Эта глава посвящена изложению кинетической теории обыч- ных газов из электрически нейтральных атомов или молекул. Предметом изучения этой теории являются неравновесные состо- яния и процессы в идеальном газе. Напомним, что под идеаль- ным подразумевается газ настолько разреженный, что каждая молекула в нем почти все время движется как свободная, взаи- модействуя с другими молекулами лишь при непосредственных столкновениях с ними. Это значит, другими словами, что среднее расстояние между молекулами г ~ TV/3 (N — число молекул в единице объема) предполагается большим по сравнению с их собственными размерами, точнее, по сравнению с радиусом дей- ствия межмолекулярных сил d\ малую величину Nd3 ~ (d/rK иногда называют «параметром газовости». Статистическое описание газа осуществляется функцией рас- пределения f(t,q,p) молекул газа в их фазовом пространстве. Она является, вообще говоря, функцией выбранных каким- либо образом обобщенных координат молекулы (совокупность которых обозначена через q) и соответствующих им обобщен- ных импульсов (совокупность которых обозначена через р), ав нестационарном состоянии — еще и от времени t. Обозначим че- рез dr = dqdp элемент объема фазового пространства молекулы; dq и dp условно обозначают соответственно произведения диффе- ренциалов всех координат и всех импульсов. Произведение f dr есть среднее число молекул, находящихся в заданном элементе dr, т. е. обладающих значениями q и р в заданных интервалах dq и dp. К смыслу понятия среднего в этом определении мы вер- немся ниже. Хотя функция / будет везде подразумеваться определенной как плотность распределения именно в фазовом пространстве, в кинетической теории целесообразно выражать ее через опре- деленным образом выбранные переменные, которые могут и не являться канонически сопряженными обобщенными координата- ми и импульсами. Условимся, прежде всего, об этом выборе. Поступательное движение молекулы всегда классично. Оно описывается координатами г = (ж, у, г) ее центра инерции и им- 14 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ ГЛ. I пульсом р (или скоростью v = р/тп) ее движения как целого. В одноатомном газе поступательным движением исчерпывается все движение частиц (атомов). В многоатомных же газах моле- кулы обладают еще и вращательными и колебательными степе- нями свободы. Вращательное движение молекулы в газе практически всег- да тоже классично 1). Оно описывается, прежде всего, заданием вектора вращательного момента молекулы М. Для двухатомной молекулы этого достаточно. Такая молекула представляет собой ротатор, вращающийся в плоскости, перпендикулярной вектору М. Что же касается угла (р поворота оси молекулы в этой плоско- сти, то в реальных физических задачах функцию распределения можно считать независящей от него, т. е. все ориентации молеку- лы в указанной плоскости — равновероятными. Это обстоятель- ство связано с быстротой изменения угла (р при вращении моле- кулы, и его происхождение можно пояснить следующим образом. Скорость изменения ср (угловая скорость вращения молеку- лы) есть ф = О = M/I. Среднее значение этой скорости О ~ v/d, где d — молекулярные размеры, a v — среднее значение линей- ных скоростей. Но различные молекулы имеют различные зна- чения О, распределенные по некоторому закону вокруг О. По- этому молекулы, имевшие в начальный момент одинаковые <р, очень быстро расходятся по значениям ср; происходит, как го- ворят, быстрое «размешивание» по углам. Пусть в начальный момент t = 0 распределение молекул по углам ср = (р$ (в ин- тервале от 0 до 2тг) и по О дается некоторой функцией /(<ро? ^)- Выделим из нее независящее от ср среднее значение - - 1 27Г / = /(О) + /'((ль О), /(О) = f / /(ро, П) dtpo, 2тг 0 так что ff((po,Q) — знакопеременная функция с равным нулю средним значением. При дальнейшей эволюции за счет свобод- ного вращения молекул (up = Ш + (ро) функция распределения меняется согласно (причем аргумент ср — Ш подразумевается приведенным к интер- валу от 0 до 2тг путем вычитания надлежащего целого кратно- го от 2тг). С течением времени f становится все более быстро осциллирующей функцией от О: характерный период осцилля- ции АО ~ 2тг/? и уже за время свободного (между двумя столк- *) Напомним, что условие классичности вращения состоит в неравенстве h2/21 ^С Т (где / — момент инерции молекулы, Т — температура газа). Это условие в обычных газах может нарушаться разве что для водорода и дейтерия при низких температурах. § 1 ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 15 новениями) пробега молекул становится малым по сравнению с О. Но все наблюдаемые физические величины содержат в себе некоторое усреднение функции распределения по О; вклад же быстро осциллирующей функции ff в такие средние пренебре- жимо мал. Именно это и позволяет заменить функцию распре- деления f((p^ft) усредненной по углам функцией /(О). Изложенные соображения имеют, очевидно, общий характер и относятся к любым быстро меняющимся величинам (фазам), пробегающим значения в конечных интервалах. Возвращаясь к вращательным степеням свободы молекул, от- метим, что в многоатомных газах функция распределения может еще зависеть от углов, определяющих фиксированную ориента- цию осей молекулы по отношению к вектору М. Так, в молекулах типа симметрического волчка это — угол между М и осью волч- ка (угол прецессии); от быстро меняющихся же углов вращения волчка вокруг собственной оси и прецессионного вращения этой оси вокруг М функцию распределения снова можно считать не зависящей х). Колебательное движение атомов внутри молекулы практиче- ски