Турбулентное движение жидкости при достаточно больших значениях числа Рейнольдса характерно чрезвычайно нерегуляр- ным, беспорядочным изменением скорости со временем в каждой точке потока (развитая турбулентность)] скорость все время § 33 РАЗВИТАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ 185 пульсирует около некоторого своего среднего значения. Такое же нерегулярное изменение скорости имеет место от точки к точке потока, рассматриваемого в заданный момент времени. В насто- ящее время полной количественной теории развитой турбулент- ности еще не существует. Известен, однако, ряд важных каче- ственных результатов, изложению которых и посвящен настоя- щий параграф. Введем понятие о средней скорости движения, получающей- ся в результате усреднения по большим промежуткам време- ни истинной скорости в каждой точке пространства. При таком усреднении нерегулярность изменения скорости сглаживается и средняя скорость оказывается плавно меняющейся вдоль потока функцией. Мы будем в дальнейшем обозначать среднюю ско- рость буквой и. Разность v7 = v — u между истинной и сред- ней скоростями, обнаруживающую характерное для турбулент- ности нерегулярное изменение, мы будем называть пулъсацион- ной частью скорости. Рассмотрим подробнее характер накладывающегося на усред- ненный поток нерегулярного, пульсационного, движения. Это движение можно в свою очередь качественно рассматривать как результат наложения движений (турбулентных пульсаций) раз- личных, как мы будем говорить, масштабов (под масштабом дви- жения подразумевается порядок величины тех расстояний, на протяжении которых существенно меняется скорость движения). По мере возрастания числа Рейнольдса появляются сначала крупномасштабные пульсации; чем меньше масштаб движения тем позже такие пульсации появляются. При очень больших чис- лах Рейнольдса в турбулентном потоке присутствуют пульсации с масштабами от самых больших до очень малых. Основную же роль в турбулентном потоке играют крупномасштабные пульса- ции, масштаб которых — порядка величины характеристических длин, определяющих размеры области, в которой происходит турбулентное движение; в дальнейшем будем обозначать поря- док величины этого основного (или внешнего) масштаба турбу- лентного движения посредством /. Эти крупномасштабные дви- жения обладают наибольшими амплитудами. Их скорость по по- рядку величины сравнима с изменениями Аи средней скорости на протяжении расстояний / (мы говорим здесь о порядке ве- личины не самой скорости, а ее изменения, поскольку именно оно характеризует скорость турбулентного движения; абсолют- ная же величина средней скорости может быть произвольной в зависимости от того, в какой системе отсчета рассматривается движение) . Что же касается частот этих крупномасштабных Х)В действительности, по-видимому, масштабы основных пульсаций в несколько раз меньше, чем характерные размеры /, а их скорость — в несколько раз меньше, чем Агб. 186 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ГЛ. Ill пульсаций, то они —порядка отношения и/1 средней скорости и (а не ее изменения Аи) к размерам /. Действительно, частота определяет период повторяемости картины движения, наблюдае- мой из некоторой неподвижной системы отсчета. Но относитель- но такой системы вся эта картина движется вместе со всей жид- костью со скоростью порядка и. Мелкомасштабные же пульсации, соответствующие большим частотам, участвуют в турбулентном потоке со значительно мень- шими амплитудами. Их можно рассматривать как мелкую де- тальную структуру, накладывающуюся на основные крупномас- штабные турбулентные движения. В мелкомасштабных пульса- циях заключена лишь сравнительно малая часть всей кинетиче- ской энергии жидкости. Из описанной картины турбулентного движения можно сде- лать заключение о характере изменения пульсационной скоро- сти вдоль потока (рассматриваемого в заданный момент време- ни). На протяжении больших расстояний (сравнимых с I) измене- ние пульсационной скорости определяется изменением скорости крупномасштабных пульсаций и потому сравнимо по величине с Аи. На малых же (по сравнению с I) расстояниях оно определяет- ся мелкомасштабными пульсациями и потому мало по сравнению