Мы видели в § 3, что если в находящейся в поле тяжести жидкости имеет место механическое равновесие, то распределе- ние температуры в ней должно зависеть только от высоты z: T = = T(z). Если же распределение температуры не удовлетворяет этому требованию, являясь в общем случае функцией всех трех координат, то механическое равновесие в жидкости невозможно. Больше того, даже если Т = Т(^), то механическое равновесие § 56 СВОБОДНАЯ КОНВЕКЦИЯ 305 все же может оказаться невозможным, если вертикальный гра- диент температуры направлен вниз и по абсолютной величине превышает определенное предельное значение (§4). Отсутствие механического равновесия приводит к возникно- вению в жидкости внутренних течений, стремящихся переме- шать жидкость так, чтобы в ней установилась постоянная темпе- ратура. Такое возникающее в поле тяжести движение называют свободной конвекцией. Выведем уравнения, описывающие конвекцию. Мы будем рассматривать жидкость как несжимаемую. Это значит, что дав- ление предполагается достаточно мало меняющимся вдоль жид- кости, так что изменением плотности под влиянием изменения давления можно пренебречь. Например, в атмосфере, где дав- ление меняется с высотой, это значит, что мы не будем рас- сматривать слишком высоких ее столбов, в которых изменение плотности с высотой становится существенным. Что же касается изменения плотности благодаря неравномерной нагретости жид- кости, то этим изменением, конечно, нельзя пренебречь. Именно оно приводит к появлению сил, вызывающих конвекционное дви- жение. Напишем переменную температуру в виде Т = Tq +T7, где Tq есть некоторое постоянное среднее значение, от которого отсчи- тывается неравномерность температуры Т'. Будем предполагать, что Т' мало по сравнению с Tq. Плотность жидкости тоже напишем в виде р = ро + р1 с по- стоянным ро. Ввиду малости изменения температуры Т1 мало также и вызываемое им изменение плотности р , причем можно написать р' = №) Т' = -ро/ЗТ', E6.1) где /3 = —р~1(др/дТ) — температурный коэффициент расшире- ния жидкости х) . В давлении же р = ро + р1 величина ро не будет постоян- ной. Это — давление, соответствующее механическому равнове- сию при постоянных (равных Tq и ро) температуре и плотности. Оно меняется с высотой согласно гидростатическому уравнению Ро = Pogr + const = —pogz + const, E6.2) где координата z отсчитывается вертикально вверх. В столбе жидкости высотой h гидростатический перепад дав- ления составляет pogh. Этот перепад приводит к изменению плотности на ^pgh/c: , где с — скорость звука (см. ниже F4.4)). Согласно условию, это изменение должно быть пренебрежимо мало, причем не только по сравнению с самой плотностью, но и Будем полагать, что /3 > 0. 306 ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ЖИДКОСТИ ГЛ. V по сравнению с ее тепловым изменением E6.1). Другими слова- ми, должно удовлетворяться неравенство gh/c2 < /36, E6.3) где Э — характерная разность температур. Начнем с преобразования уравнения Навье-Стокса, которое при наличии поля тяжести имеет вид ^ + (vV)v ot р получающийся добавлением к правой части A5.7) действующей на единицу массы силы g. Подставим сюдар = ро+р1, р = po~\-pf. С точностью до малых первого порядка имеем , Vp ~Г о г > Р РО РО Ро или, подставляя E6.1) и E6.2): Р Ро Подставляя это выражение в уравнение Навье-Стокса и опуская индекс у ро, получаем окончательно: — + (vV)v = -V^ + z/Av - /3gTf. E6.4) В уравнении теплопроводности E0.2) член, содержащий вяз- кость, при свободной конвекции, как можно показать, мал по сравнению с другими членами уравнения и потому может быть опущен. Таким образом, получаем ^ + vVT7 = xAT7. E6.5) Уравнения E6.4) и E6.5) вместе с уравнением непрерывности divv = 0 представляют собой полную систему уравнений, опи- сывающих свободную конвекцию (А. ОЪегЪеск, 1879; J. Boussi- nesq, 1903). Для стационарного движения уравнения конвекции принима- ют вид (vV)v = -V^ - g/3T' + i/Av, E6.6) Р vVT7 = хДТ7, E6.7) divv = 0. E6.8) В эту систему пяти уравнений, определяющих неизвестные функции v, р'/р, Т7, входят три параметра: и, х и ёР- Кроме § 56 СВОБОДНАЯ КОНВЕКЦИЯ 307 того, в их решение входят характерная длина h и характерная разность температур в. Характерная скорость теперь отсутству- ет, поскольку никакого вынужденного посторонними причинами движения нет, и все течение жидкости обусловливается ее нерав- номерной нагретостью. Из этих величин можно составить две независимые безразмерные комбинации (напомним, что темпера- туре надо при этом приписывать особую размерность — см. § 53). В качестве этих комбинаций обычно выбирают число Прандтля Р = vlx и число Рэлея х) : Я=«?Ё*1. E6.9) »х Число Прандтля зависит только от свойств самого вещества жидкости; основной же характеристикой конвекции как таковой является число Рэлея. Закон подобия для свободной конвекции гласит ). E6.10) Два течения подобны, если их числа TZ и Р одинаковы. Тепло- передачу при конвекции в поле тяжести характеризуют числом Нуссельта, по-прежнему определенным согласно E3.7). Оно яв- ляется теперь функцией только от 1Z и Р. Конвективное движение может быть как ламинарным, так и турбулентным. Наступление турбулентности определяется чис- лом Рэлея — конвекция становится турбулентной при очень боль- ших значениях 1Z.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Свободная конвекция» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Будем полагать, что /3 > 0. 