До сих пор мы рассматривали колебательное движение в не- ограниченных средах. Мы видели, в частности, что в таких сре- дах могут распространяться волны с произвольными частотами. Положение существенно меняется для жидкости, находящей- ся в сосуде конечных размеров. Сами уравнения движения (вол- новые уравнения) остаются при этом, конечно, теми же, но к ним необходимо добавить теперь граничные условия, которые дол- жны выполняться на поверхности твердых стенок (или на сво- бодной поверхности жидкости). Мы будем рассматривать здесь только свободные колебания, происходящие при отсутствии пе- ременных внешних сил (колебания, совершаемые под действием внешних сил, называют вынужденными). Уравнения движения для ограниченной жидкости отнюдь не при всякой частоте имеют решение, удовлетворяющее соответ- ствующим граничным условиям. Такие решения существуют лишь для ряда вполне определенных значении ио. Другими сло- вами, в среде конечного объема могут происходить свободные колебания лишь с вполне определенными частотами. Их назы- вают частотами собственных колебаний, или собственными ча- стотами жидкости в данном сосуде. Конкретные значения собственных частот зависят от формы и размеров сосуда. В каждом данном случае существует беско- 374 звук гл. viii нечный ряд возрастающих собственных частот. Нахождение их требует конкретного исследования уравнения движения с соот- ветствующими граничными условиями. Что касается первой, т. е. наименьшей, из собственных частот, то ее порядок величины очевиден непосредственно из соображе- ний размерности. Единственным, входящим в задачу парамет- ром с размерностью длины являются линейные размеры / тела. Ясно поэтому, что соответствующая первой собственной частоте длина волны Ai должна быть порядка величины /; порядок вели- чины самой частоты ио\ определяется делением скорости звука на \\. Таким образом, Ai~/, uoi~c/l F9.1) Выясним характер движения при собственных колебаниях. Если искать периодическое по времени решение волнового урав- нения, скажем, для потенциала скорости, в виде ср = (ро(х, у, z) x х e~lujt, то для (fQ будем иметь уравнение Л<Л) + ^?>о = 0. F9.2) с2 В неограниченной среде, когда не надо учитывать никаких гра- ничных условий, это уравнение обладает как вещественными, так и комплексными решениями. В частности, оно имеет ре- шение, пропорциональное е , приводящее к потенциалу вида ip = const • ег(кг~^). Такое решение представляет собой волну, распространяющуюся с определенной скоростью, или, как гово- рят, бегущую волну. Но для среды конечного объема комплексные решения, во- обще говоря, не могут существовать. В этом можно убедиться путем следующего рассуждения. Уравнение, которому удовлет- воряет у?о, вещественно, и то же самое относится к граничным условиям. Поэтому, если (ро(х, у, z) есть решение уравнений дви- жения, то и комплексно сопряженное ср$ тоже есть решение. По- скольку, с другой стороны, решение уравнений при заданных граничных условиях, вообще говоря, однозначно г) (с точностью до постоянного множителя), то должно быть ср^ = const • сро, где const — некоторая комплексная постоянная, модуль которой ра- вен единице. Таким образом, сро должно иметь вид ср0 = f(x, у, z)e~ia с вещественной функцией / и вещественной постоянной а. По- тенциал ср имеет, следовательно, вид (берем вещественную часть от ipoe-^): (р = /(ж, у, z) cos (out + а), F9.3) ) Это может не иметь места в случае формы сосуда, обладающей высокой симметрией, например, в случае шара. § 69 СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 375 т. е. является произведением некоторой функции координат на периодическую функцию времени. Такое решение имеет характер, совершенно отличный от бе- гущей волны. В бегущей волне фазы kr — uot + а колебаний в различных точках пространства в один и тот же момент време- ни различны, будучи равными только в точках, удаленных друг от друга на расстояние, равное длине волны. В волне же F9.3) в каждый момент времени все точки тела колеблются в одной и той же фазе (uot + а). Ни о каком распространении такой вол- ны, очевидно, нельзя говорить. Такие волны называют стоячи- ми. Таким образом, собственные колебания представляют собой стоячие волны. Рассмотрим плоскую стоячую звуковую волну, в которой все величины являются функцией только от одной координаты, ска- жем, х (и от времени). Написав общее решение уравнения в виде сро = a cos ( —х + /3), будем иметь \ с ) ю = a cos (uot + a) cos ( -х + /3). V с Надлежащим выбором начала координат и начала отсчета вре- мени можно обратить а и /3 в нуль, так что будет ip = a cos (uot) cos —x. F9.4) с Для скорости и давления в волне имеем дю дх v = —Z- = — a— cos uot sin — д р = — р—^- = pujsmuotcos — х. dt с В точках х = 0, тгс/о;, 2тгс/о;, ... , удаленных друг от друга на расстояние -кс/ио = А/2, скорость v всегда равна нулю: эти точки называют узлами скорости. Посередине между ними (при х = = тгс/Bо;), Зтгс/Bо;), ... ) расположены точки, в которых ампли- туда колебаний скорости со временем максимальна; эти точки называют пучностями волны. Что же касается давления У, то для него первые точки являются пучностями, а вторые — узла- ми. Таким образом, в стоячей плоской звуковой волне пучности давления совпадают с узлами скорости, и обратно. Интересным случаем собственных колебаний являются коле- бания газа, находящегося в сосуде, в котором имеется маленькое отверстие (такой сосуд называют резонатором). В замкнутом со- суде наименьшая из собственных частот, как мы знаем, — поряд- ка величины с//, где / — линейные размеры сосуда. При наличии 376 звук гл. viii же маленького отверстия появляется новый вид собственных ко- лебаний со значительно меньшей частотой. Эти колебания свя- заны с тем, что если между газом внутри и вне сосуда появляет- ся разность давлений, то эта разность может выравниваться по- средством входа и выхода газа из сосуда наружу. Таким образом, появляются колебания, сопровождающиеся обменом газа между резонатором и внешней средой. Поскольку отверстие мало, то этот обмен происходит медленно; поэтому период колебаний ве- лик, а частота соответственно мала (см. задачу 2). Что касается обычных колебаний, имеющихся в замкнутом сосуде, то их ча- стоты под влиянием наличия малого отверстия практически не меняются.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Собственные колебания» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
