Для вычисления коэффициента теплопроводности газа надо решать кинетическое уравнение с градиентом температуры. Со- хранив в F.19) лишь первый член в левой части, имеем ®r G.1) Решение этого уравнения надо искать в виде X = gVT, G.2) где вектор g — функция только от величин Г. Действительно, при подстановке в G.1) в обеих частях равенства получаем мно- житель VT. Поскольку уравнение должно иметь место при про- извольных значениях вектора VT, должны быть равными коэф- фициенты при VT в обеих частях равенства, так что мы полу- чаем для g уравнение v^_?^ = /(g)> G3) уже не содержащее VT (а тем самым и явной зависимости от координат). Функция х должна еще удовлетворять условиям F.3). С функцией х в виде G.2) первые два из этих условий удовле- творяются автоматически: это очевидно уже из того, что урав- нение G.3) не содержит никаких векторных параметров, вдоль которых могли бы быть направлены постоянные векторы — ин- тегралы / fogdT и / foegdV. Третье же накладывает на решение уравнения G.3) дополнительное условие //ovgdr = O. G.4) Если кинетическое уравнение решено и функция х извест- на, то можно определить коэффициент теплопроводности, вы- числяя поток энергии, точнее — его диссипативную часть, не связанную просто с конвективным переносом энергии (эту часть потока энергии будем обозначать символом q7). Но в отсутствие макроскопического движения в газе q7 совпадает с полным по- током энергии q, даваемым интегралом E.9). При / = /о этот интеграл исчезает тождественно за счет интегрирования по на- правлениям v. Поэтому при подстановке / F.1) остается q = | / v/oxe dT = I / /oev(gVT) dT, или, в компонентах, Ча = ~H(*{3 — , Xa{3 = -- / foZVagp dT. G.5) 38 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ ГЛ. I Ввиду изотропии равновесного газа какие-либо избранные на- правления в нем отсутствуют и тензор уса$ может выражаться лишь через единичный тензор Sap, т. е. сводится к скаляру: Таким образом, поток энергии q = -xVT, G.6) где скалярный коэффициент теплопроводности ^ G.7) Положительность этой величины (поток q должен быть на- правлен противоположно градиенту температуры) автоматиче- ски обеспечивается кинетическим уравнением (см. § 9). В одноатомных газах скорость v — единственный вектор, от которого зависит функция g; ясно поэтому, что эта функция дол- жна иметь вид g = -g(v). G.8) V В многоатомных газах функция g зависит уже от двух век- торов — скорости v и момента М. Если симметрия молекул не допускает существования стереоизомерии, то интеграл столкно- вений, а с ним и уравнение G.3) инвариантны по отношению к инверсии; такой же инвариантностью должно обладать и его ре- шение х- Другими словами, \ — gVT должно быть истинным скаляром, а поскольку градиент VT есть истинный вектор, то таким же вектором должна быть и функция g. Так, для двух- атомного газа, где векторами v и М исчерпываются величины Г, функция g(F) имеет вид g = vgl + M(vM)g2 + [vM]g3, G.9) где g1? g2i gs — скалярные функции от скалярных аргументов v2, M2, (vMJ; это наиболее общий вид истинного вектора, ко- торый может быть построен из истинного же вектора v и псев- довектора М г). Если же вещество представляет собой стереоизомер, то ин- вариантность по отношению к инверсии отсутствует: как уже отмечалось в § 2, в таком случае инверсия «превращает» газ, по существу, в другое вещество. Соответственно функция х сможет содержать также и псевдоскалярные члены, т. е. функция g — псевдовекторные члены (например, член вида g4M). г) Решения уравнения Больцмана для газа с вращающимися молекулами впервые рассматривались Ю.М. Каганом и A.M. Афанасьевым A961). ВЯЗКОСТЬ ГАЗА 39 Условие применимости изложенного метода решения кинети- ческого уравнения (основанного на предположении о близости / к /о) можно выяснить путем оценки интеграла столкновений со- гласно C.12). Средняя энергия молекулы ~е ~ Т, поэтому оценка обеих частей уравнения G.3) дает v~g/r~gv/l, откуда g~l. Условие х/Т ~ g | VT|/T <С 1 (эквивалентное требованию ?/ <С /о) означает, следовательно, что расстояния L, на которых темпера- тура испытывает существенное изменение (|VT| ~ T/L), долж- ны быть велики по сравнению с /. Другими словами, функция ви- да F.1) представляет собой первые члены разложения решения кинетического уравнения по степеням малого отношения 1/L. Оценка интеграла G.7) с g ~ I приводит к формуле k~cNIv, G.10) где с — отнесенная к одной молекуле теплоемкость газа. Это — известная элементарная газокинетическая формула (ср. примеч. на с. 57). Положив в ней / ~ 1/JVcr, с ~ 1 и v ~ у/Т/т, имеем G.11) В этой оценке сечение а относится к средней тепловой скоро- сти молекул, и в этом смысле его надо понимать как функцию температуры. С увеличением скорости сечение, вообще говоря, убывает; соответственно а будет убывающей функцией темпе- ратуры. При не слишком низких температурах молекулы газа ведут себя, качественно, как твердые упругие частицы, взаимо- действующие друг с другом лишь при непосредственных столк- новениях. Такому характеру взаимодействия отвечает слабо за- висящее от скорости (а потому и от температуры) сечение столк- новений. В этих условиях зависимость к от температуры близка к пропорциональности у/Т. При заданной температуре коэффициент теплопроводности, как это видно из G.11), не зависит от плотности газа или, что то же, от его давления. Подчеркнем, что это важное свойство не связано со сделанными при оценке предположениями и являет- ся точным в рамках кинетического уравнения Больцмана. Оно возникает как следствие того, что в этом уравнении учитывают- ся только парные столкновения молекул (именно поэтому длина пробега оказывается обратно пропорциональной плотности газа).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Теплопроводность газа» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
