности df количество тепла qdf. При этом энтропия тела Si испытывает приращение: где интегрирование производится по всей поверхности тела. Для вычисления увеличения энтропии газа выбираем такую систему координат, в которой газ (в месте нахождения тела) по- коится; в этой системе скорость каждой точки поверхности тела есть —V. Для целей доказательства искомого соотношения бу- дем считать, что форма тела может меняться при его движении; тогда скорости V различных точек его поверхности будут яв- ляться произвольными независимыми переменными величина- ми. Согласно термодинамическому соотношению dE = T dS — — Р dV изменение энтропии газа в единицу времени равно (величины с индексом 2 относятся к газу). Производная Е2 рав- на, в силу сохранения полной энергии системы, взятому с обрат- ным знаком изменению энергии тела. Последнее складывается из количества тепла <fqdfn произведенной над телом работы, равной интегралу $(—V)(F — Рп) df. Отсюда находим для изме- нения энергии газа: Е2 = §{-q + FnVn + FtVt - P2Vn) df. Что касается изменения объема газа, то оно равно взятому с обратным знаком изменению объема тела: § 15 ЯВЛЕНИЯ В СИЛЬНО РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗАХ 79 Таким образом, имеем для изменения энтропии газа: #2 = ±§(-q + FnVn + FtVt) df. J-2 Складывая производные от S\ и $2 и полагая затем (при ма- лых т) Т\ « Т2 = Т, получаем окончательно для скорости изме- нения полной энтропии системы: +F~t+Ч1]df- Выберем в качестве величин ?]_, Ж2, жз, ?4 в общей формули- ровке принципа Онсагера (§ 9) соответственно g, Fn и две компо- ненты вектора F^ (в каждой заданной точке поверхности тела). Для выяснения смысла соответствующих величин Ха сравним формулу A5.5) с общим выражением скорости изменения энтро- пии (9.3). Мы увидим тогда, что величинами Х\, Хъ, -Х"з? Х^ будут соответственно —т/Т2, —Vn/T и две компоненты векто- ра —Yt/T в той же точке. Кинетические же коэффициенты (ко- эффициенты в соотношениях (9.1)): 711 = аТ2, 722 = ST, 7зз = 744 = вТ, 712 = /ЗТ, 721 = IT2. Из симметрии 712 = 721 следует, таким образом, искомое соотно- шение C = 7Т. A5.6) Отметим также, что из условия положительности квадратич- ной формы (9.3) (S > 0) следуют уже упомянутые неравенства а, /3, в > 0 и дополнительно еще неравенство TaS > f32. Вычисление коэффициентов в A5.4) требует знания конкрет- ного закона рассеяния молекул газа от поверхности тела, выра- жаемого введенной выше функцией г^(Г7,Г). Для примера полу- чим формулу, позволяющую в принципе вычислить величину а. Плотность потока энергии от газа к телу выражается инте- гралом q = f(e- e')\vx\w(T', Г)/(Г) dT dT' A5.7) (взятым по области vx < 0, v'x > 0), — при каждом столкновении молекулы со стенкой последней передается энергия е — е'. Преобразуем это выражение с помощью принципа детально- го равновесия, согласно которому в состоянии равновесия число 80 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ ГЛ. I переходов Г —>• Г7 при рассеянии молекул от стенки равно числу переходов Г/Т —>> Гт. Это означает, что (^) A5.8) (в равновесии температура газа совпадает с температурой стенки). Произведем в A5.7) переобозначение переменных интегриро- вания Г —>> Г/Т, Г7 —>> Гт. Взяв полусумму обоих получающихся выражений, напишем x Наконец, подставив сюда w(TT, Г/Т) из A5.8) и разложив затем подынтегральное выражение по степеням малой разности т = = Т2 — Ti, найдем, что q = ат, где (^±) dYdV A5.9) (vx < 0, vx > 0; индекс у температуры Т\ « Т2 опущен). Функция распределения молекул, рассеянных от стенки, за- висит от конкретного характера их взаимодействия со стенкой. Говорят, что имеет место полная аккомодация, если молекулы, отраженные от каждого элемента поверхности тела, имеют (неза- висимо от величины и направления их скорости до столкнове- ния) такое же распределение, какое имели бы молекулы в пучке, выходящем из маленького отверстия в сосуде с газом с темпера- турой, равной температуре тела. Другими словами, при полной аккомодации рассеиваемый от стенки газ приходит в тепловое равновесие с нею. Величину коэффициентов в A5.4) имеет смысл сравнивать именно с их значениями при полной аккомодации. В частности, обмен энергией между молекулами газа и твер- дой стенкой обычно характеризуют коэффициентом аккомода- ции, определяемым как отношение а/ао (где «о отвечает полной аккомодации). В реальных случаях полная аккомодация, вооб- ще говоря, не достигается и коэффициент аккомодации меньше единицы. В том, что значение «о действительно является наибольшим возможным, легко убедиться с помощью следующих соображе- ний. Рассмотрим энтропию S в A5.5) с несколько иной точки зрения: не как полную энтропию тела и газа в целом, а как эн- тропию тела и лишь той совокупности молекул газа, которые за время At падают на поверхность тела. Для этой системы отра- § 15 ЯВЛЕНИЯ В СИЛЬНО РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗАХ 81 жение молекул с полной аккомодацией означает переход в состо- яние полного