Уравнение Эйлера—Трикоми. Переход через звуковую скорость
Существенный принципиальный интерес имеет исследование особенностей течения, возникающих при переходе из до- в сверх- звуковую область, или обратно. Стационарные течения, сопро- вождающиеся таким переходом, называются смешанными или трансзвуковыми, а самую границу перехода называют переход- ной или звуковой поверхностью. Для исследования течения вблизи границы перехода в осо- бенности удобно уравнение Чаплыгина, сильно упрощающееся в этой области. На границе перехода г> = с = с*, а вблизи нее (в околозвуковой области) разности v — с*, и с — с* малы и связаны друг с другом соотношением A14.8): v--l = aJ^-l С Произведем соответствующие упрощения в уравнении Чаплыги- на. Третий член уравнения A16.8) мал по сравнению со вторым, содержащим 1 — v2 /с2 в знаменателе. Во втором же члене пола- гаем приближенно 2 2 V С* С* l-v2/c2 2A -v/c) 2a*(l-v/c#) Наконец, вводя вместо скорости v новую переменную ^, A18.1) § П8 УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА-ТРИКОМИ 613 получим искомое уравнение в виде дц2 дв2 A18.2) Уравнение такого вида в математической физике называется уравнением Эйлера-Трикоми . В полуплоскости т\ > 0 оно от- носится к гиперболическому, а в полуплоскости т\ < 0 — к эл- липтическому типу. Мы рассмотрим здесь ряд чисто математи- ческих свойств этого уравнения, которые су- щественны для исследования тех или иных конкретных физических случаев. Характеристики уравнения A18.2) опре- деляются уравнением rjdr]2 -d62 = 0, ~~ имеющим общий интеграл: в±-т]3/2 = С, A18.3) где С — произвольная постоянная. Это урав- Рис. 118 нение изображает в плоскости т]в два семей- ства характеристик, представляющих собой ветви полукубиче- ских парабол, расположенных в правой полуплоскости с точками возврата на оси в (рис. 118). При исследовании движения в небольшой области простран- ства, в которой направление скорости газа меняется незначитель- но 2) , всегда можно выбрать направление оси х так, чтобы от- считываемый от нее угол в во всей рассматриваемой области был малым. Тогда сильно упрощаются также и уравнения A16.6), определяющие координаты ж, у по функции Ф(г/, в) 3) : /^ \1/з$Ф дФ х -у а*> ^"' у ~ ~дв' Для того чтобы избежать появления в формулах лишнего мно- жителя Bа*I , мы будем ниже, в § 118-121, пользоваться вместо координаты х величиной хBа*I/3, обозначая ее той же 1) К рассматриваемой газодинамической проблеме уравнение Трикоми бы- ло привлечено Ф.И. Франклем A945). 2) Слова «небольшая область» не следует, разумеется, понимать букваль- но. Речь может идти и об исследовании окрестности бесконечно удаленной точки, т. е. о течении на достаточно больших расстояниях от обтекаемого тела, з ) Мы опустили в правых частях равенства множители 1/с*; это означает лишь замену функции Ф на с*Ф, не меняющую уравнения A18.2) и потому всегда допустимую. 614 ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. XII буквой х. Тогда ОФ дФ <V у дв Полезно заметить, что ввиду такой простой связи с Ф функ- ция у(г], в) (но не ж(г/, в)) тоже удовлетворяет уравнению Эйле- ра-Трикоми. Имея это в виду, можно написать якобиан преобра- зования из физической плоскости в плоскость годографа в виде Как уже сказано, уравнение Эйлера-Трикоми приходится обычно применять для исследования свойств решения в окрест- ности начала координат в плоскости т\в. В физически интерес- ных случаях эта точка представляет собой особую точку реше- ния. В связи с этим особое значение приобретает семейство част- ных интегралов уравнения Эйлера-Трикоми, обладающих опре- деленными свойствами однородности. Именно, речь идет о ре- шениях, однородных по отношению к переменным в3 и г/3; та- кие решения должны существовать, поскольку преобразование в2 —>• а#2, г/3 —>• arf* оставляет инвариантным уравнение A18.2). Будем искать эти решения в виде где к — постоянная (степень однородности функции Ф по отноше- нию к указанному преобразованию). Переменную ? мы выбрали такой, что она обращается в нуль на характеристиках, проходя- щих через точку г/ = в = 0. Сделав подстановку, получим для функции /(?) уравнение Это — частный случай гипергеометрического уравнения. С по- мощью известного выражения для двух независимых интегралов гипергеометрического уравнения находим искомое решение (при нецелом числе 2к + 1/6) в виде +г- ,к+2- ,2к+7-; 1-^I. (И8.6) 6 3 6 9(92/J V J С помощью известных соотношений между гипергеометрически- ми функциями от аргументов z, -, 1 — z, , можно пред- z 1 — z 1 — z § 118 УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА-ТРИКОМИ 615 ставить это решение еще в пяти других видах; при исследовании различных конкретных случаев приходится пользоваться всеми этими видами . Мы приведем здесь лишь