При классическом дви- жении частицы в кулоновом поле имеет место специфический для этого поля закон сохранения; в случае поля притяжения А = - - [pi] = const C6.29) (см. I, § 15). В квантовой механике этой величине отвечает опе- ратор "^Т[Г C6.30) коммутативный, как легко проверить, с гамильтонианом #=р2/2 - 1/г. Прямое вычисление приводит к следующим правилам комму- тации для операторов А{ друг с другом и с операторами момента: {h, Ак} = ieiMAh {Аи Ак} = -2Шеш1. C6.31) Некоммутативность операторов А{ друг с другом означает, что величины Ах, Ау, Az не могут иметь в квантовой механике одновременно определенных значений. Каждый из этих опера- торов, скажем Az, коммутативен с такой же компонентой мо- мента lz, но некоммутативен с оператором квадрата момента V. Наличие новой сохраняющейся величины, не измеримой од- новременно с другими сохраняющимися величинами, приводит (§10) к дополнительному вырождению уровней, — это и есть спе- цифическое для кулонова поля «случайное» вырождение дис- кретных уровней энергии. Происхождение этого вырождения можно сформулировать также и в терминах той повышенной симметрии (по сравне- нию с симметрией по отношению к пространственным враще- ниям), которой обладает кулонова задача в квантовой механике {В. А. Фок, 1935). Для этого замечаем, что для состояний дискретного спектра с фиксированной отрицательной энергией можно заменить Н в правой части последнего соотношения C6.31) на?и ввести вме- сто А{ операторы щ = Аг/л/—2Е. Для них правила коммутации § 36 КУЛОНОВО ПОЛЕ (СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ) 163 принимают вид (к, ™к} = ieikiui, {uh ик} = ieikik. C6.32) Вместе с правилом {1{,1к} = ieiklh эти соотношения формаль- но совпадают с правилами коммутации операторов бесконечно малых поворотов в четырехмерном евклидовом пространствег). Это и есть симметрия кулоновой задачи в квантовой механике2). Из соотношений коммутации C6.32) можно снова получить выражение для уровней энергии в кулоновом поле3). Перепишем их, введя вместо 1 и и операторы ji = i(T+u), j2 = i(T-U). C6.33) Для них имеем {juJik} = ieikijih {huhk} = ieiklJ2h {jii,J2fc} = 0. C6.34) Эти правила формально совпадают с правилами коммутации двух независимых векторов трехмерного момента импульса. По- этому собственные значения каждого из квадратов jf и j| равны Л (Л + 1) и J2(J2 + 1), где juj2 = 0,1Д1,3/2,... 4). С другой стороны, по определению операторов и и 1 = [гр], находим после простого вычисления: Tu = uT=0, (при вычислении суммы 1 +и2 снова заменено Н на Е). Отсюда (где j = ji = J2) и затем Е = — Bj + IJ. Обозначив 2j + l = n, n = 1,2,3,..., C6.35) 1) При этом 1Х, 1У, lz играют роль операторов бесконечно малых поворо- тов в плоскостях yz, xz, xy четырехмерной декартовой системы координат ж, у, z, и, а их, иу, uz — роль операторов бесконечно малых поворотов в плоскостях хи, уи, zu. 2) В явном виде эта симметрия проявляется в волновых функциях в им- пульсном представлении: см. В. А. Фок//Изв. АН СССР: серия физ., 1935. №2. С. 169; Zs. f. Physik. 1935. V. 98, 145. 3) Этот вывод в основном совпадает с выводом Паули A926). ) Здесь мы несколько забегаем вперед и используем свойства момента, о которых будет идти речь в § 54 (возможность существования целых и полу- целых значений j). 164 ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ ГЛ. V приходим к требуемому результату Е = ^. Кратность вы- рождения уровней равна, как и следовало: Bji + l)Bj>2 + 1) = = Bjf + IJ = n2. Наконец, поскольку 1 = ji + J2, то при заданном ji = j2 = (n — l)/2 орбитальный момент / пробегает значения от 0 до 2j = n — 1х).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Природа кулонова вырождения» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
