Ударные волны могут пересекаться друг с другом; это пере- сечение происходит вдоль некоторой линии. Рассматривая дви- жение в окрестности небольших участков этой линии, мы можем считать ее прямой, а поверхности разрывов — плоскими. Таким образом, достаточно рассмотреть пересечение плоских ударных волн. § 110 ТИПЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ РАЗРЫВА 577 Линия пересечения разрывов представляет собой в матема- тическом отношении особую линию (как уже указывалось в на- чале § 109). Вся картина движения вокруг нее складывается из ряда секториальных областей, в каждой из которых имеется ли- бо однородный поток, либо описанная в § 109 волна разрежения. Ниже излагается общая классификация возможных типов пере- сечения поверхностей разрывов . Прежде всего необходимо сделать следующее замечание. Если по обе стороны ударной волны движение газа является сверхзвуковым, то (как было указано в начале § 92) можно го- ворить о «направлении» ударной волны и соответственно этому различать ударные волны, «исходящие» от линии пересечения, и волны, «приходящие» к ней. В первом случае касательная со- ставляющая скорости направлена от линии пересечения, и мож- но сказать, что возмущения, вызывающие образование разрыва, исходят от этой линии. Во втором же случае возмущения ис- ходят из какого-то места, постороннего по отношению к линии пересечения. Если по одну из сторон от ударной волны движение явля- ется дозвуковым, то возмущения распространяются в обе сто- роны вдоль ее поверхности и понятие о направлении волны те- ряет, строго говоря, смысл. Для нижеследующих рассуждений существенно, однако, что вдоль такого разрыва могут распро- страняться исходящие от места пересечения возмущения. В этом смысле подобные ударные волны в излагаемых ниже рассужде- ниях играют ту же роль, что и чисто сверхзвуковые исходящие волны, и под исходящими ударными волнами ниже подразуме- ваются обе эти категории волн. На следующих ниже рисунках изображаются картины тече- ния в плоскости, перпендикулярной к линии пересечения. Без ограничения общности можно считать, что движение происходит в этой плоскости. Параллельная линии пересечения (а потому и всем плоскостям разрывов) компонента скорости должна быть одинакова во всех областях вокруг линии пересечения и поэто- му надлежащим выбором системы координат может быть всегда обращена в нуль. Укажем, прежде всего, некоторые заведомо невозможные конфигурации. Легко видеть, что не может быть такого пересечения удар- ных волн, при котором нет хотя бы одной приходящей волны. Так, при изображенном на рис. 99 а пересечении двух уходящих ударных волн линии тока натекающего слева потока отклони- лись бы в разные стороны, между тем как во всей области 2 ) Она была дана Л. Д. Ландау A944), а в некоторых пунктах (относящихся к взаимодействию ударных волн с тангенциальными и слабыми разрывами) дополнена СП. Дьяковым A954). 19 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VI 578 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ РАЗРЫВА ГЛ. XI скорость должна быть постоянной; это затруднение не может быть преодолено введением в область 2 еще каких-либо других разрывов . Аналогичным образом убеждаемся в невозможно- сти изображенного на рис. 99 б пересечения уходящей ударной волны с уходящей же волной разрежения; хотя в такой картине и можно добиться постоянства направления скорости в обла- сти 2, но при этом не может быть выполнено условие постоян- ства давления, так как в ударной волне давление возрастает, а в волне разрежения — падает. а Ъ . Л ^ 1 < 2 Ударная Слабый Тангенц. Линия тока волна разрыв разрыв Рис. 99 Далее, поскольку пересечение не может оказывать обратного влияния на приходящие ударные волны, то одновременное пе- ресечение (вдоль общей линии) более чем двух таких волн, воз- никающих от каких-то посторонних причин, было бы невероят- ной случайностью. Таким образом, в картине пересечения могут участвовать всего лишь одна или две приходящие ударные вол- ны. Весьма существенно следующее обстоятельство: протекаю- щий мимо точки пересечения газ может пройти лишь через одну исходящую из этой точки ударную волну или волну разрежения. Пусть, например, газ проходит через следующие друг за другом две исходящие из точки О ударные волны, как это показано на рис. 99 в. Поскольку позади волны Оа нормальная компонента скорости V2n < С2, то тем более была бы меньше С2 нормальная к волне Ob компонента скорости в области 2 в противоречии с