Рассмотрим стационарную ударную волну отказавшись при этом от подразумевавшегося везде выше выбора системы коор- динат, в которой скорость газа направлена перпендикулярно к данному элементу поверхности волны. Линии тока могут пересе- кать поверхность такой ударной волны наклонно, причем пере- сечение сопровождается преломлением линий тока. Касательная составляющая скорости газа не меняется при прохождении че- рез ударную волну, а нормальная составляющая согласно (87.4) падает: Vlt = V2U Vin > V2n- Поэтому ясно, что при прохождении через ударную волну линии тока приближаются к ней (как это показано на рис. 63). Таким образом, преломление линий тока на ударной волне происходит всегда в определенном направлении. Выберем направление скорости vi газа перед ударной волной в качестве оси ж, и пусть if — угол между поверхностью разры- ва и осью х (рис. 63). Возможные значения угла if ограничены лишь условием, чтобы нормальная составляющая скорости vi пре- — вышала скорость звука с\. Поскольку v\n = = vsmcp, то отсюда следует, что ср может иметь произвольные значения в интервале между тг/2 и углом Маха а: а\ < (р < тг/2, sinai = ci/vi = I/Mi. Движение позади ударной волны может Рис 63 быть как до-, так и сверхзвуковым (меньше скорости звука с2 должна быть лишь нор- мальная компонента скорости); движение же перед ударной вол- ной— непременно сверхзвуковое. Если движение газа по обе сто- роны от ударной волны является сверхзвуковым, то все возмуще- ния могут распространяться вдоль ее поверхности лишь в ту сто- рону, куда направлена касательная к ней составляющая скорости газа. В этом смысле можно говорить о «направлении» ударной волны и различать по отношению к какому-либо месту «исходя- щие» из него и «приходящие» волны (подобно тому как мы это уже делали для характеристик, вокруг которых движение все- гда является сверхзвуковым; см. § 82). Если же движение позади ударной волны является дозвуковым, то понятие о ее направ- лении теряет, строго говоря, смысл, так как возмущения могут распространяться вдоль ее поверхности во все стороны. Выведем соотношение, связывающее друг с другом две ком- поненты скорости газа после его прохождения через косую удар- ную волну; при этом будем предполагать газ политропным. § 92 КОСАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА 483 Непрерывность касательной к волне составляющей скорости означает, что v\ cos cp = V2X cos cp + V2y sin <p, или Hi^2i. (92.1) Далее, воспользуемся формулой (89.6); в этой формуле v\ и V2 обозначают нормальные к плоскости ударной волны состав- ляющие скорости и должны быть теперь заменены на v\ sin cp и V2X sin if — V2y cos <p, так что имеем 2c ^2ж sin ip - v2y cos 99 _ 7 - 1 7 + 1 G + l)^i sin if Из двух написанных соотношений можно исключить угол ср. После простых преобразований получим следующую формулу, определяющую связь между V2X и V2y (при заданных v\ и с\): 2 / ci \ ( . 1 - (VI - V2x) Vl 2 cl ¦ (92.3) 7 + 1 ^1 Этой формуле можно придать более изящный вид, если вве- сти в нее критическую скорость. Согласно уравнению Бернулли и определению критической скорости имеем w 1 v" - с" i v" - ^+l г 1 2 7-1 2 2G-1) * (ср. задачу 1 § 89), откуда (92.4) 7+1 7+1 Введя эту величину в (92.3), получим (92.5) V{ 7 + 1 Уравнение (92.5) называют уравнением ударной поляры (A. Busemann, 1931). На рис. 64 изображен график этой зависи- мости; это есть кривая третьего порядка (так называемая строфои- да или декартов лист). Она пересекает ось абсцисс в точках Р и Q (рис. 64), соответствующих значениям V2X — с*Д>1 и V2X = v\ x) . *) От точки Q, являющейся двойной точкой кривой, строфоида в действи- тельности продолжается еще в виде двух уходящих к бесконечным \v2y \ вет- вей (не изображенных на рис. 64) с общей вертикальной асимптотой V2x = cl/vi Однако точки этих ветвей не имеют физическою смысла: они дали бы для ^2ж, У2У значения, при которых V2n/vin > 1, что невозможно. 16* 484 УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. IX Проведя из начала координат луч (О В на рис. 64) под углом х к оси абсцисс по длине его отрезка до точки пересечения с кривой ударной поляры, мы определяем скорость газа за скачком, пово- рачивающим поток на угол %. Таких точек пересечения имеется две (А и В), т. е. заданному зна- чению х отвечают две различ- ные ударные волны. Направле- ние ударной волны тоже может быть сразу определено графиче- ски по этой же диаграмме — оно определяется перпендикуляром, опущенным из начала координат на прямую, проведенную из точ- ки Q соответственно через точ- ку В или А (на рис. 64 изобра- Рис. 64 жен угол ср для волны, соответ- ствующей точке В). При уменьшении х точка А приближается к точке Р, отвечающей прямому (ср = тг/2) скачку с v2 = сЦу\. Точка же В приближается при этом к точке Q, причем интенсив- ность ударной волны (скачок скорости в ней) стремится к нулю; в пределе, в