Под влиянием молекулярного движения в жидкости взвешен- ные в ней частицы совершают беспорядочное броуновское дви- жение. Пусть в начальный момент времени в некоторой точ- ке (начале координат) находится одна такая частица. Ее даль- нейшее движение можно рассматривать как диффузию, причем роль концентрации играет вероятность нахождения частицы в том или ином элементе объема жидкости. Соответственно для определения этой вероятности можно воспользоваться решением E9.17) уравнения диффузии. Возможность такого рассмотрения связана с тем, что при диффузии в слабых растворах (т. е. при с ^С 1, когда только и применимо уравнение диффузии в форме E9.16)) частицы растворенного вещества практически не взаи- модействуют друг с другом, и потому можно рассматривать дви- жение каждой частицы независимо от других. Пусть w(r, t) dr есть вероятность нахождения частицы в мо- мент времени t на расстоянии между г и r-\-dr от исходной точки. Полагая в E9.17) М/р = 1 и умножая на элемент объема 4тгг2 dr шарового слоя, получим w(r, t)dr= } Pvpf-jf-V2^ F0.1) 2vttDH^ V ADtJ Определим средний квадрат расстояния, на которое частица удалится от исходной точки в течение времени t: оо ^2= Г r2w(r, t)dr. F0.2) о Вычисление с помощью F0.1) дает г2 = GDt. F0.3) Таким образом, среднее расстояние, проходимое частицей в те- чение некоторого интервала времени, пропорционально квадрат- ному корню из этого времени. Коэффициент диффузии взвешенных в жидкости частиц мо- жет быть вычислен по их так называемой подвижности. Предположим, что на эти частицы действует некоторая по- стоянная внешняя сила f (например, сила тяжести). В стацио- нарном состоянии сила, действующая на каждую частицу, долж- на уравновешиваться силой сопротивления, испытываемой дви- жущейся частицей со стороны жидкости. При не слишком боль- ших скоростях сила сопротивления пропорциональна первой сте- пени скорости. Написав ее в виде v/5, где Ь — постоянная, и при- равнивая внешней силе f, получим v = Ы, F0.4) 330 диффузия гл. vi т. е. скорость, приобретаемая частицей под влиянием внешней силы, пропорциональна этой силе. Постоянная b называется под- вижностью и может быть, в принципе, вычислена с помощью гидродинамических уравнений. Так, для частиц, имеющих фор- му шариков (радиуса i?), сила сопротивления равна 6ttt]Rv (cm. B0.14)), а потому подвижность Ь=-±-. F0.5) 67TT]R Для частиц не шарообразной формы сила сопротивления за- висит от направления движения; она может быть написана в ви- де dikVk, где dik — симметрический тензор (см. B0.15)). При вы- числении подвижности надо произвести усреднение по всем ори- ентациям частицы; если ai, a2, аз — главные значения симметри- ческого тензора а^, то мы получим Ь=-(- + - + -). F0.6) 3 Vai CL2 CL3 ' Подвижность b связана с коэффициентом диффузии D про- стым соотношением. Для его вывода напишем диффузионный поток i, который содержит наряду с обычным членом —pDVc, связанным с градиентом концентрации (температуру предпола- гаем постоянной), также и член, связанный со скоростью, при- обретаемой частицей под влиянием внешних сил. Этот последний член равен pcv = рсЫ. Таким образом х) , i = -pDVc + pcbi. F0.7) Перепишем это выражение в виде где \i — химический потенциал взвешенных частиц (играющих роль растворенного вещества). Зависимость этого потенциала от концентрации (в слабом растворе) дается выражением ц = ТЫс + ф{р, Т) (см. V, § 87), так что В состоянии термодинамического равновесия диффузия отсут- ствует и поток i должен обращаться в нуль. С другой стороны, при наличии внешнего поля условие равновесия требует постоян- ства вдоль раствора суммы /i+f7, где U — потенциальная энергия взвешенной частицы в этом поле. Тогда V/i = —V?7= -f и из равенства i = 0 получим D = Tb. F0.8) ) Здесь с может быть определено как число взвешенных частиц в единице массы жидкости, а i — как плотность потока числа этих частиц. § 60 ДИФФУЗИЯ ВЗВЕШЕННЫХ В ЖИДКОСТИ ЧАСТИЦ 331 Это и есть искомое соотношение между коэффициентом диффу- зии и подвижностью (соотношение Эйнштейна). Подставляя F0.5) в F0.8), найдем следующее выражение для коэффициента диффузии шарообразных частиц: D = -*-. F0.9) 6тгг]К Наряду с поступательным броуновским движением и посту- пательной диффузией взвешенных частиц можно рассмотреть их вращательное броуновское движение и диффузию. Аналогич- но тому как коэффициент поступательной диффузии вычисляет- ся через силу сопротивления, так и коэффициент вращательной диффузии может быть выражен через момент сил, действующих на вращающуюся в жидкости частицу.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Диффузия взвешенных в жидкости частиц» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
