Поверхность жидкости стремится принять свою равновесную форму как под влиянием действующего на жидкость поля тяже- сти, так и под влиянием сил поверхностного натяжения. Меж- ду тем при изучении в § 12 волн на поверхности жидкости мы не учитывали этого последнего фактора. Мы увидим ниже, что влияние капиллярности на гравитационные волны существенно при малых длинах волн. Как и в § 12, будем предполагать амплитуду колебаний малой по сравнению с длиной волны. Для потенциала скорости имеем по-прежнему уравнение Условие же на поверхности жидкости будет теперь иным: раз- ность давлений с обеих сторон этой поверхности должна быть равной не нулю, как это предполагалось в § 12, а должна опре- деляться формулой Лапласа F1.3). Обозначим ^-координату точек поверхности жидкости че- рез (. Поскольку ( мало, то можно воспользоваться выражением F1.11) и написать формулу Лапласа в виде \д2 ду2 Здесь р есть давление в жидкости вблизи поверхности, ро—по- стоянное внешнее давление. Для р подставляем согласно A2.2) Р = ~ и находим r6S и dt \дх2 § 62 КАПИЛЛЯРНЫЕ ВОЛНЫ 341 (по тем же причинам, как и в § 12, можно, определяя соответ- ствующим образом <р, опустить постоянную ро). Продифферен- цировав это соотношение по t и заменив в нем д?/dt на dtp/' dz, получим граничное условие для потенциала (р в виде Г dip . d2if д (d2if . d2ip\] п ran л\ L dz dt2 dz \ дх2 ду2 / J z=0 Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси х. Как и в § 12, получаем решение в виде ср = Aekz cos (kx — uot). Связь между к л со определяется теперь из предельного условия F2.1) и имеет вид со2 = gk + ^A;3 F2.2) р (W. Thomson, 1871). Мы видим, что при больших длинах волн, удовлетворяющих условию к <^ (gp/aI/2 или ?;< 1/а (а — капиллярная постоянная), влиянием капиллярности можно пренебречь, и волна является чисто гравитационной. В обратном случае коротких волн можно пренебречь влиянием поля тяже- сти. Тогда ш2 = -к3. F2.3) р Такие волны называются капиллярными, в промежуточном слу- чае говорят о капиллярно-гравитационных волнах. Определим еще собственные колебания сферической капли несжимаемой жидкости, совершаемые ею под влиянием капил- лярных сил. При колебаниях происходит отклонение формы по- верхности капли от сферической. Амплитуду колебаний будем, как обычно, предполагать малой. Начнем с определения суммы \/R\ + l/i?2 Для поверхности, слабо отклоняющейся от сферической. Поступим для этого ана- логично тому, что мы делали при выводе формулы F1.11) Пло- щадь поверхности, описываемой в сферических координатах *) г, в, (р функцией г = г (в, (р), равна, как известно, интегралу 27Г7Г /II I 0 \ I *~S' 1 i -L I "' 1 * /1 7/1 7 (Г* (~\ A\ I I \l \ ал / „:._2 л \ Q._ / г \ / 0 0 1) Ниже в этом параграфе ср обозначает азимут сферических координат, а потенциал скорости мы будем обозначать буквой ф. 342 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ ГЛ. VII Шаровая поверхность описывается уравнением г = const = R (i? —радиус шара), а близкая к ней поверхность — уравнением г = i?+C с малым ?. Подставляя это в F2.4), имеем приближенно о о Определим изменение Sf поверхности при варьировании дв дв sin в дер дер О О Интегрируя второй член по частям по углу #, а третий член — по (р, получаем 27Г7Г 6f = [f{2(R + O ~ -^^(sin^g) - -±- J J I sin в дв \ дв J siir в dip 0 0 Если разделить выражение в фигурных скобках на Д(Д + 2?), то выражение, которое будет стоять под знаком интеграла в каче- стве множителя при 5? df « 5? R(R + 2() sin в d6 dip, будет согласно формуле F1.2) представлять собой как раз иско- мую сумму обратных радиусов кривизны, вычисленную с точно- стью до членов первого порядка по ?. Таким образом, получим ш181П^))- F2-5) Первый член соответствует чисто сферической поверхности, для которой R\ = i?2 = Л. Потенциал скорости ^ удовлетворяет уравнению Лапласа Аф = 0 с граничным условием при г = R, имеющим вид (анало- гично тому, что мы имели для плоской поверхности) Постоянную 2а/R + ро в этом условии снова можно опустить; дифференцируя по времени и подставляя § 62 КАПИЛЛЯРНЫЕ ВОЛНЫ 343 находим окончательно граничное условие для ф в виде _ _J 2—- + —- sin б— + s > =0 r=R R2\ dr drlsmed9\ дв J sin2 в dip21 J r=R F2.6) Будем искать решение в виде стоячей волны ф = e~iujtf(r, в, ф), где функция / удовлетворяет уравнению Лапласа А/ = 0. Как известно, всякое решение уравнения Лапласа может быть пред- ставлено в виде линейной комбинации так называемых объемных шаровых функций вида rlYlm@, if), где YimF, if) —шаровые функции Лапласа, равные YlmF, if) = Р™ (COS 0 Здесь 1 V 7 d(cos6)™ — присоединенная функция Лежандра (Pi (cos в) — полином Лежандра 1-го порядка). Как известно, / пробегает все целые по- ложительные значения, включая нуль, а т пробегает при задан- ном / значения т = 0, ±1, ±2, ... , =Ь/. Соответственно этому ищем частное решение поставленной задачи в виде ф = Ae-^PFicosey™*. F2.7) Частота ио определяется так, чтобы удовлетворить предельному условию F2.6). Подставляя в это уравнение выражение F2.7) и воспользовавшись тем, что шаровые функции Y\m удовлетворя- ют уравнению дв \ дв / sin2 0 dip2 находим (сокращая общий множитель ф): откуда 2 2) F2.8) и>1(! (Rayleigh, 1879). Эта формула определяет частоты собственных капиллярных колебаний сферической капли. Мы видим, что они зависят толь- ко от числа /, но не от т. Между тем данному / соответствует 344 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ ГЛ. VII 2/ + 1 различных функций F2.7). Таким образом, каждая из ча- стот F2.8) соответствует 2/ + 1 различным собственным коле- баниям. О независимых собственных колебаниях, имеющих оди- наковые частоты, говорят как о вырожденных; в данном случае имеет место 2/ + 1-кратное вырождение.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Капиллярные волны» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
