Перейдем теперь к выводу полной системы гидродинамиче- ских уравнений, которые описывают движение гелия II макро- скопическим (феноменологическим) образом. Согласно изложен- ным выше представлениям речь идет о составлении уравнений движения, описывающегося в каждой точке не одной, как в обыч- ной гидродинамике, а двумя скоростями vs и vn. Оказывается, что искомая система уравнений может быть получена вполне однозначным образом, исходя из одних только требований, на- лагаемых принципом относительности Галилея и необходимыми законами сохранения (причем используются также свойства дви- жения, выражаемые уравнениями A37.1) и A37.2)). Следует иметь в виду, что фактически гелий II теряет свойст- во сверхтекучести при достаточно больших скоростях движения. Ввиду этого явления критических скоростей уравнения гидро- динамики сверхтекучего гелия обладают реальным физическим 710 ГИДРОДИНАМИКА СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ ГЛ. XVI смыслом лишь для не слишком больших скоростей vs и vn . Тем не менее мы проведем сначала вывод этих уравнений, не де- лая никаких предположений о скоростях vs и vn, так как при пренебрежении высшими степенями скоростей теряется возмож- ность последовательного вывода уравнений, исходя из законов сохранения. Переход к физически интересному случаю малых скоростей будет произведен в получающихся окончательных уравнениях. Обозначим буквой j плотность потока массы жидкости; эта величина является в то же время импульсом единицы ее объема (ср. примеч. на с. 275). Напишем j в виде суммы j = psvs + pnwn A39.1) потоков, связанных соответственно с сверхтекучим и нормаль- ным движениями. Коэффициенты ps и рп можно назвать сверх- текучей и нормальной плотностями жидкости. Их сумма равна истинной плотности р гелия II: p = Ps+Pn. A39.2) Величины ps и рп являются, разумеется, функциями температу- ры; рп обращается в нуль при абсолютном нуле, когда гелий II «целиком сверхтекуч» 2) , a ps обращается в нуль в А-точке, когда жидкость становится «целиком нормальной». Плотность р и поток j должны удовлетворять уравнению не- прерывности — + div j = 0, A39.3) выражающему закон сохранения массы. Закон сохранения им- пульса представляется уравнением вида Ш + ^ = о, A39.4) где lljfc — тензор плотности потока импульса. 1) Существование предельной скорости сверхтекучего движения следу- ет уже из микроскопической теории — конкретная форма энергетического спектра элементарных возбуждении в гелии II приводит к нарушению усло- вия сверхтекучести Ландау при больших скоростях (см. IX, § 23). Факти- чески наблюдающиеся критические скорости, однако, гораздо меньше этого предельного значения, причем зависят от конкретных условий течения (так, для течения по тонким капиллярам или щелям они больше, чем для движе- ний в больших объемах). Физическая природа этих явлений состоит в воз- никновении квантованных вихревых колец; такого же рода вихревые нити (но прямолинейные) возникают при вращении жидкого гелия в цилиндри- ческом сосуде (см. IX, § 29). В этой главе эти явления не рассматриваются. ) Если гелий II содержит примесь постороннего вещества (таковым фак- тически может являться изотоп Не), то рп остается отличным от нуля и при абсолютном нуле. § 139 УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ 711 Мы не будем рассматривать пока диссипативных процессов в жидкости; тогда движение обратимо и должна сохраняться также и энтропия жидкости. Имея в виду, что поток энтропии равен psvn, напишем уравнение сохранения энтропии в виде + div (psvn) =0. A39.5) dt К уравнениям A39.3)—A39.6) должно еще быть добавлено уравнение, определяющее производную по времени от скорости vs. Это уравнение должно быть составлено таким образом, чтобы обеспечить сохранение со временем потенциальности движения: это значит, что производная vs должна выражаться в виде гра- диента некоторого скаляра. Мы напишем это уравнение в виде A39.6) где \i — некоторый скаляр. Уравнения A39.4) и A39.6) приобретут реальный смысл, ра- зумеется, лишь после того, как будет установлен вид пока не определенных величин П^ и \i. Для этой цели надо использо- вать закон сохранения энергии и соображения, основанные на принципе относительности Галилея. Именно, необходимо, что- бы гидродинамические уравнения A39.3)—A39.6) автоматически приводили к выполнению закона сохранения энергии, выражаю- щегося уравнением