равновесия, так что ее энтропия принимает макси- мально возможное значение. Соответственно будет максимально возможным и изменение энтропии, AS = SAt, сопровождаю- щее этот переход1). Другими словами, при полной аккомодации квадратичная форма (9.3) должна быть максимальна при лю- бых заданных значениях величин Ха (т. е. т, Vni V^). Отмечая соответствующие значения коэффициентов 7аб индексом нуль, запишем это условие в виде а^аг2 2(/30-/3) fc-* 2 + в_о^± у2 Q Отсюда следуют неравенства «о > a, So > ?, Oq > 6, Т(ао-а)(<5о-<5)>(А)-/3J. A5.10) Рассмотрим вытекание сильно разреженного газа из малень- кого отверстия (с линейными размерами L). В предельном слу- чае 1/L ^> 1 этот процесс приобретает весьма простой харак- тер. Молекулы будут покидать сосуд независимо одна от дру- гой, образуя молекулярный пучок, в котором каждая молеку- ла движется с той скоростью, с которой она подошла к отвер- стию. Число молекул, выходящих в 1 с из отверстия, совпадает с числом столкновений, которые испытали бы за это время моле- кулы газа с площадью поверхности, равной площади отверстия s. Число столкновений, отнесенное к единице площади стенки, есть PBtt77iT)~1/2, где Р — давление газа, m — масса молекулы (см. V, § 39). Таким образом, для количества (массы) вытекаю- щего в 1 с газа находим ^? A5.11) Если два сосуда с газом соединены друг с другом отверсти- ем, то в случае I ^ L при механическом равновесии давления Р\ и ?2 газов в обоих сосудах будут одинаковыми, вне зависимости от значений их температур Т\ и Т2. Если же / ^> L, то условием механического равновесия будет являться равенство чисел моле- кул, переходящих через отверстие из одного сосуда в другой и 1) В этих рассуждениях существенно, что тело (играющее роль «тепло- вого резервуара») можно считать находящимся в состоянии равновесия в течение всего процесса, а энтропия идеального газа зависит только от за- кона распределения его молекул, но не от закона их взаимодействия друг с другом. 82 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ ГЛ. I обратно. Согласно A5.11) это приводит к равенству A5.12) Pi Таким образом, давления разреженных газов в двух сооб- щающихся сосудах будут различными, причем они относятся друг к другу как корни из температур {эффект Кнудсена). До сих пор речь шла о явлениях в значительной массе силь- но разреженного газа, находящегося самом по себе в равнове- сии. Остановимся коротко на явлениях другого характера, в ко- торых и сам газ не находится в равновесном состоянии. Тако- ва, например, передача тепла между двумя твердыми пластин- ками, нагретыми до различных температур и погруженными в разреженный газ, причем расстояние между ними мало по срав- нению с длиной свободного пробега. Молекулы, движущиеся в пространстве между пластинками, практически не испытывают столкновений друг с другом и, отражаясь от одной пластинки, свободно движутся до столкновения с другой. При рассеянии от более нагретой пластинки молекулы приобретают от нее неко- торую энергию, а затем при столкновении с менее нагретой — отдают ей часть своей энергии. Механизм теплопередачи в этом случае существенно отличается, таким образом, от механизма обычной теплопроводности в неразреженном газе. Его можно ха- рактеризовать коэффициентом теплопередачи х, определенным (по аналогии с обычным коэффициентом теплопроводности) так, чтобы было где q — передаваемое количество тепла (отнесенное к единице площади пластинок в единицу времени), Т\ и Т2 — температуры пластинок, a L — расстояние между ними. Коэффициент к мож- но оценить по порядку величины с помощью формулы G.10). По- скольку вместо столкновений молекул друг с другом мы имеем теперь дело с непосредственными столкновениями с пластинка- ми, то вместо длины свободного пробега / надо подставить рас- стояние L между пластинками. Таким образом, имеем к~ LvN ~ -JL. A5.14) Коэффициент теплопередачи в сильно разреженном газе пропор- ционален давлению — в противоположность теплопроводности неразреженного газа, не зависящей от давления. Подчеркнем, впрочем, что теперь ж не является характеристикой лишь са- мого газа: ж зависит также и от конкретных условий задачи (от расстояния L между пластинками). § 15 ЯВЛЕНИЯ В СИЛЬНО РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗАХ 83 Аналогичное явление представляет собой «вязкость» сильно разреженного газа, проявляющаяся, например, при относитель- ном движении двух находящихся в нем пластинок (причем опять L <С /). Коэффициент вязкости т\ надо определить теперь так, чтобы было F = rjV/L, A5.15) где F — сила трения, испытываемая движущейся пластинкой (отнесенная к единице ее площади), а V — скорость движения одной пластинки относительно другой. Написав в (8.11) рассто- яние L вместо длины пробега /, получим г/ - mvNL ~ LPJ — , A5.16) т. е. вязкость разреженного газа тоже пропорциональна давле- нию.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Явления в сильно разреженных газах» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
