При изучении звуковых волн в § 64 амплитуда колебаний в волне предполагалась малой. В результате уравнения движения оказывались линейными и могли быть легко решены. Решением этих уравнений является, в частности, функция от х ± ct (плос- кая волна), что соответствует бегущей волне с профилем, пере- мещающимся со скоростью с без изменения своей формы (под профилем волны понимают распределение различных величин — плотности, скорости и т. п. —вдоль направления ее распростра- нения). Поскольку скорость v, плотность р и давление р (как и другие величины) в такой волне являются функциями от одной и той же комбинации х =Ь ct, то они могут быть выражены как функции друг от друга в виде соотношений, не содержащих явно ни координаты, ни времени (например, р = р(р), v = v(p) и т. д.). В случае произвольной, не малой, амплитуды волны эти про- стые соотношения уже не имеют места. Оказывается, однако, возможным найти общее решение точных уравнений движения, представляющее собой бегущую плоскую волну и являющееся обобщением решения f(x ± ct) приближенных уравнений, при- менимых в случае малых амплитуд. Для отыскания этого реше- ния будем исходить из требования, чтобы в общем случае волны с произвольной амплитудой плотность и скорость могли быть выражены в виде функции друг от друга. При отсутствии ударных волн движение адиабатично. Если в некоторый начальный момент времени газ был однороден (так что, в частности, было s = const), то и в дальнейшем будет все время s = const, что и предполагается ниже; тогда и давление будет функцией только от плотности. В плоской звуковой волне, распространяющейся вдоль оси ж, все величины зависят только от х и ?, а для скорости имеем vx = v, vy = vz = 0. Уравнение непрерывности гласит: dp d(pv) _ ~ dt дх ~ ' а уравнение Эйлера dt дх р дх Воспользовавшись тем, что v может быть представлено в виде § 101 ОДНОМЕРНЫЕ БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ 525 функции только от р, напишем эти уравнения в виде dt dp дх p dv / Замечая, что др/dt _ _(д_ др/дх ~ \~di)p получаем из A01.1) дх\ d(pv) . dv dt J p dp dp а из A01.2) аналогично dtJv pdv Но поскольку значение р определяет однозначным образом зна- чение v, то безразлично, берется ли производная при постоянном р или v, так что дх\ _ (дх dt)Р~ \dt )v откуда dv 1 dp с2 dp dp p dv p dv Таким образом, dv/dp = ±c/p, откуда p f р J рС Этим определяется общая связь между скоростью и плотностью или давлением в волне . Далее, комбинируя A01.3) с A01.4), пишем: дх\ . 1 dp I / \ — = v + -— = v ±c(v), dtJv pdv v n или, интегрируя, x = t[v±c(v)]+f(v), A01.5) где f(v) —произвольная функция скорости, а функция c(v) опре- деляется равенством A01.4). В волне с малой амплитудой имеем р = ро + р', и A01.4) дает в первом приближении v = сор /ро (где со = с(ро)), т. е. обычную формулу F4.12). 526 ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. X Формулы A01.4), A01.5) представляют собой искомое общее решение (впервые найденное Риманом — В. Шетапп, 1860). Ука- занные формулы определяют неявным образом скорость (а с нею и остальные величины) как функцию от х и ?, т. е. профиль вол- ны в каждый момент времени. Для каждого определенного зна- чения v имеем х = at + 6, т. е. точка, в которой скорость имеет определенное значение, передвигается в пространстве с постоян- ной скоростью; в этом смысле найденное решение представляет собой бегущую волну. Два знака в A01.5) соответствуют вол- нам, распространяющимся (относительно газа) в положительном и отрицательном направлениях оси х. Движение, описываемое решением A01.4), A01.5) часто на- зывают простой волной] ниже мы будем пользоваться этим тер- мином. Изученное в § 99 автомодельное движение является част- ным случаем простой волны, соответствующим равной нулю функции f(v) в A01.5). Выпишем в явном виде соотношения для простой волны в по- литропном газе; для определенности будем считать, что в волне есть точка, в которой v = 0, как это обычно бывает в различ- ных конкретных задачах. Поскольку формула A01.6) совпада- ет с формулой (99.6), то аналогично формулам (99.14)—(99.16) имеем c = co±^±v, A01.6) iiL)A A01.7) с 2 < Подставляя A01.6) в A01.5), получим х = t(±c0 + l±±v) + f(v). A01.8) Иногда бывает удобным писать это решение в виде т _ тр\т _ (л-г I 7+ 7,ч/ A01 Q^l где i7" — опять произвольная функция. Из формул A01.6), A01.7) снова (как и в § 99) видно, что ско- рость, направленная в сторону, противоположную направлению распространения волны (относительно самого газа), ограничена по своей абсолютной величине; для волны, распространяющейся в положительном направлении оси ж, имеем -v^ J?