самой точке Q, угол ср равен, как и следовало, углу Маха а\ (угол наклона касательной к поляре к оси абсцисс в этой точке равен тг/2 + а{). Из диаграммы ударной поляры сразу можно вывести важ- ное заключение, что угол отклонения х потока в ударной волне не может превышать некоторого максимального значения Хтах, соответствующего лучу, проведенному из точки О касательно к кривой. Хтах является, конечно, функцией числа Mi = v\jc\\ мы не приводим ее здесь ввиду ее громоздкости. При Mi = 1 имеем Хтах = 0, а при возрастании Mi угол Хтах монотонно растет и при Mi —>> оо стремится к конечному пределу. Легко рассмотреть оба предельных случая. Если скорость v\ близка к с*, то вместе с ней близка к с* и скорость v2i а угол х мал; уравнение ударной поляры (92.5) можно тогда приближенно переписать в виде х) X2 = 1^-(vi-v2f(vl+v2-2c*) (92.6) (ввиду малости угла х здесь положено v2l элементарным путем найдем 2) Хтах — з3/2 - Отсюда -(Mi - IK/2. (92.7) Можно легко убедиться в том, что уравнение (92.6) будет справедливым и для любого (не политропного) газа, если только заменить в нем величину G + 1)/2 на параметр а*, определенный согласно A02.2). ) Отметим, что эта зависимость %тах от Mi — 1 находится в согласии с общим законом подобия A26.7) для околозвуковых течений. § 92 КОСАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА 485 В обратном предельном случае, при Mi — вырождается в окружность . 7-1 оо, ударная поляра V2y = 7" (92.? 'Чпах' ^ " Легко видеть, что при этом Xmax = arcsin(l/7). На рис. 65 изображен график зависимости Xmax 0T Mi для возду- ха G = 1,4); горизонтальная штриховая линия показывает пре- дельное значение Хтах(оо) = 45,6° (верхняя кривая на рисунке — аналогичный график для обтекания конуса; см. § 113). Окружность V2 = с* пересекает ось абсцисс между точками Р и Q (рис. 64) и поэтому делит ударную поляру на две части, соответствующие до- и сверхзвуковым скоростям газа позади разрыва. Точка пересечения окруж- ности V2 = с* с полярой лежит правее точки С, но очень близко к ней; по- этому весь участок PC соответству- ет переходам к дозвуковым скоро- стям, а участок CQ (за исключением Зо лишь очень небольшого участка вбли- зи точки С) — переходам к сверхзву- 20 ковым скоростям. ю Изменения давления и плотности о в косой ударной волне зависят толь- ко от нормальных к ней компонент скорости. Поэтому отношения pijpx и / / . у / Конус, Клин
^-—— 1,0 1,5 2,0 2,5 Рис. 65 3,0 Mi P2Jр\ при заданных Mi и ip получаются из формул (89.6), (89.7) просто путем замены в них Mi на Mi simp: (92.9) Р2 -Pi _ 27 Pi 7 +1 sin2 p- р2 -pi _ 2(M?sin2<p-l) pi ^ ' ^ Эти отношения монотонно возрастают при увеличении угла ср от значения ср = а\ (когда ръ1р\ = Ръ1 Р\ — 1) Д° тг/2, т. е. по мере перемещения по ударной поляре от точки Q к точке Р. Приведем еще, для справок, формулу, выражающую угол по- ворота х скорости через число Mi и угол ср: l (92.11) _2(M?sin2?>-l) и формулу, определяющую число М2 = no Mi и 2М? cos2 ip 2 27М? sin2 ip - G - 1) 2 + G-l)Mfsin2v? (при ip = тг/2 последнее выражение переходит в (89.9)). (92.12) 486 УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. IX Две ударные волны, определяемые ударной полярой для за- данного угла поворота скорости, называют волнами слабого и сильного семейства. Ударная волна сильного семейства (уча- сток PC поляры) обладает большей интенсивностью (большим отношением P2JP\)-> образует больший угол (р с направлением скорости vi и превращает течение из сверх- в дозвуковое. Волна же слабого семейства (участок QC поляры) обладает меньшей интенсивностью, наклонена к потоку под меньшим углом и по- чти всегда оставляет течение сверхзвуковым. Для иллюстрации на рис. 66 изображены зависимости угла х отклонения скорости от угла ср наклона поверхности разрыва для воздуха G = 1,4) при нескольких различных значениях чис- ла Mi, в том числе для предела Mi —>> 00. Ветви кривых, изобра- женные сплошными линиями, отвечают ударным волнам слабого 25 20 15 10 0 10 20 30 40 50 60 70 ср, град Рис. 66 семейства, а изображенные штрихами — ударным волнам силь- ного семейства. Штриховая линия х = Хтах — геометрическое место точек максимального (при каждом заданном Mi) угла от- клонения, а сплошная линия М2 = 1 разделяет области сверх- и дозвукового течения позади разрыва; узкая область между этими двумя линиями отвечает ударным волнам слабого семей- ства, превращающим, однако, течение из сверх- в дозвуковое. Разность значений угла ср на линиях х = Хтах и ^-2 — 1 (при § 93 ШИРИНА УДАРНЫХ ВОЛН 487 заданном Mi) нигде не превышает 4,5°; разность же между Хтах и значением х = Хзв на линии М2 = 1 (тоже при заданном Mi) не превышает 0,5° г) .
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Косая ударная волна» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Можно легко убедиться в том, что уравнение (92.6) будет справедливым 