всегда квантуется, так что колебательное состояние моле- кулы определяется соответствующими квантовыми числами. В обычных условиях (при не слишком высоких температурах), од- нако, колебания вообще не возбуждены и молекула находится на своем основном (нулевом) колебательном уровне. В дальнейшем в этой главе мы будем обозначать символом Г совокупность всех переменных, от которых зависит функция распределения, за исключением координат молекулы как целого (и времени ?). Из элемента фазового объема dr выделим мно- житель dV = dxdydz, а остальную его часть, преобразованную к используемым переменным (и проинтегрированную по углам, от которых функция / не зависит), обозначим символом dT. Ве- личины Г обладают важным общим свойством: это — интегра- лы движения, остающиеся постоянными для каждой молекулы в течение ее свободного (в отсутствие внешнего поля) движения между двумя последовательными столкновениями; в результате же каждого столкновения эти величины, вообще говоря, меня- ются. Напротив, координаты ж, у, z молекулы как целого, разу- меется, меняются в течение ее свободного движения. г) При вращении молекулы типа шарового волчка (например, СН4) оста- ются постоянными два угла, определяющие ориентацию молекулы по отно- шению к направлению М (совпадающему с направлением угловой скорости Q). При вращении молекулы типа асимметрического волчка остается посто- янной комбинация углов, выражающаяся постоянством вращательной энер- гии Евр = М|/B/i) + M*/BJ2) + MC7BJ3), где Мь Mv, Mc - проекции постоянного вектора М на вращающиеся главные оси инерции молекулы. 16 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ ГЛ. I Для одноатомного газа величинами Г являются три компо- ненты импульса атома р = mv, так что dT = d3p. Для двухатом- ной молекулы в Г входит, помимо импульса р, еще и вращатель- ный момент М; соответственно элемент dT можно представить в виде dT = 2тг d3pMdMdoM, A.1) где doM — элемент телесных углов для направления вектора М г). Для молекулы типа симметрического волчка в число ве- личин Г входит также и угол в между М и осью волчка; элемент ^Г = 4:7r2d3p M1 dM doM d cos в (один множитель 2тг возникает от интегрирования по углу вра- щения волчка вокруг своей оси, а другой множитель 2тг — от интегрирования по углу прецессионного вращения). Интеграл есть плотность пространственного распределения частиц газа; N dV есть среднее число молекул в элементе объема dV. В этой связи необходимо сделать следующие замечания. Когда речь идет о бесконечно малом элементе объема dV, то подразумевается, собственно говоря, не математически, а физи- чески малый объем, т. е. участок пространства, размеры которо- го очень малы по сравнению с характеристическими размерами задачи L, но в то же время велики по сравнению с размерами молекул. Это значит, другими словами, что утверждение о на- хождении молекулы в данном элементе объема dV определяет положение молекулы в лучшем случае лишь с точностью до рас- стояний порядка ее размеров. Это обстоятельство весьма суще- ственно. Если бы координаты частиц газа определялись точно, то при столкновении, скажем, двух атомов одноатомного газа, дви- жущихся по определенным классическим траекториям, резуль- тат столкновения был бы тоже вполне определенным. Если же речь идет (как всегда в кинетической теории газов) о столкнове- нии атомов, происходящем в данном физически малом элементе объема, то ввиду неопределенности точного взаимного располо- жения атомов результат столкновения тоже будет неопределен- *) К выражению A.1) можно прийти, написав сначала dT в виде dT = d3p6(Mn)d3Mdon = d3p6(M cos 0)M2dM domdcos в dip, где don = d cos в dip — элемент телесных углов для направлений оси моле- кулы (в — угол между этой осью и М). ^-функция выражает тот факт, что М имеет только две независимые компоненты (соответственно числу вращательных степеней свободы двухатомной молекулы) — момент М пер- пендикулярен оси молекулы. Проинтегрировав написанное выражение по d cos в dip, получим A.1). § 2 ПРИНЦИП ДЕТАЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ 17 ным и можно говорить лишь о вероятности того или иного его исхода. Мы можем теперь уточнить, что, говоря о средней плотности числа частиц, мы имеем в виду усреднение по объемам опреде- ленных таким образом физически бесконечно малых элементов и соответственно по временам порядка величины времени пролета частиц через такие элементы. Поскольку размеры элементов объема, по отношению к кото- рым определена функция распределения, велики по сравнению с молекулярными размерами с/, то расстояния L, на которых эта функция существенно меняется, во всяком случае должны быть тоже велики по сравнению с d. Соотношение же между разме- рами физически бесконечно малых элементов объема и средним межмолекулярным расстоянием г может быть, вообще говоря, произвольным. Существует, однако, различие в характере опре- деляемой функцией распределения плотности N в зависимости от величины этого соотношения. Если размеры элементов dV не велики по сравнению с г, то плотность N не является макро- скопической величиной: флуктуации числа частиц, находящихся в dV, сравнимы с его средним значением. Плотность N стано- вится макроскопической величиной, лишь если она определена по отношению к объемам dV, содержащим много частиц; тогда флуктуации числа частиц в этих объемах относительно малы. Ясно, однако, что такое определение возможно лишь, если и ха- рактерные размеры задачи L^>r.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Функция распределения» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
