Замечательную аналогию движению сжимаемого газа пред- ставляет движение в поле тяжести несжимаемой жидкости со свободной поверхностью, если глубина слоя жидкости достаточ- но мала (мала по сравнению с характеристическими размерами задачи, например, по сравнению с размерами неровностей дна водоема). В этом случае поперечной компонентой скорости жид- кости можно пренебречь по сравнению с продольной (вдоль слоя) скоростью, а последнюю можно считать постоянной вдоль тол- щины слоя. В этом приближении (называемом гидравлическим) жидкость можно рассматривать как «двумерную» среду, облада- ющую в каждой точке определенной скоростью v и, кроме того, характеризующуюся в каждой точке значением величины h — толщины слоя. Соответствующие общие уравнения движения отличаются от уравнений, полученных в § 12, лишь тем, что изменения величин при движении не должны предполагаться малыми, как это дела- лось в § 12 при изучении длинных гравитационных волн малой амплитуды; в связи с этим в уравнении Эйлера должны быть со- хранены члены второго порядка по скорости. В частности, для одномерного движения жидкости в канале, зависящего только от одной координаты х (и времени), эти уравнения имеют вид dh mvhi= dv av_= ah A081) ot ox ot ox ox (глубина h предполагается здесь постоянной вдоль ширины ка- нала) . Длинные гравитационные волны представляют собой, с об- щей точки зрения, малые возмущения движения рассматривае- мой системы. Результаты § 12 показывают, что такие возмуще- ния распространяются относительно жидкости с конечной ско- ростью, равной с=у/?К. A08.2) Эта скорость играет здесь роль скорости звука в газодинамике. Так же, как это было сделано в § 82, мы можем заключить, что ) Другой пример автомодельного движения такого рода представляет за- дача о распространении ударной волны, создаваемой в результате короткого сильного удара по полупространству, заполненному газом (Зельдович Я. Б. II Акустич. журнал. 1956. Т. 2. С. 29). Изложение этой задачи можно най- ти также в указанной на с. 459 книге Я.Б. Зельдовича и Ю.П. Райнера (гл. XII) и в книге Баренблатта Г.И. Подобие, автомодельность, промежу- точная асимптотика. — М.: Гидрометеоиздат, 1982, гл. 4. 568 ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. X если жидкость движется со скоростями v < с (так называемое спокойное течение), то влияние возмущений распространяется на весь поток как вниз, так и вверх по течению. При движении же со скоростями v > с (стремительное течение) влияние воз- мущений распространяется лишь на определенные области по- тока вниз по течению. Давление р (отсчитываемое от атмосферного давления на свободной поверхности) меняется по глубине жидкости соглас- но гидростатическому закону р = pg(h — z), где z — высота точки над дном. Полезно заметить, что если ввести величины h odz = -pgh2 = — р2, A08.3) о то уравнения A08.1) примут вид до . д гл dv , dv I dp /1 лп Л\ — + —vp = (J, — + v— = ———, (lUo.4) dt дх dt dx pdx v J формально совпадающий с видом уравнений адиабатического те- чения политропного газа с 7 = 2(р ос р2). Это обстоятельство позволяет непосредственно переносить в теорию «мелкой воды» все газодинамические результаты, относящиеся к движению без образования ударных волн. Два последних соотношения в тео- рии мелкой воды отличаются от газодинамических соотношений для идеального газа. «Ударная волна» в текущей по каналу жидкости представля- ет собой резкий скачок высоты жидкости ft, ас нею и ее скоро- сти v (так называемый прыжок воды). Соотношения между зна- чениями этих величин по обе стороны разрыва можно получить с помощью условий непрерывности потоков массы и импульса жидкости. Плотность потока массы (отнесенная к I см ширины канала) есть j = pvh. Плотность же потока импульса получается интегрированием р + pv2 по глубине жидкости и равна h о Поэтому условия их непрерывности дают два уравнения: vihi = v2h2, v\hi + ^—^ = v\h2 + ^—^. A08.5) Эти соотношения устанавливают связь между четырьмя величи- нами: vi, v2, hi, h2, две из которых могут быть заданы произ- вольно. Выражая скорости vi, v2 через высоты hi, h2, получим (Ю8.6) § 108 ТЕОРИЯ «МЕЛКОЙ ВОДЫ» 569 Потоки же энергии по обе стороны разрыва неодинаковы; их разность определяет количество энергии, диссипируемой (в 1 с) в разрыве. Плотность потока энергии вдоль канала равна Воспользовавшись выражениями A08.6), получим для искомой разности Пусть жидкость движется через разрыв со стороны 1 на сторо- ну 2. Тогда тот факт, что энергия диссипируется, означает, что должно быть qi — q% > 0, и мы приходим к выводу, что h2 >къ A08.7) т. е. жидкость движется со стороны меньшей на сторону большей высоты. Из A08.6) можно теперь заключить, что vi > с\ = \Jghi, v2 < с2 = \/gh2 A08.8) в полной аналогии с газодинамическими ударными волнами. Не- равенства A08.8) можно было бы найти и как необходимое усло- вие устойчивости разрыва, подобно тому как это было сделано в § 88.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Теория «мелкой воды»» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