с Аи (но велико по сравнению с изменением средней скорости на том же малом расстоянии). Такая же картина имеет место, ес- ли наблюдать изменение скорости со временем в заданной точ- ке пространства. На протяжении малых (по сравнению с харак- теристическим временем Т ~ I/и) интервалов времени скорость испытывает незначительные изменения; в течение же больших промежутков времени скорость меняется на величины ~Аи. В число Рейнольдса R, определяющее свойства течения жид- кости в целом, в качестве характеристических размеров входит длина /. Наряду с таким числом, можно ввести качественное по- нятие о числах Рейнольдса турбулентных пульсаций различных масштабов. Если А — масштаб пульсаций, a v\ — порядок вели- чины их скорости, то Ra ~ v\\jv. Это число тем меньше, чем меньше масштаб движения. При больших R велики также и числа Рейнольдса Ra круп- номасштабных пульсаций. Но большие числа Рейнольдса экви- валентны малым вязкостям. Отсюда можно заключить, что для крупномасштабного движения, являющегося как раз основным во всяком турбулентном потоке, вязкость жидкости не играет роли. Поэтому в крупномасштабных пульсациях не происходит и заметной диссипации энергии. Вязкость жидкости становится существенной только для са- мых мелкомасштабных пульсации, для которых R^ ~ 1 (масштаб Ао этих пульсаций будет определен ниже в этом параграфе). Именно в этих мелкомасштабных пульсациях, не существенных § 33 РАЗВИТАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ 187 с точки зрения общей картины движения жидкости в турбулент- ном потоке, и происходит диссипация энергии. Мы приходим, таким образом, к следующему представлению о диссипации энергии при турбулентном движении (L. Richard- son, 1922). От пульсаций с большими масштабами энергия пере- ходит в пульсации с меньшими масштабами, практически не дис- сипируясь при этом. Можно сказать, что имеется как бы непре- рывный поток энергии от крупно- к мелкомасштабным пульсаци- ям, т. е. от малых частот к большим. Этот поток диссипируется, т. е. кинетическая энергия переходит в тепло, в самых мелкомас- штабных пульсациях. Разумеется, для поддержания «стационар- ного» состояния потока необходимо наличие внешних источни- ков энергии, непрерывно передающих ее основному крупномас- штабному движению. Поскольку вязкость жидкости существенна только для самых мелкомасштабных пульсаций, то можно утверждать, что все ве- личины, относящиеся к турбулентному движению в масштабах А^>Ао, не могут зависеть от v (более точно, эти величины не дол- жны меняться при изменении v и неизменных остальных услови- ях, в которых происходит движение). Это обстоятельство сужает круг величин, определяющих свойства турбулентного движения, в результате чего для исследования турбулентности приобретают большое значение соображения подобия, связанные с размерно- стью имеющихся в нашем распоряжении величин. Применим такие соображения к определению порядка вели- чины диссипации энергии при турбулентном движении. Пусть е есть среднее количество энергии, диссипируемой в единицу вре- мени в единице массы жидкости . Мы видели, что эта энергия черпается из крупномасштабного движения, откуда постепенно передается во все меньшие масштабы, пока не диссипируется в пульсациях масштаба ~Ао- Поэтому, несмотря на то, что дисси- пация обязана в конце концов вязкости жидкости, порядок вели- чины е может быть определен с помощью одних только величин, характерных для крупномасштабных движений. Таковыми явля- ются плотность жидкости р, размеры / и скорость Аи. Из этих трех величин можно составить всего одну комбинацию, обладаю- щую той же размерностью, что и ?, т. е. эрг/(г-с) = см2/с3. Таким способом получаем e~&f, C3.1) чем и определяется порядок величины диссипации энергии в тур- булентном потоке. Турбулентно движущуюся жидкость можно в некоторых от- ношениях качественно описывать как жидкость, обладающую 1)В этой главе буква е будет обозначать среднюю диссипацию энергии, а не внутреннюю энергию жидкости! 