Выведем теперь общую формулу, определяющую решение волнового уравнения в неограниченной жидкости по заданным начальным условиям, т. е. определяющую распределение скоро- стей и давления в жидкости в произвольный момент времени по их распределению в начальный момент. Предварительно получим некоторые вспомогательные фор- мулы. Пусть будут <р(ж, у, z, t) и ф(х, у, z, t)— два каких-либо решения волнового уравнения, обращающиеся на бесконечности в нуль. Рассмотрим интеграл 1= [(<рф-фф)<пг, взятый по всему пространству, и вычислим его производную по времени. Помня, что ср и ф удовлетворяют уравнениям А(р - с~2ф = О, А^ - с~2ф = О, 384 звук гл. viii имеем -jt = J (<РФ - ФФ) dV = = с2 [((рАф - фАср) dV = с2 Г div (ср\7ф - ф\7(р) dV. Последний интеграл может быть преобразован в интеграл по бес- конечно удаленной поверхности и потому обращается в нуль. Та- ким образом, мы приходим к результату, что dl/dt = 0, т. е. / есть не зависящая от времени постоянная: / = Г(срф - фф) dV = const. G2.1) Рассмотрим, далее, частное решение волнового уравнения: ф = S[r-c(to-t)]^ G2<2) г где г — расстояние от некоторой заданной точки О пространства, to—некоторый определенный момент времени, а 5 обозначает E-функцию. Вычислим интеграл от ф по пространству: оо оо I фdV = Г Атгфг2 dr = 4тг I г5[г - c(t0 - ?)] dr. о о Аргумент у E-функции обращается в нуль при г = c(to — t) (предполагается, что to > t). Поэтому в силу свойств E-функции имеем ). G2.3) Дифференцируя это равенство по t, получаем G2.4) Подставим теперь в интеграл G2.1) в качестве ф функцию G2.2), а под ср будем понимать искомое общее решение волнового уравнения. Согласно G2.1) / есть величина постоянная; на этом основании напишем выражения для / в моменты времени t = 0 и t = to и приравняем их друг другу. При t = to обе функции фиф отличны от нуля только при г = 0. Поэтому при интегрировании можно положить г в ср и ф равным нулю (т. е. взять значения в точке О) и вынести ср и ф из-под знака интеграла: / = <р(ж, у, z, t0) j ipdV - ф(х, у, z, t0) J ф dV (ж, у, ? —координаты точки О). Согласно G2.3) и G2.4) второй член здесь обращается при t = to в нуль, а первый дает / = -4:7гар(х, у, z, t0). § 72 ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ 385 Вычислим теперь / при t = 0. Написав ф = —- = — —— и dt dt0 обозначая через щ значение функции (р при t = 0, имеем т f ( dib 1 = — / I (ро - J V dto Элемент объема запишем в виде dV = r2 dr do (do — элемент те- лесного угла), тогда в силу свойств E-функции получаем dto J dV = ~ t=0 / ^о t=0 dV. / фоф dV = / срог5(г — cto) dr do = cto / ( do r=cto (и аналогично для интеграла от фоф). Таким образом, = --г— (cto / ^o do) - cto / Фо dto \ J r=ct0 J J r=cto do. о Наконец, приравнивая оба выражения для / и опуская индекс нуль у to, получаем окончательно: ср(х, у, z,t) = ^-\—-(t I сро бЫ+?/<ро do]. G2.5) 4тг I dto \ J r—ct J J r—ct ) Эта формула Пуассона определяет распределение потенциала в пространстве в любой момент времени, если задано распределе- ние потенциала и его производной по времени (что эквивалентно заданию распределения скорости и давления) в некоторый на- чальный момент времени. Мы видим, что зна- чение потенциала в момент времени t опреде- ляется значениями (риф, которые они имели в момент времени t = 0 на поверхности сферы с радиусом г = ct и центром в точке О. Предположим, что в начальный момент времени (риф были отличны от нуля только в некоторой конечной области пространства, ограниченной замкнутой поверхностью С (рис. 44). Рассмотрим значения, которые бу- дет принимать ср в последующие моменты в некоторой точке О. Эти значения определяются значениями <р, ф на расстоянии г = = ct от точки О. Но сферы радиусов ct проходят через область внутри поверхности только при d/c ^ t ^ D/c, где d и D — наи- меньшее и наибольшее расстояния от точки О до поверхности С. В другие моменты времени подынтегральные выражения в G2.5) обратятся в нуль. Таким образом, движение в точке О начнется в момент t = d/c и закончится в момент t = D/c. Распростра- няющаяся из области С волна имеет два фронта: передний и зад- ний. Движение в жидкости начинается, когда к данной ее точке подходит поверхность переднего фронта, на заднем же фронте колебавшиеся ранее точки приходят в состояние покоя.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Общее решение волнового уравнения» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
