Рассмотрим звуковую волну, в которой распределение плот- ности, скорости и т. д. зависит только от расстояния до некоторо- го центра, т. е. обладает сферической симметрией. Такая волна называется сферической. Определим общее решение волнового уравнения, описываю- щее сферическую волну. Будем писать волновое уравнение, на- пример, для потенциала скорости: Поскольку if есть функция только от расстояния г до центра (и от времени ?), то, воспользовавшись выражением для оператора Лапласа в сферических координатах, имеем cfry G0.1) dt2 r2dr\ drJ y J Положив (p = /(r, t)/r, получим для функции /(г, t) уравнение dt2 dr2 ' т. е. обычное волновое уравнение в одном измерении, в котором роль координаты играет радиус г. Решение этого уравнения есть, как мы знаем, где /i, /2 — произвольные функции. Таким образом, общее реше- ние уравнения G0.1) имеет вид Первый член представляет собой расходящуюся волну, рас- пространяющуюся во все стороны из начала координат. Второй же член есть волна, сходящаяся к центру. В отличие от плоской волны, амплитуда которой остается постоянной, в сферической волне амплитуда падает обратно пропорционально расстоянию до центра. Интенсивность же волны, определяющаяся квадратом амплитуды, обратно пропорциональна квадрату расстояния, как 378 звук гл. viii и должно было быть, поскольку полный поток энергии в волне распределяется по поверхности, площадь которой растет пропор- ционально г2. Переменные части давления и плотности связаны с потенциа- лом через и их распределение определяется формулами того же вида, что и G0.2). Распределение же скорости (радиальной), определяю- щейся градиентом потенциала, имеет вид v дг Если в начале координат нет источника звука, то потенциал G0.2) должен оставаться при г = 0 конечным. Для этого необходимо, чтобы было fi(ct) = —/2(ct), т. е. у, = f(ct-r)-f(ct + r) G04) г (стоячая сферическая волна). Если же в начале координат на- ходится источник, то потенциал излучаемой им расходящейся волны есть (р = f(ct — г)/г и не должен оставаться конечным при г = 0, поскольку это решение вообще относится только к области вне тела. Монохроматическая стоячая сферическая волна имеет вид = Ae-iu,tsinkr^ G05) г где к = ио/с. Расходящаяся же монохроматическая сферическая волна дается выражением Mkr-ut) tp = A- . G0.6) г Полезно заметить, что это выражение удовлетворяет дифферен- циальному уравнению А(р + k2(p = -АтгАе tuJt8®, G0.7) в правой части которого стоит E-функция координат: 5(г) = = S(x)S(y)S(z). Действительно, везде, кроме начала координат, 6(т) = 0, и мы возвращаемся к однородному уравнению G0.1). Интегрируя же по объему малой сферы вокруг начала координат (в этой области выражение G0.6) сводится к —e~iu3t), получим V г J с обеих сторон —4тгАе~г^. Рассмотрим сферическую расходящуюся волну, занимающую в пространстве область в виде шарового слоя, позади которого § 70 СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ 379 движение либо отсутствует вовсе, либо быстро затухает; такая волна может возникнуть от источника, действовавшего в тече- ние конечного интервала времени, или от некоторой начальной области звукового возмущения (ср. конец § 72 и задачу 4 § 74). Перед приходом волны в некоторую заданную точку простран- ства потенциал в ней ср = 0. После же ее прохождения движе- ние снова должно затухнуть; это значит, что во всяком случае должно стать ср = const. Но в сферической расходящейся волне потенциал есть функция вида ср = f(cb — r)/r\ такая функция может обратиться в постоянную, только если функция / обра- щается в нуль. Таким образом, потенциал должен обращаться в нуль как до, так и после прохождения волны х) . Из этого обстоя- тельства можно вывести важное следствие, касающееся распре- деления сгущений и разрежений в сферической волне. Изменение давления в волне связано с потенциалом соотно- шением р1 = —о—. Ввиду сказанного выше ясно, что если проин- dt тегрировать р' по всему времени при заданном г, то мы получим в результате нуль: [ pfdt = O. G0.8) Это значит, что по мере прохождения сферической волны через заданную точку пространства в этой точке будут наблюдаться как сгущения (pf > 0), так и разрежения (pf < 0). В этом от- ношении сферическая волна существенным образом отличается от плоской, которая может состоять и из одних только сгущений или разрежений. Такая же картина будет наблюдаться также и при рассмотре- нии хода изменения р' с расстоянием в заданный момент време- ни; при этом вместо интеграла G0.8) равен нулю будет интеграл Г rpfdr = 0. G0.9)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Сферические волны» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
