Устойчивость движения в ламинарном пограничном слое
Ламинарное движение в пограничном слое, как и всякое дру- гое ламинарное течение, при достаточно больших числах Рей- ноль дса становится в той или иной степени неустойчивым. Ха- рактер потери устойчивости в пограничном слое аналогичен по- тере устойчивости при течении по трубе (§ 28). Число Рейнольдса для течения в пограничном слое меняется вдоль поверхности обтекаемого тела. Так, при обтекании пла- стинки можно определить число Рейнольдса как Rx = JJxjv^ где х — расстояние от переднего края пластинки, U — скорость жидкости вне пограничного слоя. Более характерным для по- граничного слоя, однако, является такое определение, в котором роль размеров играет какая-либо длина, непосредственно харак- теризующая толщину слоя; в качестве таковой можно выбрать толщину вытеснения, определенную согласно C9.26): D1.1) (числовой коэффициент относится к пограничному слою на плос- кой поверхности). Ввиду сравнительной медленности изменения толщины слоя с расстоянием, и малости поперечной скорости жидкости в нем, при исследовании устойчивости течения в небольшом участке пограничного слоя можно рассматривать плоско-параллельное течение с неизменным вдоль оси х профилем х) . Тогда с мате- х) При таком рассмотрении остается, конечно, в стороне вопрос о влиянии, которое может иметь на устойчивость пограничного слоя кривизна обте- каемой поверхности. Имеется также и определенная непоследовательность, связанная с делаемыми пренебрежениями. Дело в том, что единственными плоско-параллельными течениями (с профилем скорости, зависящим только от одной координаты), удовлетворяющими уравнению Навье-Стокса, явля- ются течения с линейным A7.1) и параболическим A7.4) профилями (в то время как уравнение Эйлера удовлетворяется плоско-параллельным течени- ем с произвольным профилем). Поэтому рассматриваемое в теории устой- чивости пограничного слоя основное течение не является, строго говоря, решением уравнений движения. § 41 УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ 239 матической точки зрения задача будет аналогична задаче об устойчивости течения между двумя параллельными плоскостя- ми (о которой шла речь в § 29). Разница состоит лишь в форме профиля скоростей: вместо симметричного профиля с v = 0 на обеих границах здесь имеется несимметричный профиль, в кото- ром скорость меняется от нуля на поверхности тела до заданно- го значения [/ — скорости потока вне пограничного слоя. Такое исследование приводит к следующим результатам (W. Tollmien, 1929; Н. Schlichting, 1933; С.С. Lin, 1945). Форма нейтральной кривой на диаграмме о;, R (см. § 28) зави- сит от формы профиля скоростей в пограничном слое. Если про- филь скоростей не имеет точки перегиба (скорость vx монотонно возрастает, причем кривая vx = vx(y) везде выпуклая; рис. 28 а), то граница устойчивости имеет форму, вполне аналогичную той, которая характеризует устойчивость течения в трубе: имеется некоторое минимальное значение R = RKp, при котором появ- ляются усиливающиеся возмущения, а при R —>> оо обе ветви кривой асимптотически приближаются к оси абсцисс (рис. 29 а). Для профиля скоростей, имеющего место в пограничном слое на плоской пластинке, вычисление дает для критического значения числа Рейнольдса значение RtfKp ~ 420. Профиль скоростей типа рис. 28 а не может иметь места, если скорость жидкости вне пограничного слоя уменьшается вниз по течению; в этом случае профиль скоростей непременно должен иметь точку перегиба. Действительно, рассмотрим небольшой участок поверхности стенки, который можно считать плоским, и пусть х есть опять продольная координата вдоль направления течения, а у — расстояние от стенки. Из соотношения D0.10) ь,д2ух =1ф= _ц^? ду2 у=0 р dx дх видно, что если U падает вниз по течению (dU/дх < 0), то вблизи поверхности ду2 т. е. кривая vx = vx(y) — вогнутая. При увеличении же у скорость vx должна асимптотически приближаться к конечному пределу U. Уже из геометрических соображений ясно, что для этого кри- вая должна стать выпуклой, а потому имеет где-то точку пере- гиба (рис. 28 б). При наличии точки перегиба в профиле скоростей форма кривой границы устойчивости несколько меняется. Именно, обе 1) При R^ —>- оо на ветвях I и II нейтральной кривой ио обращается в нуль соответственно как R^~1/2 и R^~1/5. Точке R = RKp отвечает частота cjKp = = 0,15 • U/6* и волновое число &кр = 0,36/?