основным свойством ударных волн. Аналогичным образом убеж- даемся в невозможности прохождения газа через следующие од- на за другой исходящие из точки О две волны разрежения или волну разрежения и ударную волну. Эти соображения, очевидно, не распространяются на прихо- дящие к точке пересечения ударные волны. ) Чтобы не загромождать текст однообразными рассуждениями, мы не бу- дем приводить аналогичные соображения для случаев, когда имеются обла- сти дозвукового движения и уходящей волной является в действительности ударная волна, граничащая с дозвуковой областью. § 110 ТИПЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ РАЗРЫВА 579 Теперь мы можем приступить к перечислению возможных типов пересечений. На рис. 100 изображено пересечение, в котором участвует все- го одна приходящая ударная волна О а; две другие ударные вол- ны Ob и Ос являются исходящими. Этот случай можно рассма- тривать как разветвление одной ударной волны на две . Легко видеть, что наряду с двумя уходящими удар- ными волнами должен возникнуть еще и один расположенный между ними тангенциальный разрыв Cd, разделяющий потоки газа, протек- шего соответственно через Ob или Ос2) . Дей- ствительно, волна О а возникает от посторон- них причин и потому является полностью за- данной. Это значит, что имеют определенные заданные значения термодинамические вели- чины (скажем, _р, р) и скорость v в областях 1 и 2. Поэтому в нашем распоряжении остаются Рис 100 всего две величины —углы, определяющие на- правления разрывов Ob и Ос. С их помощью, однако, вообще го- воря, нельзя удовлетворить четырем условиям (постоянство р, р и двух компонент скорости) в области 5-^, которые требовались бы при отсутствии тангенциального разрыва Od. Введение же последнего уменьшает число условий до двух (постоянство дав- ления и направления скорости). Разветвиться может, однако, отнюдь не произвольная удар- ная волна. Приходящая ударная волна определяется (при задан- ном термодинамическом состоянии газа 1) двумя параметрами, например, числом Mi натекающего потока и отношением давле- ний pi/p2- Разветвление оказывается возможным лишь в опре- деленной области плоскости этих двух переменных 3) . Пересечения, содержащие две приходящие ударные волны, можно рассматривать как результат «столкновения» двух волн, Следует отметишь, что разветвление ударной волны на одну ударную же волну и одну волну разрежения невозможно (без труда можно убедиться в том, что при таком пересечении нельзя было бы согласовать друг с другом изменения давления и изменения направлений скорости в обеих исходящих волнах). 2)Как всегда тангенциальный разрыв в действительности размывается в турбулентную область. ) Определение этой области связано с громоздкими алгебраическими или численными расчетами. Повторим лишний раз о необходимости следить при этом за «направлением» ударных волн. Случаи, в которых имелись бы две приходящие и одна уходящая ударные волны представлял бы собой пересе- чение двух разрывов, возникающих от посторонних причин и потому при- ходящих к месту пересечения с заданными значениями всех параметров. Их слияние в одну волну возможно лишь при вполне определенном соотноше- нии между этими произвольными параметрами, что являлось бы невероят- ной случайностью. 19* 580 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ РАЗРЫВА ГЛ. XI возникших где-то от посторонних причин. При этом возможны два существенно различных случая, изображенных на рис. 101. В первом случае столкновение двух ударных волн приводит к возникновению двух ударных же волн, исходящих из точки пересечения. Выполнение всех необхо- димых условий снова требует возникно- вения тангенциального разрыва, распо- ложенного между уходящими ударны- ми волнами. Во втором случае вместо двух удар- ных волн возникают одна ударная волна и одна волна разрежения. Две сталкивающиеся ударные вол- ны определяются тремя параметрами (например, Mi и отношениями pi/p2-> Pi/Рз)- Описанные типы пересечений возможны лишь в определенных обла- стях значений этих параметров. Если же значения параметров лежат вне этих областей, то до столкновения ударных волн должно произойти их разветвле- ние. Рассмотрим, далее, типы пересече- ний, которые могут возникнуть при па- дении ударной волны на тангенциаль- ный разрыв. На рис. 102 а изображено отражение ударной волны от гра- ницы раздела между движущимся и неподвижным газами. Об- ласть 5 есть область неподвижного газа, отделенная от движу- щегося газа