вида A39.7) где Е — энергия единицы объема жидкости и Q — плотность по- тока энергии. Принцип же относительности Галилея дает воз- можность определить зависимость всех величин от одной из ско- ростей (vs) при заданном значении относительной скорости vn ~~ vs обоих одновременно происходящих в жидкости дви- жений. Введем наряду с исходной системой координат К еще и дру- гую систему, Ко, в которой скорость сверхтекучего движения данного элемента жидкости равна нулю. Система Ко движется относительно системы К со скоростью, равной скорости vs сверх- текучего движения в исходной системе. Значения всех величин в системе К связаны с их значениями в системе Ко (которые мы отличаем индексом нуль) следующими известными из механики 712 ГИДРОДИНАМИКА СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ ГЛ. XVI формулами преобразования : 2 j = pvs + j0, E = ^ + jovs + Ео, Q = (^ + jovs + ?b) vs + |j0 + (novs) + Q Пг/с = pVsiVsk + ^г JO/c + ^s/cJOz + ^-Oik (здесь (IIovs) обозначает вектор с компонентами П) В системе Kq данный элемент жидкости совершает лишь од- но движение — нормальное движение со скоростью vn — vs. По- этому все относящиеся к этой системе величины jo, Eq, Qo, Hoik могут зависеть лишь от разности vn—vs, а не от каждой из скоро- стей vn, vs в отдельности; в частности, векторы jo и Qo должны быть направлены вдоль вектора vn — vs. Таким образом, форму- лы A39.8) определяют зависимость искомых величин от vs при заданном vn — vs. Энергия Eq, рассматриваемая как функция от р, s и импульса jo единицы объема жидкости, удовлетворяет термодинамическо- му соотношению dEo = /idp + Td(ps) + (vn - ve) rfjo, A39.9) где /i — химический потенциал (термодинамический потенциал единицы массы). Первые два члена соответствуют обычному тер- модинамическому соотношению для дифференциала энергии неподвижной жидкости при постоянном (здесь — равном едини- це) объеме, а последний член выражает тот факт, что произ- водная от энергии по импульсу есть скорость движения. Им- пульс jo (плотность потока массы в системе Ко) есть, очевидно, просто jo = Pn(vn ~ vs) (первая из формул A39.8) при этом совпадает с A39.1)). Ход дальнейших вычислений состоит в следующем. В урав- нение сохранения энергии A39.7) подставляем ShQhs A39.8), 1) Эти формулы являются непосредственным следствием принципа отно- сительности Галилея и потому справедливы вне зависимости от того, о какой именно конкретной системе идет речь. Их можно вывести, рассмотрев, на- пример, обычную жидкость. Так в обычной гидродинамике тензор плотно- сти потока импульса есть П^ = pviVk +pbik- Скорость жидкости v в системе К связана со скоростью vo в системе Ко через v = vo + u, где u — скорость системы Ко относительно системы К. Подстановка вП^ дает Uk + рщуок + рщик. Введя Hoik = pdik + pvoiVok и jo = pvo, получим указанную в тексте формулу преобразования для тензора П^. Остальные формулы получаются анало- гичным образом. § 139 УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ 713 причем производная dE^/dt выражается через производные от р, ps и jo согласно A39.9). После этого все производные по времени (р, vs и др.) исключаем с помощью гидродинамических уравне- ний A39.3)—A39.6). Довольно громоздкие вычисления приводят, после значительных сокращений, к следующему результату: - Пог/с-^- + Wi —-Щг/с + Р div vs - wVp + pnw(wV) vn + дхк дхк + div (w(Tps + pnfi)) + (pn - ps)wV((p - /i) = div Qo; здесь фигурирующий в A39.6) скаляр временно обозначен через if (вместо /i), и для сокращения записи обозначено w = vn — vs; кроме того, введено обозначение р = -Ео + Tps + W + pn(vn - vsJ, A39.10) смысл которого выяснится ниже. Это уравнение сохранения энер- гии должно удовлетворяться тождественно. При этом Qo, По, (р должны зависеть лишь от термодинамических переменных и от скорости w, но не от каких-либо градиентов этих величин (по- скольку мы не рассматриваем диссипативных процессов). Эти условия определяют выбор выражений для Qo, По, (р однознач- ным образом. Прежде всего, надо положить (р = /i, т. е. фигурирующий в уравнении A39.6) скаляр совпадает с химическим потенциалом жидкости, определенным согласно A39.9) (именно поэтому мы заранее обозначили его буквой /i). Для остальных же величин надо положить: Qo = (Tps + pn/i)w + pnw2Mv, г/с =pSik + рпЩЫк- Подставив теперь эти выражения в формулы A39.8), получим следующие окончательные выражения для