Квазиклассическое движение в центрально-симметричном поле
При движении в центрально-симметричном поле волновая функция частицы распадается, как мы знаем, на угловую и ра- диальную части. Рассмотрим сначала первую из них. Зависимость угловой волновой функции от угла ср (опреде- ляющаяся квантовым числом га) настолько проста, что вопрос о нахождении для нее приближенных формул вообще не возника- ет. Что же касается зависимости от полярного угла #, то, соглас- но общему правилу, она квазиклассична, если соответствующее ей квантовое число I велико (более точная формулировка этого условия будет дана ниже). Мы ограничимся здесь выводом квазиклассического выра- жения угловой функции лишь для наиболее важного в приме- нениях случая состояний с равным нулю магнитным кванто- вым числом (га = ОI). Эта функция совпадает с точностью до постоянного множителя с полиномом Лежандра P/(cos#) (см. B8.8)) и удовлетворяет дифференциальному уравнению = 0. D9.1) Подстановкой Pi (cos в) — X^ D9 2) оно приводится к уравнению не содержащему первой производной и по виду аналогичному одномерному уравнению Шредингера. В уравнении D9.3) роль «дебройлевской длины волны» иг- рает ¦ -1/2 = N) 4 sin2 (9 1) Противоположный случай, т = Z, в пределе должен соответствовать движению по классической орбите, лежащей в экваториальной плоскости 0 = тг/2. Действительно, Pi (cos в) = const • sin 0; при / —>- оо эта функция (а с нею и \ф\2) стремится к нулю при всех в ф тг/2. § 49 КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ 223 Требование малости производной dX/dx (условие D6.6)) приво- дит к неравенствам 61 > 1, (тг - 6I > 1 D9.4) (условия квазиклассичности угловой части волновой функции). При больших / эти условия выполняются почти во всем интерва- ле значений 0, за исключением лишь области углов, очень близ- ких к нулю или к тг. При выполнении условия D9.4) в D9.3) молено пренебречь вторым членом в квадратных скобках по сравнению с первым: Решение этого уравнения: X = Vsh^6Pi(cos6) = Asm\(l + ^\e + a\ D9.5) (Л, а — постоянные). Для углов 6 <С 1 в уравнении D9.1) молено положить ctg# ~ « 1/6; заменяя также приближенно /(/ + 1) на (Z + 1/2J, получим уравнение 2 do2 ^ в do которое имеет решением функцию Бесселя нулевого порядка P/(cos0) = JO \{l + i)fll, 6 < 1. D9.6) Постоянный множитель положен равным единице, так как при 6 = 0 должно быть Р/ = 1. Приближенное выражение D9.6) для Р/ справедливо при всех углах 6 ^С 1. В частности, его мож- но применить и для углов в области 1/1 <С 6 <^ 1, где оно должно совпадать с выражением D9.5), справедливым при всех 6 ^> 1/1. При 61 ^> 1 бесселеву функцию можно заменить ее асимпто- тическим выражением для больших значений аргумента, и мы получим 2 - ->*+- тг/ Ve (в коэффициенте можно пренебречь 1/2 по сравнению с /). Срав- нивая с D9.5), находим, что А = л/2/тг/, а = тг/4. Таким обра- зом, получаем окончательно следующее выражение для P/(cos #), 224 КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ ГЛ. VII применимое в квазиклассическом случаех): —^. D9.7) тг/ Vsm# Нормированная же сферическая функция У/о получается отсюда в виде (ср. B8.8)) D9.8) Перейдем к радиальной части волновой функции. В § 32 было показано, что функция x® = ^R® удовлетворяет уравнению, тождественному одномерному уравнению Шредингера с потен- циальной энергией ТТ ( \ ТТ( \ I ^ /(/ + 1) Поэтому мы можем применить полученные в предыдущих пара- графах результаты, понимая под потенциальной энергией функ- цию Ui®. Наиболее прост случай / = 0. Центробежная энергия от- сутствует, и если поле U(г) удовлетворяет необходимому усло- вию D6.6), то радиальная волновая функция будет квазиклас- сической во всем пространстве. При г = 0 должно быть % = 0, поэтому квазиклассическая функция %(г) определяется в соот- ветствии с формулами D7.6). Если же / ф 0, то условию D6.6) должна удовлетворять также и центробежная энергия. В области небольших г, где центробежная энергия порядка величины полной энергии, дли- на волны Л = Н/р ~ г/1 и условие D6.6) дает / ^> 1. Та- ким образом, если / невелико, в области небольших г условие квазиклассичности нарушается центробежной энергией. Мож- но легко убедиться в том, что мы получим правильное зна- чение фазы квазиклассической волновой функции х(г)? если будем вычислять ее по формулам одномерного движения, за- менив в потенциальной энергии С//(г) коэффициент 1A + 1) 1) Обратим внимание на то, что именно в результате замены /(/ + 1) на (/ +1/2J мы получили выражение, умножающееся на (—II при замене в на тг — в, как и должно быть для функции P/(cos#). 49 КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ 225 на(/ и1{т) = и(т) + ^Щ^. D9.9) ЛТП V Вопрос о применимости квазиклассического приближения к кулонову полю U = ±а/г требует особого рассмотрения. Из всей области движения наиболее существенна часть, соответствую- щая расстояниям г, при которых \U\ ~ \Е\, т.е. г ~ а/\Е\. Условие квазиклассичности движения в этой области сводится к требованию малости длины волны Л ~ Н/л^2т\Е\ по сравне- нию с размерами а/\Е\ области; это дает \Е\ « ?f, D9.10) т. е. абсолютное значение энергии должно быть мало по срав- нению с энергией частицы на первой боровской орбите. Усло- вие D9.10) можно написать также и в виде f > 1, D9.11) где v ~ yJ\E\/m — скорость частицы. Обратим внимание на то, что это условие обратно условию D5.7) применимости теории возмущений к кулонову полю. Что касается области малых расстояний (|C/®| ^> Е), то в кулоновом поле отталкивания она вообще не представляет интереса, поскольку при U > Е квазиклассические волновые функции затухают экспоненциально. В поле же притяжения при малых / возможно проникновение частицы в область, где \U\ ^> |?7|, так что возникает вопрос о границах применимости здесь квазиклассического приближения. Воспользуемся общим условием D6.7), положив в нем -п dU В результате найдем, что область применимости квазикласси- ческого приближения ограничивается расстояниями г > Н2/та2, D9.12) т. е. расстояниями, большими по сравнению с «радиусом» первой боровской орбиты.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Квазиклассическое движение в центрально-симметричном поле» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