^. A01.10) 7-1 Бегущая волна, описываемая формулами A01.4), A01.5), су- щественно отличается от волны, получающейся в предельном § 101 ОДНОМЕРНЫЕ БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ 527 случае малых амплитуд. Скорость, с которой перемещаются точ- ки профиля волны, равна и = v ± с; A01.11) Р-Ро ее можно рассматривать наглядно как результат наложения рас- пространения возмущения относительно газа со звуковой ско- ростью и перемещения самого газа со скоростью v. Скорость и является теперь функцией плотности и поэтому различна для разных точек профиля. Таким образом, в общем случае плоской волны произвольной амплитуды не существует определенной по- стоянной скорости волны. Благодаря различию в скоростях то- чек профиля волны последний не остается неизменным и меняет со временем свою форму. Рассмотрим волну, распространяющуюся в положительном направлении оси х] для нее и = v + с. В § 99 была вычисле- на производная от v + с по плотности (см. (99.10)). Мы видели, что du/dp > 0. Таким образом, скорость рас- пространения заданной точки профиля вол- ны тем больше, чем больше плотность. Ес- ли обозначить через cq скорость звука для плотности, равной равновесной плотности ро, то в местах, где имеется сжатие, р > ро и с > со; в точках разрежения, напротив, р < ро И С < Cq. Неодинаковость скорости перемещения точек профиля приводит к изменению его формы со временем: точки сжатия выдвига- ются вперед, а точки разрежения оказыва- ются отставшими (рис. 80 б"). В конце концов профиль волны может настолько выгнуть- ся, что кривая р(х) (при заданном t) ока- зывается неоднозначной — некоторым х со- ответствует по три различных значения р (рис. 80 в, штриховая линия) х) . Физически, разумеется, такое положение невозможно. В действительности, в местах неодно- значности р возникают разрывы, в результате чего р оказывается везде (за исключением самих точек разрыва) однозначной функ- цией. Профиль волны приобретает при этом вид, изображенный на рис. 80 в сплошной линией. Поверхности разрыва возникают, таким образом, на протяжении каждой длины волны. После возникновения разрывов волна перестает быть про- стой. Наглядная причина этого заключается в том, что при нали- чии поверхностей разрыва происходит отражение волны от этих поверхностей, в результате чего волна перестает быть бегущей в Рис. 80 ) О такой деформации профиля волны часто говорят как о его опрокиды- вании. 528 ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. X одном направлении, а потому и лежащее в основе всего вывода предположение об однозначной зависимости между различными величинами не имеет, вообще говоря, места. Наличие разрывов (ударных волн) приводит, как было указа- но в § 85, к диссипации энергии. Поэтому возникновение разры- вов приводит к сильному затуханию волны. Наличие такого зату- хания видно уже непосредственно из рис. 80. При возникновении разрыва как бы отсекается наиболее высокая часть профиля вол- ны. С течением времени, по мере продолжающегося выгибания профиля, его вышина все более уменьшается. Происходит сгла- живание профиля с уменьшением его амплитуды, что и означает постепенное затухание волны. Из сказанного выше ясно, что образование в конце концов разрывов должно произойти во всякой простой волне, в которой имеются участки, на которых плотность убывает в направлении распространения волны. Единственный случай, когда разрывы вообще не образуются,—волна, в которой плотность монотон- но возрастает в направлении распространения на всем ее протя- жении (такова, например, волна, возникающая при выдвигании поршня из заполненной газом бесконечной трубы; см. задачи к этому параграфу). Хотя после образования разрыва волна и перестает быть про- стой, но самые момент и место образования разрыва могут быть определены аналитически. Мы видели, что с математической точки зрения возникновение разрывов связано с тем, что в про- стой волне величины р, /э, v как функции х (при заданном t) ста- новятся многозначными для моментов времени, превышающих некоторое определенное значение to, между тем как при t < to эти функции однозначны. Момент to есть момент образования разрыва. Уже из чисто геометрических соображений ясно, что в самый момент to кривая зависимости, скажем, и от ж, должна сделаться в некоторой точке х = хо вертикальной — как раз в той точке, вблизи которой функция стала бы затем многозначной. Аналитически это означает обращение производной (dv/dx)t в бесконечность, т. е. производной (dx/dv)t в нуль. Ясно также, что в момент to кривая v = v(x) должна лежать по обе сто- роны от вертикальной касательной, в противном случае зависи- мость v(x) была бы многозначной уже и в этот момент времени. Другими словами, точка х = хо должна быть не точкой экстре- мума функции x(v), а точкой перегиба, и следовательно, должна обратиться в нуль также и вторая производная {d2xjdv2\. Та- ким образом, место и момент образования ударной волны опре- деляются совместным решением двух уравнений: =°- A01Л2) § 101 ОДНОМЕРНЫЕ БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ 529 Для политропного газа эти уравнения гласят: * !/», /» = о, (шла) 7- где f(v) —функция, входящая в общее решение A01.8). Эти условия должны быть видоизменены, если простая волна граничит с неподвижным газом и ударная волна возникает как раз на этой границе. И здесь в момент возникновения разрыва кривая v = v(x) должна стать вертикальной, т. е. производная (dx/dv)t должна обратиться в нуль. Обращение же в нуль вто- рой производной не обязательно; вторым условием здесь являет- ся просто равенство нулю скорости на границе с неподвижным газом, так что имеем условие -^) = 0. Из этого условия время и место образования разрыва могут быть найдены в явном виде. Дифференцируя выражение A01.5), по- лучим t = -^, х = ±cot + /@), A01.14) где «о—значение при v = 0 величины а, определяемой форму- лой A02.2). Для политропного газа A01.15)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Одномерные бегущие волны» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. 