Гидродинамические уравнения движения газа с учетом про- цессов теплопроводности и внутреннего трения содержат тепло- вой поток q' (диссипативная часть потока энергии q) и тензор вязких напряжений а'п (диссипативная часть потока импульса Па/з)- Эти уравнения приобретают реальный смысл после того, как q' и а'п выражены через градиенты температуры и скоро- сти газа. Но обычные выражения, линейные по этим градиентам, представляют собой лишь первые члены разложения по степеням малого отношения 1/L — длины свободного пробега к характер- ным размерам задачи (его называют числом Кнудсена К). Если это отношение не очень мало, может иметь смысл введение по- правок, учитывающих члены следующего порядка малости по 1/L. Такие поправки возникают как в самих уравнениях движе- ния, так и в граничных условиях к ним на поверхности обтекае- мых газом тел. ) Двухатомные молекулы вращаются в плоскости, перпендикулярной М; поэтому для двухатомной полярной молекулы а = 0. В таком случае влия- ние электрического поля на движение молекул проявляется в кинетическом уравнении лишь в квадратичном по полю приближении. ) В газе из нестереоизомерных молекул отсутствие членов с Х2, 773 5 Щ в электрическом поле требуется и условием инвариантности по отношению к инверсии. § 14 ЯВЛЕНИЯ В СЛАБО РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗАХ 67 Последовательные члены разложений потоков q' и а'п вы- ражаются через пространственные производные температуры, давления и скорости различных порядков и в различных сте- пенях. Эти члены должны вычисляться в принципе путем пе- рехода к следующим приближениям в решении кинетического уравнения. «Нулевому» приближению соответствует локально- равновесная функция распределения /о; этому приближению отвечают гидродинамические уравнения идеальной жидкости. Первому приближению соответствует функция распределения вида / = /оA + х^/Т), рассматривавшаяся в § 6-8, и ему отве- чают гидродинамические уравнения Навье-Стокса и уравнение теплопроводности. В следующем, втором, приближении функ- цию распределения надо искать и виде / = /о [l + Х-Х{1) + ^ХB)] A4-1) и линеаризовать кинетическое уравнение по поправке второго порядка х • Получающееся уравнение имеет вид dt ) Т /о \dt/lJU IB) A4.2) где / — прежний линейный интегральный оператор F.5). Про- изводные по времени от макроскопических величин, получаю- щиеся в левой части уравнения от дифференцирования (/ох)/Г, должны быть выражены через пространственные производные с помощью гидродинамических уравнений первого приближения. Символ (d/dt)i во втором члене слева означает, что исключение временных производных должно производиться с помощью урав- нений, в которых опущены члены нулевого порядка и оставлены только члены первого порядка, т. е. содержащие 77, С или К/- Мы не будем выписывать все многочисленные члены в q' и сг^о, возникающие во втором приближении (эти члены назы- вают барнеттовскимщ D. Burnett, 1935). В большом числе слу- чаев эти члены вносят в решение вклад, малый по сравнению с поправками в граничных условиях, о которых речь будет идти ниже. В таких случаях учет поправок в самих уравнениях был бы неоправданным превышением над допустимой точностью. Огра- ничимся рассмотрением лишь некоторых типичных поправочных членов и оценим их для движений различных типов. Отметим прежде всего, что малый параметр К = 1/L опре- деленным образом связан с двумя параметрами, характеризую- щими гидродинамическое движение, — числом Рейнольдса R и числом Маха М. Напомним, что первое из них определяется как 3* 68 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ ГЛ. I R ~ VL/u, где V — характерный масштаб изменения скорости те- чения, a v — кинематическая вязкость; число же Маха М ~ V/u, где и — скорость звука. В газе порядок величины скорости звука совпадает со средней тепловой скоростью молекул U, а кинема- тическая вязкость v rsj (fij). Поэтому R rsj VL/(lv), M ~ V/v, a число Кнудсена К - M/R. A4.3) Отсюда видно, что условие гидродинамичности движения, К <С 1, накладывает