Необходимость в учете релятивистских эффектов в гидроди- намике может быть связана не только с большой (сравнимой со скоростью света) скоростью макроскопического движения жид- кости. Гидродинамические уравнения существенно меняются и в том случае, когда эта скорость не велика, но велики скорости микроскопического движения составляющих жидкость частиц. Для вывода релятивистских уравнений гидродинамики необ- ходимо прежде всего установить вид 4-тензора энергии-импуль- са движущейся жидкости Тгк г) . Напомним, что Т00 = Tqo есть плотность энергии, Т®а/с = —Т$а/с — плотность компонент им- пульса, величины Та@ = Тар составляют тензор плотности пото- ка импульса, плотность же потока энергии cTQa отличается от плотности импульса лишь множителем с2. Поток импульса через элемент df поверхности тела 2) есть не что иное, как действующая на этот элемент сила. Поэтому TaPdfp есть а-я компонента силы, действующей на элемент по- верхности. Рассмотрим некоторый элемент объема жидкости и воспользуемся системой отсчета, в которой он покоится (локаль- ная собственная система отсчета, или локальная система по- коя] значения величин в ней называют собственными). В такой системе отсчета справедлив закон Паскаля, т. е. давление, ока- зываемое данным участком жидкости одинаково по всем направ- 1) Содержание этого параграфа в значительной степени повторяет содер- жание § 35 т. II и приводится здесь для связности изложения. Принятые в этой главе обозначения соответствуют обозначениям в т. П. Латинские индексы г, к, /, ... пробегают значения 0, 1, 2, 3^ причем х° = = ct — временная координата (в этой главе с — скорость света). Первые бук- вы греческого алфавита а, /3, ... в индексах пробегают значения 1, 2, 3, от- вечающие пространственным координатам. Галилеевой метрике (специаль- ная теория относительности) отвечает метрический тензор с компонентами gOO = 1, gll = g22 = g33 = -1. ) Для трехмерного вектора df (и вектора скорости v ниже) в декартовых координатах нет необходимости различать контра- и ковариантные компо- ненты, и мы пишем их везде с индексами внизу. То же самое относится к трехмерному единичному тензору 6а/з- § 133 ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА ЖИДКОСТИ 691 лениям и везде перпендикулярно к площадке, на которую оно производится. Поэтому можно написать Ta^dfp = pdfai откуда Что касается компонент ТОа, представляющих плотность им- пульса, то в локальной собственной системе отсчета они равны нулю. Компонента же Т00 равна собственной плотности внутрен- ней энергии жидкости, которую мы будем обозначать в этой гла- ве буквой е. Таким образом, в локальной системе покоя тензор энергии- импульса имеет вид гргк A33.1) Легко найти теперь выражение Тгк в любой системе отсчета. Для этого введем 4-скорость и1 движения жидкости. В локаль- ной системе покоя ее компоненты: и® = 1, иа = 0. Выражение для Тг/с, обращающееся в A33.1) при этих значениях и1, есть Тгк =wuluk -pglk, A33.2) гдо w = е + р — тепловая функция единицы объема. Это и есть искомое выражение тензора энергии-импульса . Компоненты Т^, написанные в трехмерном виде, равны Taj3 _ 2A — V2 /С2 * е + pv2 /с2 — р = F ' c{l-v2/c2y l-v2/c2 r l-v2/c2 Нерелятивистскому случаю соответствуют малые скорости : и малые скорости внутреннего (микроскопического) движе- ния частиц в жидкости. При совершении предельного перехода следует иметь в виду, что релятивистская внутренняя энергия е содержит в себе также и энергию покоя птс2 составляющих жид- кость частиц (га — масса покоя отдельной частицы). Кроме того, надо учесть, что плотность числа частиц п отнесена к единице собственного объема; в нерелятивистских же выражениях плот- ность энергии относится к единице объема в «лабораторной» си- стеме отсчета, в который данный элемент жидкости движется. 1) Во всех формулах в этой главе под термодинамическими величинами понимаются их собственные значения. Такие величины, как е, w (и плот- ность энтропии а ниже) отнесены к единице объема в локальной системе покоя. 692 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ГИДРОДИНАМИКА ГЛ. XV Поэтому при предельном переходе надо заменить тп —>> р где р — обычная нерелятивистская плотность массы. По сравне- нию с рс2 мала как нерелятивистская плотность энергии (обо- значим ее через ре), так и давление. Имея все это в виду, найдем, что предельное значение т. е. совпадает, за вычетом рс2, с нерелятивистской плотностью энергии. Соответствующее предельное значение тензора Тар: т. е. совпадает, как и следовало, с обычным выражением для плотности потока импульса, который мы обозначали в § 7 сим- волом ПаC- Простая связь между плотностью импульса и плотностью по- тока энергии (отличие в множителе с2) теряется в нерелятивист- ском пределе благодаря тому, что в нерелятивистскую энергию не включается энергия покоя. Действительно, компоненты Т®а/с образуют трехмерный вектор, приближенно равный Отсюда видно, что предельное значение плотности импульса есть, как и следовало, просто pv; для плотности же потока энер- гии находим, опустив член pc2v, выражение v(p? + р + pv2/2), совпадающее с найденным в § 6.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Тензор энергии-импульса жидкости» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. 