*. 240 ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ГЛ. IV ветви кривой имеют при R —>> оо различные асимптоты: одна ветвь по-прежнему асимптотически приближается к оси абсцисс, а на другой ио стремится к конечному, отличному от нуля пре- делу (рис. 29 б). Кроме того, наличие точки перегиба сильно понижает значение RKp. То обстоятельство, что число Рейнольдса возрастает вдоль пограничного слоя, придает своеобразный характер поведению возмущений при их сносе вниз по течению. Рассмотрим обтека- ние плоской пластинки и пред- и U б Рис. 28 б Рис. 29 положим, что в некотором месте пограничного слоя производит- ся возмущение с заданной частотой ио. Его распространению вниз по течению соответствует на диаграмме рис. 29 а перемещение вправо по горизонтальной прямой ио = const. При этом возму- щение сначала затухает, затем по достижении ветви / границы устойчивости начнет усиливаться. Усиление продолжается до мо- мента достижения ветви //, после чего возмущение вновь будет затухать. Полный коэффициент усиления возмущения за вре- мя его прохождения через область неустойчивости очень быстро возрастает по мере того, как эта область сдвигается в сторону больших R (т. е. чем ниже на рис. 29 а расположен соответствую- щий горизонтальный отрезок между ветвями I vl II границы устойчивости). Вопрос о характере неустойчивости пограничного слоя по от- ношению к бесконечно малым возмущениям (абсолютном или конвективном) еще не имеет полного решения. Для профиля ско- ростей без точки перегиба неустойчивость является конвектив- ной в той области значений R, где обе ветви нейтральной кри- вой (рис. 29 а) близки к оси абсцисс (сюда относится то же са- мое доказательство, что и для плоского пуазейлевого течения — § 41 УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ 241 см. примеч. на с. 150). Для меньших значений R, а также для про- филей скорости с точкой перегиба вопрос остается открытым. Благодаря изменению числа Рейнольдса вдоль пограничного слоя, турбулизируется не сразу весь слой, а лишь та его часть, для которой R# превышает определенное значение. При задан- ной скорости обтекания это значит, что турбулизация возникает на определенном расстоянии от переднего края; при увеличении скорости это место приближается к переднему краю. Экспери- ментальные данные показывают, что место возникновения тур- булентности в пограничном слое существенно зависит также от интенсивности возмущений в натекающем потоке. По мере умень- шения степени возмущенности наступление турбулентности ото- двигается к более высоким значениям R#. Различие между нейтральными кривыми на рисунках 29 а и 29 б имеет принципиальный характер. Тот факт, что на верх- ней ветви частота стремится при R# —>> оо к отличному от ну- ля пределу, означает, что движение остается неустойчивым при сколь угодно малой вязкости, между тем как в случае кривой типа рис. 23 а при v —>> 0 возмущения с любой конечной часто- той затухают. Это различие обусловлено именно наличием или отсутствием точки перегиба в профиле скоростей vx = v(y). Его происхождение можно проследить с математической точки зре- ния, рассмотрев задачу об устойчивости в рамках гидродинами- ки идеальной жидкости (Rayleigh, 1880). Подставим в уравнение плоского движения идеальной жид- кости A0.10) функцию тока в виде ф = ^о(у) + Ф\{х, У, *), где фо — функция тока невозмущенного течения (так что ф$ = = v(y))j г,ф\ —малое возмущение. Последнее ищем в виде Подстановка в A0.10) приводит к следующему линеаризованно- му уравнению для функции ф\ х) : V--) {ip" - k2ip) - v"ip = 0. D1.2) Если границей движения (по оси у) является твердая стенка, то на ней if = 0 (как следствие условия vy = 0); если же шири- на потока не ограничена (с одной или с обеих сторон), то такое же условие должно быть поставлено на бесконечности, где поток однороден. Будем рассматривать к как заданную вещественную величину; частота же ио определяется тогда по собственным зна- чениям граничной задачи для уравнения D1.2). ) Любая функция фо(у) удовлетворяет уравнению A0.10) тождественно, ср. сказанное в примеч. на с. 238. 