Теория ударных волн в релятивистской гидродинамике строится аналогично нерелятивистской теории (А.Н. Taub, 1948). Как ив § 85, рассматриваем поверхность разрыва в системе координат, в которой она покоится, а газ движется перпендику- лярно ей (вдоль оси х1 = х) со стороны 1 на сторону 2. Условия непрерывности плотностей потока частиц, потока импульса и по- тока энергии гласят: [пх] = [пих] = О, [ТХХ] = [w(uxJ + р] = О, с[ТОж] = c[wu*ux] = О, или, после подстановки значений компонент 4-скорости: V2=j, A35.1) A35.2) с2 l = ^2^272? A35.3) где 71 = A " vl/c2)-ll\ 72 = A - v22/c2)-ll\ a Vi = 1/гц и V2 = 1/^2 — объемы, отнесенные к одной частице 2) . Из A35.1) и A35.2) находим f = (P2-Pl)c2/(w1V12-w2V22). A35.4) Далее, переписываем условие A35.3) с учетом A35.1) в виде При ультрарелятивистском уравнении состояния р = е/3 из написанных формул легко найти, что е ос Т4, а ос Т3, т. е. те же законы, которые спра- ведливы для черного излучения (см. V, § 63), — как и следовало ожидать. 2) В нерелятивистском пределе определенный согласно A35.1) поток числа частиц отличается множителем 1/гп от плотности потока массы, обозначав- шейся через j в § 85. Множителем m отличаются также определенные здесь и в § 85 объемы V. § 135 УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ 699 Путем простых алгебраических преобразований (из A35.1) вы- ражаем 7i и 72 через j2, а затем подставляем j2 из A35.4)), по- лучим следующее релятивистское уравнение ударной адиабаты (адиабата Тауба): w\V? - w\V% + (р2 - pi) (wxV? + w2V%) = 0. A35.5) Приведем также выражения для скоростей газа по обе сто- роны поверхности разрыва, которые можно получить путем эле- ментарных преобразований из условий A35.2), A35.3) х) : vi_ _ Г(Р2 -Pi)(e2+pi)ll/2 v_2_ _ Г(р2 ~ с L(e2 - ei)(ei+p2) J ' с L (е2 - . (в2 — ei)(ei +P2) -I с L (в2 — ei)(e2+pi) J Относительная же скорость газов по обе стороны разрыва согласно релятивистскому правилу сложения скоростей равна V1 V2 \Р2 Pl)\G'2 61) ' /-jj-v^^x V\2 = = С — ?-^ - . Aо5.7) 1 — V1V2/C2 L(ei +рг)(в2 +pi)-l В нерелятивистском пределе, если положить е « тс2п = тс2/V и пренебречь р по сравнению с е, формулы A35.4), A35.6), A35.7) переходят в формулы (85.4), (85.6), (85.7) (с учетом указанной в примечании разницы в определениях j' и V здесь и в § 85) 2) . Для ультрарелятивистского же уравнения состояния р = е/3 из A35.6) имеем ^ = Г Зв2 + е1 11/2 ^ = г Зе1+е2 1 ^ ^ с L3Cei+e2)J с L3Ce2+ei)J v J (отметим, что v\v2 = c2/3). При увеличении интенсивности удар- / ной волны (е2 —^ оо) г;х стремится к скорости света, a v2 —к с/3. Подобно тому, как в гл. IX мы изображали ударную адиа- бату графиком в плоскости Vp, так естественными переменны- ми для изображения релятивистской ударной адиабаты являют- ся wV2, рс2] в этих координатах j2 определяет наклон хорды, проведенной из начальной точки адиабаты 1 в произвольную точку 2. Релятивистские ударные волны слабой интенсивности могут быть рассмотрены вполне аналогично тому, как это было сдела- но в § 86 в нерелятивистском случае (И.М. Халатников, 1954). х) При преобразованиях удобно сделать подстановку v/c = thip, 7 = ch<p. 2)Для предельного перехода от уравнения адиабаты A35.5) к нереляти- вистскому уравнению (85.10) такое приближение недостаточно; надо поло- жить w = птс2 + птг + р (е — нерелятивистская внутренняя энергия, от- несенная к единице массы) и, разделив уравнение A35.5) на с2, перейти к пределу с —»¦ оо. 700 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ГИДРОДИНАМИКА ГЛ. XV Не повторяя заново всех вычислений, приведем результат для скачка энтропии, который снова оказывается малой величиной третьего порядка по сравнению со скачком давления: ]{Р2-Р1)\ A35.9) д-1 1 12 lwV2T \ ар2 / ад Поскольку должно быть <72 > (У\ч то мы видим, что ударная вол- на является волной сжатия, если > а A35Л0) aV V J Это условие представляет собой релятивистское обобщение усло- вия (86.2) нерелятивистской гидродинамики . При р2 > р\ из A35.4) и A35.5) следует, что W2V2 < w\Vi , W2V2 > ^iVi; отсюда, в свою очередь, следует, что во всяком случае Vi < Vi, — объем V должен уменьшиться даже сильнее, чем wV возрастает. Скорости v\ и V2 ударной волны слабой интенсивности в пер- вом приближении совпадают, естественно, со скоростью звука: поскольку изменение энтропии — величина третьего порядка, то выражения A35.6) при Р2 —> Pi, 62 —> е\ переходят в производ- ную A34.14) 2) . Рассуждения, вполне аналогичные произведен- ным в § 86, показывают, что в следующем приближении v\ > и\, V2 < U2. Таким образом, направление изменения величин в реляти- вистской ударной волне слабой интенсивности подчиняется (при условии A35.10)) тем же неравенствам, что и в нерелятивистском случае. Обобщение этого результата на ударные волны произ- вольной интенсивности оказывается возможным произвести спо- собом, вполне аналогичным примененному в § 87 3) . Подчеркнем в то же время, что неравенства v\ > и\, V2 < щ справедливы для релятивистских (как и для нерелятивистских) ) Используя термодинамическое соотношение для тепловой функции, от- несенной к одной частице, d(wV) = Vdp (при aV = const), найдем, что условие A35.10) эквивалентно неравенству 'd2V_\ 3_|/# Р2 ) ад W I V dp , В нерелятивистском пределе правая часть заменяется нулем. 2) Выражение же A35.4) переходит в производную — c2[dp/d(wV2)]i. С помощью термодинамических выражений d(eV) = —pdV, d(wV) = V dp (при aV = const) легко убедиться, что эта производная, умноженная на V2, равна, как и следовало, u\/(l — и2). 3)См. Thome K.S. // Astroph. J. 1973. V. 179. P. 897. § 136 РЕЛЯТИВИСТСКИЕ УРАВНЕНИЯ 701 ударных волн вне зависимости от каких бы то ни было тер- модинамических условий —как следствие требования эволюци- онности. Напомним, что при выводе этих условий (§ 88) был существен только знак скоростей и ± v распространения зву- ковых возмущений в движущейся жидкости по отношению к неподвижной поверхности разрыва. Согласно релятивистскому правилу сложения скоростей эти скорости даются выражениями (u±v)/(l ±vu/c*), знак которых определяется только их числи- телями, так что все проведенные в § 88 рассуждения остаются в силе.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Ударные волны в релятивистской гидродинамике» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
При ультрарелятивистском уравнении состояния р = е/3 из написанных 