определенное ограничение на относитель- ный порядок величины чисел R и М. Рассмотрим сначала «мед- ленные» движения, в которых R < 1, М < 1. A4.4) Рассмотрим какой-либо из барнеттовских членов в тензоре вязких напряжений, содержащих произведение двух первых про- изводных от скорости, например f^; A4.5) дх1 дх1 написанный здесь коэффициент pi2 (р — плотность газа) — оцен- ка по порядку величины. Этот член дает в а'ао вклад а^ ~ ~ p/2y2/L2. Порядок же величины основных (навье-стоксовых) членов в вязких напряжениях: а^ ~ rj(dV/dx) ~ plvV/L, и от- ношение а^/а^ ~ IV/(Lv) ~ (/2/L2)R. Поскольку R < 1, то мы видим, что члены A4.5) вносят в вязкие напряжения поправ- ку относительного порядка < (//LJ, между тем как поправка в граничных условиях (см. ниже) вносит в движение поправки относительного порядка //L, т. е. значительно большие. Еще меньше будут поправки, происходящие от членов вида 1) Но если перепады температуры задаются «извне» (скажем, по- груженными в газ нагретыми телами), то барнеттовские члены вида A4.6) могут привести к возникновению стационарного дви- жения с характерными скоростями, определяющимися условием ®(аав ~^~ аав)/^х13 = дР/дха. Оценка скорости движения дает A4.7) V. L mvT2 (М.Н. Коган, B.C. Галкин, О.Г. Фридлендер, 1970). г) Такие члены в вязких напряжениях впервые рассматривались Макс- веллом A879). § 14 ЯВЛЕНИЯ В СЛАБО РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗАХ 69 При оценке следует учесть, что лапласиан температу- ры можно выразить с помощью уравнения теплопроводности div (ftV)T = 0 через квадрат ее градиента, а также, что движе- ние вызывается только непотенциальной частью силы dal/dxp. Потенциальная же часть силы уравновешивается давлением. Аналогичные соображения относятся к поправочным членам в тепловом потоке q'. Из производных одной только температуры вообще нельзя составить поправочного члена второго порядка; первый (после — xVT) такой поправочный член имеет вид const x х VAT (А — оператор Лапласа), т. е. третьего порядка. Члены же, содержащие наряду с производными от температуры еще и производные от скорости, например т снова приводят к поправкам относительного порядка /2/L2. Перейдем к «быстрым» движениям, в которых R>1, M<1. A4.8) В таких случаях картина гидродинамического движения газа складывается из двух областей: объемной, в которой вязкие чле- ны в уравнениях движения вообще несущественны, и тонкого пограничного слоя, в котором скорость газа быстро убывает. Пусть, например, речь идет об обтекании газом плоской пла- стинки; направление обтекания выберем в качестве оси х. Тол- щина 6 пограничного слоя на пластинке: \v J V v где х — расстояние от ее передней кромки (см. VI, § 39). Ха- рактерный размер для изменения скорости вдоль оси х дается самой координатой ж, а вдоль перпендикулярного пластинке на- правления оси у — толщиной пограничного слоя 6. При этом Vy ~ Vx5/x, как это следует из уравнения непрерывности. Глав- ный член в навье-стоксовом тензоре вязких напряжений: , dVx vlV Среди барнеттовских же членов в crf , однако, нет члена, кото- рый бы содержал квадрат (dVx/dyJ — легко сообразить, что из производных dVa/dXj3 нельзя составить квадратичного по ним тензора второго ранга, жу-компонента которого содержала бы этот квадрат. Самыми большими членами в аху могут быть лишь члены вида ду хд 70 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ ГЛ. I Их отношение к ащ}'• сг^/а^ ~ IV/(xv) ~ A/5J, т. е. снова второго порядка. Покажем теперь, что поправочные члены в предельных усло- виях на границе между газом и твердыми телами приводят к эффектам первого порядка по 1/L. Поэтому заметные явления, обусловленные разреженностью газа, имеют место именно вбли- зи твердых поверхностей. В неразреженных газах граничным условием на поверхности твердого тела является равенство температур газа и тела. В дей- ствительности, однако, это условие приближенно и имеет место лишь постольку, поскольку длину свободного пробега можно счи- тать сколь угодно малой. При учете же