242 пограничный слой гл. iv Разделим уравнение D1.2) на (г; — оо/к), умножим на ср* и проинтегрируем по у между двумя границами движения у\ и у2- Проинтегрировав произведение (f*(f по частям, получим 2/2 2/2 / (И2 + fc2M2) dy+f Щ- dy = 0. D1.3) J J v — и/к 2/1 2/1 Первый член здесь во всяком случае веществен. Предполагая ча- стоту комплексной и отделив мнимую часть равенства, получим 2/2 2 Imo;- / , ">>|у' ,2 dy = 0. D1.4) J \v-u/k\2 2/1 Для того чтобы могло быть Imo; 7^ 0, должен обращаться в нуль интеграл, а для этого во всяком случае необходимо, чтобы где- либо в области интегрирования v" проходило через нуль. Таким образом, неустойчивость может возникнуть (при v = 0) лишь для профилей скорости с точкой перегиба х) . С физической точки зрения, происхождение этой неустойчи- вости связано с «резонансным» взаимодействием между колеба- ниями среды и движением ее частиц в основном течении, и в этом смысле оно аналогично происхождению известного из кинети- ческой теории затухания (или усиления в неустойчивом случае) Ландау колебаний в бесстолкновительной плазме (см. X, § 30) 2) . Согласно уравнению D1.2) собственные колебания течения (если они существуют) связаны с той его частью, где v/f(y) ф Ф 0 3) . Проследить за механизмом усиления колебаний удобно на примере профиля скорости, в котором «источник» колебаний локализован в одном слое течения: рассмотрим профиль v(y), кривизна которого мала везде, за исключением лишь окрестно- сти некоторой точки у = уо5 заменив ее просто изломом профиля, будем иметь в v"(y) член вида А6(у — у о); именно он будет давать основной вклад в интеграл в уравнении D1.3). Будем описывать ) Следует отметить, что постановка задачи об устойчивости с точным ра- венством v = 0 физически не вполне корректна. Она не учитывает того факта, что реальная жидкость непременно обладает хотя бы и малой, но отличной от нуля вязкостью. Это приводит к ряду математических затруд- нений: исчезновению некоторых решений (в виду понижения порядка диф- ференциального уравнения для функции ф) и появлению новых решений, отсутствующих при v ф 0. Последнее обстоятельство связано с сингулярно- стью уравнения D1.2) (отсутствующей при v ф 0): в точке, где v(y) = и/к, обращается в нуль коэффициент при старшей производной в уравнении. 2) Эта аналогия указана А.В. Тимофеевым A979) и А.А. Андроновым и А.Л. Фабрикантом A979); ниже мы следуем изложению А.В. Тимофеева. ) При v" (у) = 0 уравнение D1.2) вообще не имеет решений, удовлетво- ряющих необходимым граничным условиям. § 42 ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ПРОФИЛЬ СКОРОСТЕЙ 243 течение в системе координат, в которой «источник» покоится, т. е. v(yo) = 0 (как это изображено на рис. 30). Отделив в урав- нении D1.3) вещественную часть, получим /(И2 (И 2/1 Пусть А > 0 (как на рис. 30); поскольку первый член в этом ра- венстве заведомо положителен, то тогда должно быть Re со/к > 0 — фазовая скорость волны направ- лена направо. При этом резонансная точка уг, в которой фазовая скорость волны совпадает с местной скоростью течения, v(yr) = Reo;/A;, ле- жит справа от точки у$. Жидкие частицы, дви- жущиеся в окрестности резонансной точки и об- гоняющие волну, отдают ей энергию; частицы Ут У же, отстающие от волны, отбирают от нее энер- гию; волна будет усиливаться (неустойчивость), если первых частиц больше чем вторых г) . Но ^ис- ^0 ввиду предполагаемой несжимаемости жидкости число частиц, приходящихся на элемент dy ширины потока, пропорциональ- но dy, тем самым число частиц со скоростями в интервале dv пропорционально dy = (dy/dv)dv = dv/vf(y), т. е. роль функ- ции распределения по скоростям играет l/vf(y). Следовательно, для возникновения неустойчивости необходимо, чтобы при пе- ресечении точки уг слева направо функция l/vf(y) возрастала, т. е. v'{y) убывала. Другими словами, должно быть v"(yr) < 0, а поскольку в точке уо производная v" положительна, то где-либо между точками уо и У г должна быть точка перегиба профиля. Аналогичным образом рассматривается (и приводит к тому же результату) случай, когда А < 0; при этом фазовая скорость вол- ны и скорость резонансных жидких частиц направлены налево.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Устойчивость движения в ламинарном пограничном слое» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
RtfKp ~ 420. 