плотности потока энергии и тензора плотности потока импульса: Q = (ju + y)j + Tpsvn + pnvn(vn, vn - ve), A39.11) + PsVsiVsk + P$ik- A39.12) Выражение A39.12) имеет вид, являющийся естественным обобщением формулы П^ = pviV^ + p8ik обычной гидродина- мики. При этом величину р, определенную согласно A39.10), естественно рассматривать как давление жидкости; в полностью покоящейся жидкости выражение A39.10) совпадает, разумеет- ся, с обычным определением, так как Ф = \ip становится обыч- 714 ГИДРОДИНАМИКА СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ ГЛ. XVI ным термодинамическим потенциалом единицы объема жид- кости . Уравнения A39.3)—A39.6) с определениями j и П^ согласно A39.1), A39.12) представляют собой искомую полную систему гидродинамических уравнений. Эта система очень сложна преж- де всего тем, что входящие в уравнения величины pSl рП1 /i, s являются функциями не только термодинамических переменных р и Т, но и квадрата относительной скорости обоих движений ^2 = (vn — vsJ- Последний представляет собой скаляр, инва- риантный относительно галилеевых преобразований системы от- счета и относительно вращения жидкости как целого; эта вели- чина специфична для сверхтекучей жидкости, отнюдь не должна обращаться в нуль в термодинамическом равновесии, и должна фигурировать в уравнении состояния жидкости наряду с р и Т. Уравнения, однако, сильно упрощаются в физически инте- ресном случае не слишком больших скоростей (малой величиной предполагается отношение скоростей к скорости второго звука — § 141). Прежде всего, в этом случае можно пренебречь зависимо- стью ps и рп от w; выражение A39.1) для потока j представляет собой при этом по существу первые члены разложения этой ве- личины по степеням vn и vs. Разложение по степеням скоростей надо произвести и для остальных термодинамических величин, входящих в уравнения. Дифференцируя выражение A39.10) и используя A39.9), по- лучим следующее выражение для дифференциала химического потенциала: ф = -sdT+ -dp- ^wdw. A39.13) Р Р Отсюда видно, что первые два члена разложения \i по степеням w имеют вид /i(p, Т, w) и ц(р, Т) - ^w\ A39.14) Zp где в правой части равенства стоят обычные химический потен- х) Обычное термодинамическое определение давления как средней силы, действующей на единичную площадку, относится к неподвижной среде. В обычной гидродинамике тем не менее не возникает вопроса об определе- нии понятия давления (если не учитываются диссипативные процессы), так как всегда можно перейти к системе координат, в которой данный элемент объема жидкости покоится. В гидродинамике же сверхтекучей жидкости надлежащим выбором системы координат можно исключить лишь одно из двух одновременно происходящих движений, и потому обычное определение давления вообще не может быть применено, Отметим также, что выражение A39.10) соответствует и определению дав- ления как производной р = —d(EoV)/dV от полной энергии жидкости при заданных ее полной массе pV, полной энтропии psV и полном импульсе от- носительного движения pwV. § 139 УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ 715 циал /i(p, Т) и плотность р(р, Т) неподвижной жидкости. Дифференцируя это выражение по температуре и давлению, найдем соответствующие разложения для энтропии и плотности: A39.15) Они должны быть подставлены в гидродинамические уравнения, которые после этого будут справедливы с точностью до членов второго порядка по скоростям включительно (учет же в j за- висимости ps и рп от w2 привел бы к членам третьего порядка малости) . Введение в гидродинамические уравнения членов, учитываю- щих диссипативные процессы в сверхтекучей жидкости, будет произведено в следующем параграфе. Но уже здесь сформули- руем граничные условия к этим уравнениям. Прежде всего, на всякой (неподвижной) твердой поверхности должна обращаться в нуль перпендикулярная к этой поверхно- сти компонента потока массы j. Для выяснения граничных усло- вий, налагаемых на vn, надо вспомнить, что нормальное дви- жение есть в действительности движение «газа» элементарных тепловых возбуждений в нем. При движении вдоль твердой по- верхности кванты возбуждения взаимодействуют с ней, что дол- жно быть описано макроскопически как «прилипание» нормаль- ной части массы жидкости к стенке, подобно тому как это име- ет место для обычных вязких жидкостей. Другими словами, на твердой поверхности должна обращаться