тангенциальным разрывом. В обеих граничащих с нею областях 1 и 4 давление должно быть одинаковым (равным Рь). Поскольку же в ударной волне давление возрастает, то ясно, что она должна отразиться от тангенциального разрыва в виде волны разрежения 5, понижающей давление до первоначального значения. В точке пересечения тангенциальный разрыв терпит излом. Пересечение ударной волны с тангенциальным разрывом, по другую сторону которого скорость жидкости отлична от нуля, но дозвуковая, вообще невозможно. Действительно, в дозвуко- вую область не могут проникнуть ни ударная волна, ни волна разрежения; поэтому в дозвуковой области может быть только тривиальное течение с постоянной скоростью, так что танген- циальный разрыв не может иметь излома. Отражение ударной волны в виде волны разрежения невозможно, так как это неиз- бежно вызвало бы излом тангенциального разрыва; отражение в виде ударной волны тоже невозможно, поскольку при этом Рис. 101 § по ТИПЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ РАЗРЫВА 581 нельзя было бы удовлетворить условию равенства давлений на тангенциальном разрыве. Если же течение по обе стороны тангенциального разрыва сверхзвуковое, возможны две различные конфигурации. В од- ном случае (рис. 102 б) наряду с падающей на тангенциальный разрыв ударной волной возникают еще и отраженная и прелом- ленная ударные волны; тангенциальный разрыв терпит излом. Ударная волна Тангенц. разрыв Слабый разрыв Линия тока Рис. 102 В другом случае (рис. 102 в) возникают отраженная волна раз- режения и прошедшая в другую среду преломленная ударная волна. Обе эти конфигурации возможны только в определенных областях значений параметров падающей ударной волны и тан- генциального разрыва . Взаимодействие двух тангенциальных раз- рывов может привести к конфигурации без приходящих ударных волн, а лишь с двумя уходящими (что невозможно, как было ука- зано выше, в отсутствие тангенциальных раз- рывов). В области 1 на рис. 103 газ покоит- ся; конфигурация возможна, очевидно, лишь при сверхзвуковом течении в областях 2 и 5. Остановимся кратко на пересечениях ударной волны с приходящим от посторон- него источника слабым разрывом. Здесь мо- гут представиться два случая в зависимости от того, является ли движение за ударной волной сверх- или дозвуковым. В пер- вом случае (рис. 104 а) слабый разрыв преломляется на ударной волне, проходя в пространство позади нее (сама же ударная вол- на в точке пересечения излома не имеет; ее форма имеет лишь Рис. 103 ^Эти две конфигурации в известном смысле обобщают случаи, изобра- женные на рисунках 100 и 101 б. 582 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ РАЗРЫВА ГЛ. XI особенность более высокого порядка —того же характера, что и особенность на слабом разрыве). Кроме того, изменение энтро- пии в ударной волне должно привести к возникновению позади нее еще и слабого тангенциального разрыва, на котором испы- тывают скачок производные энтропии. Если же позади ударной волны течение становится дозвуковым, то слабый разрыв не может проникнуть в эту область и окан- чивается в точке пересечения (рис. 104 б). Последняя является в этом случае особой точкой (так, если падающий разрыв пред- ставляет собой разрыв первых производ- ных гидродинамических величин, уходя- щий слабый тангенциальный разрыв, фор- ма ударной волны и распределение давле- ния в окрестности точки пересечения обла- дают, как можно показать, логарифмиче- ской особенностью). Кроме того, как и в предыдущем случае, позади ударной волны возникает слабый тангенциальный разрыв энтропии х) . Сказанное относительно взаимодействия ударных волн со слабым разрывом спра- ведливо и для взаимодействия со слабыми тангенциальными раз- рывами. Если течение в области за ударной волной сверхзвуко- вое, в ней возникают слабый и слабый тангенциальный разрывы. Если же течение за ударной волной дозвуковое, то в нем возни- кает лишь преломленный слабый тангенциальный разрыв. Наконец, упомянем еще о взаимодействии слабых разрывов с тангенциальными. Если течение по обе стороны тангенциаль- ного разрыва сверхзвуковое, наряду с падающим возникают от- раженный и преломленный слабые разрывы. Если же течение по другую сторону тангенциального разрыва дозвуковое, слабый разрыв в него не проникает, происходит «полное внутреннее от- ражение» слабого разрыва.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Типы пересечений поверхностей разрыва» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. 