Вычисление вязкости газа с помощью кинетического урав- нения производится аналогично вычислению теплопроводности. 40 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ ГЛ. I Разница состоит в том, что отклонение от равновесия обусловле- но не градиентом температуры, а неоднородностью потока газа по скорости макроскопического движения V. При этом снова предполагается, что характерные размеры задачи L ^> /. Существуют, как известно, два вида вязкости, коэффициен- ты которых принято обозначать посредством т\ и ?. Они опре- деляются как коэффициенты в тензоре вязких напряжений а'ао, входящем как часть в тензор плотности потока импульса: IW = Р6аР + pVaVp - a'afh (8.1) </ар = 2*7 (уар - i 6af> div v) + CSap div V, (8.2) где Vap определено согласно F.12) (см. VI, § 15). В несжимаемой жидкости проявляется лишь вязкость г/. «Вторая» же вязкость ( проявляется при движениях, в которых div V ф 0. Оба коэффи- циента целесообразно вычислять раздельно. Опустив в общем кинетическом уравнении F.19) член с гра- диентом температуры, перепишем его в виде mvavp (Vap - i 6aP div V) + (П|! - ??)) div V = I(x), (8.3) где в левой части разделены члены, создающие первую и вторую вязкости. При вычислении первой вязкости надо считать, что div V = 0. Получающееся уравнение тождественно перепишем в виде m (yavp - i 8aPv2) VaP = I(x), (8.4) где оба тензорных множителя в левой стороне имеют равный нулю след. Решение этого уравнения ищем в виде X = gapva{3, (8.5) где gap(T) — симметричный тензор; поскольку след Vaa = 0, то прибавлением к gap члена coSap можно всегда добиться того, чтобы было и gaa = 0, не меняя при этом функции х- Для gap имеем уравнение m [yavp - i SaCv2j = I(gaj3). (8.6) Дополнительные условия F.3) удовлетворяются автоматически. Поток импульса вычисляется по функции распределения как интеграл E.8). Интересующая нас часть этого тензора — тензор вязких напряжений — дается интегралом fVaVpfoXdF TjafasVjS, (8.7) ВЯЗКОСТЬ ГАЗА 41 Величины т}а^§ составляют тензор четвертого ранга, симмет- ричный по парам индексов а, /3 и 7, 8 и дающий нуль при упро- щении по паре 75 8. Ввиду изотропии газа этот тензор может вы- ражаться только через единичный тензор 6ар. Выражение, удо- влетворяющее этим условиям: 2 з( Тогда а'ао = 2r)Vap, так что г/ есть искомый скалярный коэффи- циент вязкости. Он определяется путем упрощения тензора по парам индексов а, 7 и /3, S: (8.9) В одноатомном газе gap является функцией только от векто- ра v. Общий вид такого симметричного тензора с равным нулю следом есть gap = fVaV/3 -±Sa/3v2) g(v) (8.10) с одной только скалярной функцией g(v). В многоатомных газах тензор gap составляется с помощью большего числа переменных, в том числе двух векторов v и М. В отсутствие стереоизометрии gap может содержать только истинно-тензорные члены; в газе стереоизомерного вещества допускаются также и псевдотензор- ные члены. Оценка коэффициента вязкости, аналогичная оценке G.10) для коэффициента теплопроводности, приводит к известной эле- ментарной газокинетической формуле г/ - mvNl (8.11) (см. примеч. на с. 57). При этом температуропроводность и ки- нематическая вязкость оказываются одинакового порядка вели- чины: x/(Ncp) ~ r)/{Nm) - vl (8.12) Положив в (8.11) Z ~ 1/Na и v ~ (T/mI/2, получим г/ - VmT/a. (8.13) Все сказанное в § 7 о зависимости х от давления и от темпера- туры относится и к коэффициенту вязкости г/. Для вычисления второго коэффициента вязкости надо счи- тать отличным от нуля второй член в левой части кинетического уравнения (8.3): (8.14) 42 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ ГЛ. I Ищем решение в виде X = gdivV (8.15) и для функции g находим уравнение ^ jn (8.16) Вычислив тензор напряжений и сравнив его с выражением C8a{3 div V, получим коэффициент вязкости в виде C = ~Iv2gf0dT. (8.17) У одноатомных газов 6(Г) = mv2/2, cv = 3/2, и левая часть уравнения (8.16) обращается в нуль. Из уравнения I(g) = 0 сле- дует тогда, что и g =0, а потому и ( = 0. Мы приходим, таким образом, к интересному результату: у одноатомных газов вторая вязкость равна нулю 1).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Вязкость газа» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