следующие два вида: 2 3 »2/3 V 3 6 3 96>2 (постоянные А, В в формулах A18.6)-A18.8), конечно, не совпа- дают) . Из этих выражений сразу следует важное свойство функ- ций Ф&, не видное непосредственно из выражения A18.6): линии 7/ = 0и# = 0не являются их особыми линиями (из A18.7) вид- но, что вблизи т\ = О Ф& разлагается по целым степеням г/, а из A18.8) —то же самое по в). Из выражения же A18.6) видно, что характеристики, напротив, являются особыми линиями общего (т. е. содержащего обе постоянные А ж В) однородного интегра- ла Ф& уравнения Эйлера-Трикоми: при нецелом 2& + 1/6 точками разветвления обладает множитель (9в2 — 4г/3J/с+1/6, а при целом 2к + 1/6 один из членов в A18.6) вообще теряет смысл 2) (либо при 2к + 1/6 = 0 совпадает с другим) и должен быть заменен вторым независимым решением гипергеометрического уравне- ния, имеющим, как известно, в этом случае логарифмическую особенность. Между интегралами Ф& с различными значениями к имеются следующие соотношения: / (П8.9) / ^ A18-10) Первое следует непосредственно из выражения A18.6), а вто- рое—из того, что функция дФ^/дв удовлетворяет уравнению Эйлера-Трикоми и имеет ту же степень однородности, что и Ф/с-1/2- В этих формулах под Ф& подразумевается, конечно, об- щее выражение с двумя произвольными постоянными. 1) Соответствующие формулы можно найти, например, в т. Ill § e Мате- матического дополнения. 2) Напомним, что ряд F(a, /3, 75 z) ПРИ 7 = 0> — 1, —2, ... теряет смысл. 616 ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. XII При исследовании решения в окрестности точки г/ = 6 = О приходится следить за его изменением при обходе вокруг этой точки. Пусть, например, функция Ф& A18.6) изображает реше- ние в точке А вблизи характеристики 6 = B/3)г/3/2 (рис. 119) и требуется найти форму решения вблизи характеристики 6 = — B/3)г/3/2 (в точке В). Переход вдоль АВ свя- зан с пересечением оси абсцисс; меж- ду тем значение 6 = 0 есть особая точ- ка гипергеометрических функций в вы- ражении A18.6), так как их аргумент обращается в бесконечность. Поэтому для совершения перехода необходимо сначала применить к гипергеометриче- ским функциям преобразование, пере- водящее их в функции обратного аргу- / 9<92 \ а ел мента ( ), для которых 6 = 0 е / 1 1 1 \ \ \ \ \ \ , у Рис. 119 уже не будет особой точкой, после чего меняем знак 6 и повтор- ным таким же преобразованием переводим их в функции преж- него аргумента. Таким способом получим для функций, входя- щих в выражение A18.6), следующие формулы преобразования: r(-2]fe-±W-21fe+- 2 sin | тг ( 2k + - 6 ->> -- 2 sin | тг ( 2k + - 6 r(-2fc)r( -2k-- О Г | 2к+ -]Г[2к+ - V 67 V 6 A18.11) причем под F\ и i7^ подразумеваются выражения Fi = \6\2kF(-k, -k + -, -2fe + -; I - -^-V ' ' V ' 2 6 9(92 /' \2к 9(92 2/C+1/6 6' 3' (в б' 9<92/' A18.12) в которых в и 1 — 4г/3/(9б2) в коэффициентах при гипергеомет- рических функциях берутся по их абсолютным значениям. Аналогичным образом можно получить формулы преобра- зования при переходе из точки А' в точку В' (рис. 119) путем обхода начала координат в обратном направлении. Вычисления § 118 УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА-ТРИКОМИ 617 при этом более громоздки, так как приходится проходить через три особые точки гипергеометрических функций — точку с в = О и два раза точки с г/ = 0 (напомним, что особыми точками ги- пергеометрической функции аргумента z являются точки z = 1 и z = оо). Окончательные формулы имеют вид sin тг ( 4к sin | тг ( 2& + - 6 Г(-2к)г(-2к- - J A18.13) sin I тг ( 4k — — sin | тг ( 2k + - 6 3, Наряду с рассмотренным семейством однородных решений можно построить, конечно, и другие семейства частных интегра- лов уравнения Эйлера-Трикоми. Укажем здесь семейство реше- ний, возникающих в связи с разложением Фурье по углу в. Если искать Ф в виде Ф^йД^е^"*, A18.14) где ^ — произвольная постоянная, то для функции gu получим уравнение Это — уравнение функций Эйри; его общий интеграл есть A18.15) где Z\j% — произвольная линейная комбинация функций Бесселя порядка 1/3. Наконец, полезно иметь в виду, что общий интеграл уравне- ния Эйлера-Трикоми может быть написан в виде ф = //(<;) dz, С = ^ - 3r]z + 36>, A18.16) с 618 ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. XII где /(?) — произвольная функция, а интегрирование производит- ся в плоскости комплексного переменного z по любому контуру С, на концах которого производная /'(С) принимает одинаковые значения. Действительно, непосредственная подстановка выра- жения A18.16) в уравнение дает с т. е. уравнение удовлетворяется.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Уравнение Эйлера—Трикоми. Переход через звуковую скорость» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. В полуплоскости т\ > 0 оно от- 