Исследование сверхзвукового стационарного течения вблизи острия на поверхности обтекаемого тела представляет собой трехмерную задачу, и потому несравненно сложнее исследова- ния обтекания угла с линейным краем. Полностью может быть решена задача об осесимметричном обтекании острия, которое мы здесь и рассмотрим. Вблизи своего конца осесимметрическое острие можно рас- сматривать как прямой конус кругового сечения, и таким обра- зом, задача состоит в исследовании обтекания конуса однород- ным потоком, натекающим в направлении оси конуса. С каче- ственной стороны картина выглядит следующим образом. Как и при аналогичном обтекании плоского угла, должна возникнуть ударная волна (A. Busemann, 1929); из соображений симметрии очевидно, что эта волна бу- дет представлять собой коническую поверх- ность, коаксиальную с обтекаемым конусом и имеющую общую с ним вершину (на рис. 114 изображен разрез конуса плоскостью, про- ходящей через его ось). Однако в отличие от плоского случая ударная волна не осуще- ствляет здесь поворота скорости газа на пол- ный угол Х-) необходимый для течения вдоль поверхности конуса B% — угол раствора ко- нуса). После перехода через поверхность раз- Рис. 114 рыва линии тока искривляются, асимптоти- чески приближаясь к образующим обтекаемого конуса. Это ис- кривление сопровождается непрерывным уплотнением (добавоч- ным к уплотнению в самой волне) и соответственным падением скорости. Изменение направления и величины скорости на самой удар- ной волне определяется ударной полярой, причем и здесь осуще- 592 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ РАЗРЫВА ГЛ. XI ствляется решение, отвечающее «слабой» ветви поляры . Соот- ветственно, для каждого значения числа Маха натекающего по- тока Mi = vi/ci существует определенное предельное значение угла полураствора конуса Хтах, за которым такое обтекание ста- новится невозможным и ударная волна «отсоединяется» от вер- шины конуса. Поскольку за ударной волной происходит дополни- тельный поворот течения, значения Хтах для обтекания конуса превышают (при одинаковых Mi) значения Хтах для плоского случая (обтекания клина). Непосредственно за ударной волной движение газа обычно сверхзвуковое, но может быть и дозвуко- вым (при Xi близких к Хтах)- Сверхзвуковое за ударной волной течение по мере приближения к поверхности конуса может стать дозвуковым, и тогда на определенной конической поверхности скорость проходит через звуковое значение. Коническая ударная волна пересекает все линии тока нате- кающего потока под одинаковым углом, а потому обладает по- стоянной интенсивностью. Отсюда следует (см. ниже § 114), что и за ударной волной течение будет изэнтропическим и потенци- альным. В силу симметрии задачи и ее автомодельности (отсутствия в ее условиях какой-либо характеристической постоянной длины) очевидно, что распределение всех величин (скорости, давления) в потоке за ударной волной будет функцией только от угла в на- клона к оси конуса (оси х на рис. 114) радиус-вектора, проведен- ного в данную точку из вершины конуса. Соответственно урав- нения движения сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям; граничные условия к этим уравнениям на ударной волне определяются уравнением ударной поляры, а на поверхно- сти конуса — требуют параллельности скорости образующим ко- нуса. Эти уравнения, однако, не могут быть проинтегрированы в аналитическом виде и должны решаться численным образом. Отсылая за результатами таких вычислений к оригинальным ис- точникам 2) , мы ограничимся лишь кривой (см. рис. 65), даю- щей зависимость предельного допустимого угла раствора конуса 2Хтах как функции числа Mi. Укажем также, что при Mi —>> 1 угол Хтах стремится к нулю по закону Xmax = COnstW 1 , A13.1) г) Это может, однако, быть не так при некоторых «экзотических» формах обтекаемого тела. Так, существуют указания на отбор волны «сильного» семейства при обтекании конуса на переднем крае широкого тупого тела. 2)См. Taylor G.I., Maccol J.W. // Proc. Roy. Soc. 1933. V. 139A. P. 278; Maccol J. W. // Proc. Roy. Soc. 1937. V. 159A. P. 459. См. также изложение в кн.: Кочин Н.Е., Кибелъ И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика.— М.: Физматгиз, 1963, ч. II, § 27. § 113 ОБТЕКАНИЕ КОНИЧЕСКОГО ОСТРИЯ 593 как это можно заключить на основании общего околозвукового закона подобия A26.11) (const есть число, не зависящее ни от Mi, ни от рода газа). Замкнутое аналитическое решение задачи об обтекании ко- нуса возможно лишь в предельном случае малых углов раствора конуса (Th. Karman, N.B. Moor, 1932). Очевидно, что в таком случае скорость газа во всем пространстве будет лишь незначи- тельно отличаться от скорости vi натекающего потока. Обозна- чив буквой v малую разность между скоростью газа в данной точке и скоростью vi и введя ее потенциал <р, мы можем при- менить для последнего линеаризованное уравнение A14.4); если ввести цилиндрические координаты ж, г, о; с осью вдоль оси ко- нуса (со — полярный угол), это уравнение примет вид LpL-?pL = 0, (П3.2) г2 дио2 дх2 или для осесимметрического движения ^)-/32ff = O, A13.3) or / ох2 где введено обозначение /3= (М?-1I/2. A13.4) Для того чтобы распределение скорости было функцией толь- ко от угла #, потенциал должен иметь вид ср = ж/(?), где ? = = r/x = tg#. Сделав подстановку, получим для функции /(?) уравнение которое решается элементарно. Тривиальное решение / = const соответствует однородному потоку, а второе решение есть Граничное условие на поверхности конуса (т. е. при ? = гласит: Vr + Vx A13.5) или f = viX- Отсюда const = vix2\ и в результате получим следующее окончательное выражение для потенциала (в 594 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ РАЗРЫВА ГЛ. XI области х > (Зг г) - /32г2 - жАгсЬ—1. A13.6) /3rJ Обратим внимание на то, что ср имеет при г —>• 0 логарифмиче- скую особенность. Отсюда находим компоненты скорости: —, vr = ^^^/x2-P2r2. A13.7) /Зг г Давление на поверхности конуса вычисляется с помощью форму- лы A14.5); благодаря логарифмической особенности (р при г —>> О скорость vr на самой поверхности конуса (т. е. при малых г) вели- ка по сравнению с vXl и потому в формуле для давления должен быть сохранен член с г>2. В результате получим A13.8) Все эти формулы, полученные с помощью линеаризованной тео- рии, теряют применимость при слишком больших значениях Mi, сравнимых с 1/х (см. § 127).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Обтекание конического острия» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. Соот- 