Рассмотрим движение частиц в поле изображенного на рис. 5 типа: U(х) монотонно возрастает от одного постоянного преде- ла (U = 0 при х —)> —ос) до другого (U = Uq при х —>> +оо). Согласно классической механике частица с энергией Е < С/о, движущаяся в таком поле слева направо, дойдя до потенциаль- ной стенки, отражается от нее, начиная двигаться в обратном 106 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ГЛ. III направлении; если же Е > С/о, то частица продолжает двигаться в прежнем направлении с уменьшенной скоростью. В квантовой механике возникает новое явление — даже при Е > U$ частица может отразиться от потенциальной стенки. Вероятность отражения должна вы- числяться в принципе следующим об- разом. рис 5 Пусть частица движется слева на- право. При больших положительных значениях х волновая функция должна описывать частицу, про- шедшую «над стенкой» и движущуюся в положительном направ- лении оси ж, т. е. должна иметь асимптотический вид при х -+ ос: ф^Ае1к2Х, к2 = -y/2m(E-U0) B5.1) (А — постоянная). Найдя решение уравнения Шредингера, удо- влетворяющее этому предельному условию, вычисляем асимпто- тическое выражение при х —>• — ос; оно является линейной комби- нацией двух решений уравнения свободного движения, т. е. имеет вид при х -> -ос : ф « eiklX + Be~iklX, кг = -л/2гпЕ. B5.2) Первый член соответствует падающей на стенку частице (предполагаем ф нормированной таким образом, чтобы коэф- фициент при этом члене был равен единице); второй же член изображает отраженную от стенки частицу. Плотность потока в падающей волне пропорциональна к\, в отраженной: fci|S|2, a в прошедшей: /^21^4.|2. Определим коэффициент прохождения D частицы как отношение плотности потока в прошедшей волне к плотности потока в падающей: D = ^\A\2. B5.3) ki Аналогично можно определить коэффициент отражения R как отношение плотности отраженного потока к падающему; очевид- но, что R = 1 — D: R=\B\2 = 1-^\A\2 B5.4) (это соотношение между А ж В выполняется автоматически в силу постоянства потока вдоль оси х). Если частица движется слева направо с энергией Е < С/о? то &2 чисто мнимо и волновая функция экспоненциально зату- хает при х —>- +ос. Отраженный поток равен падающему, т.е. § 25 КОЭФФИЦИЕНТ ПРОХОЖДЕНИЯ 107 происходит полное отражение частицы от потенциальной стен- ки. Подчеркнем, однако, что и в этом случае вероятность нахож- дения частицы в области, где Е < С/, все же отлична от нуля, хотя и быстро затухает с увеличением х. В общем случае произвольного стационарного состояния (с энергией Е > С/о) асимптотический вид волновой функции как при х —>> — ос, так и при х —>> +ос представляет собой сумму двух волн, распространяющихся в обе стороны оси х: ф = AlelklX + В1е-гк1Х при х -> -ос, ^ = A2eik2X + B2e~ik2X при х -+ +ос. Поскольку оба эти выражения представляют собой асимптоти- ческие формы одного и того же решения линейного дифферен- циального уравнения, между коэффициентами А\, В\ и А2, В2 существует линейная связь. Пусть А2 = a.A\+/3Bi, где а, /3 —по- стоянные (вообще говоря, комплексные), зависящие от конкрет- ного вида поля U(ж). Аналогичное соотношение для В2 можно тогда написать на основании соображений, связанных с веще- ственностью уравнения Шредингера. В силу последней, если ф есть решение данного уравнения Шредингера, то и комплекс- но сопряженная функция ф* есть решение того же уравнения. Асимптотический вид ^* = A\e~iklX + B{eiklX при х -> -ос, ^* = A\e~ik2X + B*eik2X при х -> +ос отличается от B5.5) лишь обозначением постоянных коэффици- ентов; поэтому имеем В% = аВ\ + /ЗА* или В2 = а*В\ + /3*Ai. Таким образом, коэффициенты в B5.5) связаны друг с другом соотношениями вида А2 = аАг + /ЗВЪ В2 = р*Ах + а*Въ B5.6) Условие постоянства потока вдоль оси х приводит для коэф- фициентов в B5.5) к соотношению Ы\А1\2-\В1\2) = к2(\А2\2-\В2\2). Выразив здесь А2, В2, через А±, В\ согласно B5.6), получим Н2-|/9|2 = ^. B5.7) С помощью соотношений B5.6) можно показать, что коэф- фициенты отражения одинаковы (при заданной энергии Е > Uq) для частиц, движущихся в положительном или отрицательном 108 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ГЛ. III направлении оси х. Действительно, первый случай мы получим, положив в функциях B5.5) В2 = 0; при этом В\/А\ = — /3*/а*. Во втором случае полагаем А\ = 0, тогда А2/В2 = /3/а*. Соот- ветствующие коэффициенты отражения /Г м в2 откуда ясно, что R\ = i?2- Величины же B\jA\ = —/3*/а* и А2/В2 = /3/а* естественно назвать амплитудами отражения соответственно для движе- ния в положительном и отрицательном направлениях. Эти ам- плитуды равны по модулю, но могут отличаться фазовым мно- жителем.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Коэффициент прохождения» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