конечности длины сво- бодного пробега на поверхности соприкосновения твердого тела и неравномерно нагретого газа имеется некоторая разность тем- ператур; эта разность обращается в нуль, вообще говоря, лишь при полном тепловом равновесии, когда температура газа посто- янна 1). Вблизи твердой поверхности (на небольших, но и не на слиш- ком малых расстояниях от нее) градиент температуры газа мож- но считать постоянным, так что ход температуры как функции расстояния изображается прямой линией. Однако в непосред- ственной близости от стенки (на расстояниях ~ I) ход темпе- ратуры, вообще говоря, более сложен и ее градиент непостоянен. Примерный ход температуры газа вблизи поверхности изображен на рис. 1 сплошной линией. Однако этот истинный ход температу- ры в непосредственной близости стенки, относящийся к расстояниям, сравнимым с длиной свободного пробега, несуществен "? при рассмотрении распределения темпера- туры во всем объеме газа. При изучении распределения температуры около твердой Рис. 1 стенки нас интересует по существу только прямая часть кривой на рис. 1, простираю- щаяся на расстояния, большие по сравнению с длиной свободного пробега. Уравнение этой прямой определяется углом ее накло- на и отрезком, отсекаемым ею от оси ординат. Таким образом, нас интересует не истинный пристеночный скачок температуры, а скачок, получающийся экстраполированием температуры газа i 1) Когда речь идет о температуре газа в участках, размеры которых по- рядка длины свободного пробега, необходимо, строго говоря, определить, что именно подразумевается под понятием температуры. Температуру бу- дем определять в этом случае по средней энергии молекул в данном месте газа, причем функция, определяющая температуру по средней энергии мо- лекул, полагается той же, какой она является для больших объемов газа. § 14 ЯВЛЕНИЯ В СЛАБО РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗАХ 71 до самой стенки, считая ее градиент постоянным вблизи стен- ки вплоть до равного нулю расстояния (штриховая прямая на рис. 1). Под 6Т мы будем понимать именно такой экстраполи- рованный скачок температуры, причем определим его как тем- пературу газа минус температура стенки (на рис. 1 температура стенки условно принята за нуль). При равном нулю градиенте температуры скачок 6Т тоже исчезает. Поэтому при не слишком больших градиентах темпе- ратуры ST = g^ A4.9) on (производная берется по направлению нормали к поверхности, направленной внутрь газа). Коэффициент g можно назвать коэф- фициентом температурного скачка. Если температура газа ра- стет по направлению внутрь его объема (дТ/дп > 0), то должно быть и ST > 0; следовательно, коэффициент g положителен. Аналогичные явления имеют место на границе между твер- дой стенкой и движущимся газом. Вместо того чтобы полностью «прилипать» к поверхности, разреженный газ сохраняет около нее некоторую конечную, хотя и малую скорость; происходит, как говорят, скольжение газа у поверхности. Аналогично фор- муле A4.9) имеем для скорости vq этого скольжения: «0 = е^, A4.Ю) дп где Vt — касательная составляющая скорости газа вблизи стен- ки. Как и g, коэффициент скольжения ? положителен. К ве- личине г>о относятся те же замечания, которые были сделаны по поводу температурного скачка 8Т, определяемого A4.9). Эта скорость является, строго говоря, не истинной скоростью газа у самой стенки, а скоростью, экстраполированной в предположе- нии постоянства градиента dVt/dn в пристеночном слое газа. Коэффициенты g и ? имеют размерность длины и по порядку величины совпадают с длиной свободного пробега: g~/, ?~l. A4.11) Самые скачок температуры и скорость скольжения являются, следовательно, величинами первого порядка по 1/L. Для вычис- ления коэффициентов ^и( надо было бы решать кинетическое уравнение для функции распределения молекул газа вблизи по- верхности. В этом уравнении должны были бы быть учтены столкновения молекул со стенкой, и потому должен быть из- вестен закон, по которому происходит их рассеяние при таких столкновениях. 