в нуль тангенциальная компонента скорости vn. Что касается перпендикулярной к стенке компоненты vn, то надо иметь в виду, что кванты возбуждения могут поглощаться или испускаться твердым телом — это соответствует просто теп- лопередаче между жидкостью и твердым телом. Поэтому пер- *) Следует отметить, что система гидродинамических уравнений, в кото- рой ps рассматривается как заданная функция риТ, может стать непригод- ной вблизи А-точки. Дело в том, что при приближении к этой точке (как и ко всякой точке фазового перехода второго рода) неограниченно возраста- ют время релаксации для установления равновесного значения параметра порядка и корреляционный радиус его флуктуации; в сверхтекучем же 4Не роль параметра порядка играет конденсатная волновая функция, квадрат модуля которой определяет ps (см. IV, § 26, 28; о релаксации в сверхтекучей жидкости — см. X, § 103). Гидродинамические уравнения с заданной функ- цией ps(p, Т) применимы лишь до тех пор, пока характерные расстояния и времена движения велики по сравнению соответственно с корреляционным радиусом и временем релаксации. В противном случае полная система урав- нений движения должна включать в себя также и уравнения, определяю- щие ps. См. Гинзбург В.Л., Собянин А.А. // УФН. 1976. Т. 120. С. 153; J. Low. Temp. Physics. 1982. V. 49. P. 507. 716 ГИДРОДИНАМИКА СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ ГЛ. XVI пендикулярная к стенке компонента скорости vn не должна не- пременно обращаться в нуль; граничное условие требует лишь непрерывности перпендикулярной к стенке компоненты потока тепла. Температура же испытывает на границе скачок, пропор- циональный тепловому потоку: AT = Kq, с коэффициентом про- порциональности, зависящим от свойств как жидкости, так и твердого тела. Появление этого скачка связано с особенностями теплопередачи в гелии П. Все теплосопротивление между твер- дым телом и жидкостью сконцентрировано в пристеночном слое жидкости, поскольку конвективное распространение тепла в объ- еме жидкости практически не связано с каким бы то ни было теплосопротивлением; в результате весь перепад температуры, вызывающий появление теплового потока, происходит практи- чески у самой поверхности. Интересным свойством описанных граничных условий явля- ется то, что теплообмен между твердым телом и движущейся жидкостью приводит к появлению тангенциальных сил, действую- щих на поверхность тела. Если ось х направлена по нормали, а ось у —по касательной к поверхности, то действующая на еди- ницу площади касательная сила равна компоненте Пху тензора потока импульса. Имея в виду, что на поверхности должно быть Зх — Рп^пх + Ps^sx = 0, находим для этой силы отличное от нуля выражение *-*-ху = Ps^sx^sy ~г рп^пх^пу = Рп^пху^пу ^sy)' Вводя тепловой поток q = /9«sTvn, можно переписать эту силу в виде ^iVny ~ Узу), A39.16) где qx — непрерывный на поверхности тепловой поток из твердо- го тела в жидкость. При отсутствии теплопередачи между твердой стенкой и жид- костью граничное значение перпендикулярной к стенке компо- ненты vn тоже обращается в нуль. Граничные условия jx = 0 и vn = 0 (ось х направлена по нормали к поверхности) эквивалент- ны условиям vsx = 0 и vn = 0. Другими словами, в этом случае мы получим обычные граничные условия идеальной жидкости для vs и вязкой жидкости — для vn. Наконец, скажем несколько слов о гидродинамике смесей жидкого Не4 с посторонним веществом (фактически — с изото- пом Не3). Помимо уравнений, выражающих сохранение массы, импульса, энтропии и потенциальности сверхтекучего движения, полная система гидродинамических уравнений смеси должна со- держать еще уравнение, выражающее собой сохранение каждого из двух веществ по отдельности. Оно имеет вид д(рс) , -,. . п -^-^ + divi = 0, § 140 ДИССИПАТИВНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ 717 где с —массовая концентрация Не3 в смеси, a i — плотность его гидродинамического потока. Однако требования, налагаемые за- конами сохранения и галилеевой инвариантностью оказываются достаточными для установления вида всех уравнений лишь если известно выражение потока i. Оно дается утверждением о том, что примесь (Не3) принимает участие только в нормальном дви- жении, т. е. i = pcvn x) .
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Уравнения гидродинамики сверхтекучей жидкости» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. 