Рассмотрим свободную частицу, движущуюся с определен- ным импульсом р = кН в положительном направлении оси z. Волновая функция такой частицы имеет вид ф = const -elkz. Разложим эту функцию по волновым функциям ipklm свобод- ного движения с определенными моментами. Поскольку в рас- сматриваемом состоянии энергия имеет определенное значение Е = к2Н2/2т, то ясно, что в искомое разложение войдут только функции с тем же к. Далее, поскольку функция е обладает аксиальной симметрией вокруг оси 2:, то в ее разложение могут г) Другими словами, это есть число способов, которыми п одинаковых ша- ров могут быть разложены по трем ящикам. 2) Обратим внимание на взаимное вырождение уровней с различными мо- ментами /; см. по этому поводу примеч. на с. 164. 148 ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ ГЛ. V войти только функции, не зависящие от угла (/?, т. е. функции cm = 0. Таким образом, должно быть: eikz = /=о где а/— постоянные. Подставив выражения B8.8) и C3.9) для функций Yiq и Rku получим ikz е = 1=0 где С\ — другие постоянные. Эти постоянные удобно опреде- лить, сравнив коэффициенты при (rcos#)n в разложениях обеих частей равенства по степеням г. В правой части равенства такой член имеется только в п-м слагаемом; при I > n разложение радиальной функции начинается с более высоких степеней г, а при п > I полином P/(cos#) содержит более низкие степени cos#. Член с cos^ в в P/(cos#) имеет коэффициент B/)!/2г(/!J (см. формулу (с.1)). Пользуясь также формулой C3.13), найдем интересующий нас член разложения правой части равенства , у B1)\(кгсоБвI [ } /2/(/!JЬЗB/ + 1)* В левой части равенств соответствующий (в разложении ex.p(ikr cos в)) член есть (ikr cos вI П ' Приравнивая обе величины, найдем С\ = (—гI B1 + 1). Таким образом, окончательно получаем искомое разложение C4.1) На больших расстояниях оно принимает асимптотическую форму ОО eikz ~ J_ y^B/ + I)i^(cos0)sin(fcr - -). C4.2) кг *-^ V 2 / В C4.1) ось z выбрана в направлении волнового вектора плоской волны к. Это разложение можно записать и в более 34 РАЗЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ 149 общем виде, не предполагающем определенного выбора коорди- натных осей. Для этого надо воспользоваться теоремой сложе- ния шаровых функций (см. (с. 11)), выразив с ее помощью по- линомы Pi (cos в) через шаровые функции от направлений к и г (угол между которыми и есть в): C4.3) /=0 т=-1 Функции ji(kr) (определенные согласно C3.11)) зависят только от произведения fcr, и тем самым ясно видна симметрия форму- лы по отношению к векторам к и г (у которой из двух шаровых функций стоит знак комплексного сопряжения — безразлично). Нормируем волновую функцию е на равную единице плот- ность потока вероятности, т. е. так чтобы она соответствовала потоку частиц (параллельному оси z\ через единицу площа- ди сечения которого в единицу времени проходит одна частица. Такая функция есть kh C4.4) {у— скорость частиц; см. A9.7)). Умножая обе части равен- ства C4.1) на yrn/khи вводя в правой его части нормированные функции ф±т = Д^(г)У/т@,<р), получим Квадрат модуля коэффициента при ф^ю (или ф^ю) в этом разложении определяет, согласно общим правилам, вероятность того, что частица в падающем на центр (или расходящемся из центра) потоке будет обладать моментом / (относительно начала координат). Поскольку волновая функция elkz/'л/v соответству- ет потоку частиц с равной единице плотностью, то эта «вероят- ность» обладает размерностью квадрата длины; она может быть наглядно истолкована как величина «прицельной площади» (в плоскости ху), на которую должна попасть падающая части- ца, в случае если ее момент равен /. Обозначая эту величину через сг/, имеем 4 = ^B1 + 1). C4.5) 150 ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ ГЛ. V При больших значениях / сумма прицельных площадей по ин- тервалу А/ значений / (такому, что 1 ^С А/ ^С /) равна А/ При подстановке классического выражения для момента Ш = рр (где р — так называемое прицельное расстояние) это выражение переходит в что совпадает с классическим выражением. Это обстоятельство не случайно: мы увидим в дальнейшем, что при больших значе- ниях / движение квазиклассично (§49).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Разложение плоской волны» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