72 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ ГЛ. I Если продолжить на рис. 1 штриховую прямую до ее пересе- чения с осью абсцисс, то она отсечет от этой оси отрезок длины g. Другими словами, можно сказать, что распределение темпера- туры при наличии температурного скачка такое же, каким оно было бы при отсутствии скачка, но со стенкой, отодвинутой на расстояние g. To же самое относится к скольжению газа, причем стенка отодвигается на расстояние ?. Разумеется, при таких заме- нах в решениях гидродинамических задач должны сохраняться только члены первого порядка по g или ?. Поскольку учет скач- ков температуры или скорости эквивалентен смещению границ на расстояния порядка величины /, то вызванные этим поправ- ки в решениях задач имеют порядок 1д/дх ~ 1/L — первый по величине1/L. Наряду с рассмотренными поправками к граничным услови- ям существуют еще и другие эффекты того же порядка по //L, которые во многих случаях являются более важными, поскольку здесь возникают некоторые качественно новые явления. Один из них состоит в возникновении движения газа вблизи неравномерно нагретой твердой поверхности — так называемое тепловое скольжение. Этот эффект в известном смысле анало- гичен термодиффузии в смеси газов. Подобно тому как при нали- чии градиента температуры в газовой смеси столкновения с мо- лекулами «чужого» газа приводят к появлению потока частиц, в данном случае поток возникает в результате столкновений с неравномерно нагретой стенкой молекул в узком (с толщиной ~ I) приповерхностном слое газа. Обозначим тангенциальную скорость, приобретаемую газом вблизи стенки в результате теплового скольжения, символом V^, а тангенциальную составляющую градиента температуры — V*T. В первом приближении можно утверждать, что V* пропор- циональна VjT, т. е. для изотропной поверхности V, = /iVtT. A4.12) Коэффициент \i должен быть пропорционален длине пробега (поскольку он связан с частицами в слое газа такой толщины). Тогда из соображений размерности ясно, что \i ~ l/(mv). Выра- зив длину пробега через сечение столкновений и плотность газа, имеем / ~ 1/(N<j) ~ Т/(аР) и окончательно ^~ —W-. A4.13) Р аР у m V J Знак коэффициента /i не определяется термодинамическими тре- бованиями; согласно опытным данным обычно /i > 0. Наконец, еще один эффект первого порядка заключается в появлении в движущемся газе дополнительного поверхностного (т. е. сосредоточенного в пристеночном слое толщины ~ /) теп- § 14 ЯВЛЕНИЯ В СЛАБО РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗАХ 73 лового потока q!n0B, пропорционального нормальному градиенту тангенциальной скорости: <?. = ?>*? (".14) (этот поток имеет размерность эрг/см-с). Коэффициенты \i и if связаны друг с другом соотношени- ем, следующим из принципа Онсагера. Для вывода этой связи рассмотрим «поверхностную» часть возрастания энтропии, SUOBl связанную с пристеночным движением газа (и отнесенную к еди- нице площади поверхности стенки). Это возрастание складыва- ется из двух частей. Во-первых, наличие теплового потока с^пов дает в производную SUOB вклад (ср. аналогичное выражение для возрастания энтропии, связан- ного с объемным тепловым потоком, — VI, § 49; IX, § 88). Во-вторых, на обтекаемую газом стенку действует сила трения, равная (будучи отнесена к единице площади) —rjdYt/dn. Дисси- пируемая в единицу времени энергия равна работе этой силы а поделенная на Т она дает соответствующий вклад в возраста- ние энтропии. Таким образом, ^ - ±r,Vt*?. A4.15) Выберем теперь в качестве величин Ха, фигурирующих в об- щей формулировке принципа Онсагера (§ 9), векторы т2 г ' т дп Тогда сравнение A4.15) с общим выражением (9.3) показывает, что соответствующими величинами ха будут векторы Роль же «уравнений движения» (9.1) играют соотношения A4.12) и A4.14); записав их в виде мы придем к искомому соотношению ip = Tr]/j A4.16) (L. Waldmann, 1967).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Явления в слабо разреженных газах» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