188 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ГЛ. Ill некоторой, как говорят, турбулентной вязкостью щурв1 отлич- ной от истинной кинематической вязкости v. Характеризуя свой- ства турбулентного движения, ^турб должно по порядку величи- ны определяться величинами /э, Аи, I. Единственной составлен- ной из них величиной с размерностью кинематической вязкости является Аи • /, поэтому Мгурб ~ Аи • I. C3.2) Отношение турбулентной вязкости к обычной Щуф/v ~ R, C3.3) т. е. растет с числом Рейнольдса х) . Диссипация энергии выражается через щурв формулой ?~щур6(Аи/1J, C3.4) в соответствии с обычным определением вязкости. В то время как v определяет диссипацию энергии по производным от истин- ной скорости по координатам, турбулентная вязкость связывает диссипацию с градиентом (~Аи/1) средней скорости движения. Наконец, укажем, что порядок величины Ар изменения дав- ления на протяжении области турбулентного движения тоже мо- жет быть определен из соображений подобия: Ар~р(АиJ. C3.5) Стоящее справа выражение — единственная величина размерно- сти давления, которую можно составить из р , I и Аи. Перейдем теперь к изучению свойств развитой турбулентно- сти в масштабах А, малых по сравнению с основным масштабом I. Об этих свойствах говорят как о локальных свойствах турбу- лентности. При этом мы будем рассматривать жидкость вдали от твердых стенок, — точнее, на расстояниях от них, больших по сравнению с А. О такой мелкомасштабной турбулентности вдали от твердых тел можно высказать естественное предположение, что она обла- дает свойствами однородности и изотропии. Последнее означает, что в участках, размеры которых малы по сравнению с /, свой- ства турбулентного движения одинаковы по всем направлениям; в частности, они не зависят от направления скорости усреднен- ного движения. Подчеркнем, что здесь и везде ниже в этом па- раграфе, где говорится о свойствах турбулентного движения в ) В действительности в этом отношении должен стоять еще довольно зна- чительный численный коэффициент. Это связано с указанным выше обсто- ятельством, что / и Аи могут довольно заметно отличаться от истинных масштабов и скоростей турбулентного движения. Более точно можно напи- сать: где учитывается, что Мрурб и v должны в действительности сравниваться не при R ~ 1, а при R ~ RKp. § 33 РАЗВИТАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ 189 малом участке жидкости, подразумевается относительное дви- жение жидких частиц в этом участке, а не абсолютное движе- ние, в котором принимает участие весь участок в целом и которое связано с движением более крупных масштабов. Оказывается возможным получить ряд существенных резуль- татов о локальных свойствах турбулентности непосредственно из соображений подобия (А.Н. Колмогоров, 1941; A.M. Обухов, 1941). Для этого выясним предварительно, какими параметрами мо- гут вообще определяться свойства турбулентного движения в участках, малых по сравнению с /, но больших по сравнению с расстояниями Ао, на которых начинает играть роль вязкость жидкости; ниже будет идти речь именно о таких расстояниях. Этими параметрами является плотность р жидкости и, кроме то- го, еще одна характерная для турбулентного потока величина — энергия ?, диссипируемая в единицу времени в единице массы жидкости. Мы видели, что е представляет собой поток энергии, непрерывно передаваемой от пульсаций с большими к пульсаци- ям с меньшими масштабами. Поэтому, хотя диссипация энергии и обусловливается в конечном итоге вязкостью жидкости и про- исходит в самых мелкомасштабных пульсациях, тем не менее ве- личина е определяет свойства движения и в больших масштабах. Что касается масштабов / и Аи размеров и скорости движения в целом, то естественно считать, что (при заданных рже) ло- кальные свойства турбулентности от этих величии не зависят. Вязкость жидкости v тоже не может входить ни в какие инте- ресующие нас теперь величины (напоминаем, что речь идет о расстояниях А ^> Ао). Определим порядок величины v\ изменения скорости турбу- лентного движения на протяжении расстояний порядка А. Оно должно определяться только величиной е и, разумеется, самим расстоянием х) А. Из этих двух величин можно составить все- го одну комбинацию с размерностью скорости: (бАI/3. Поэтому можно утверждать, что должно быть уА~(еАI/3. C3.6) Таким образом, изменение скорости на протяжении малого рас- стояния пропорционально кубическому корню из этого расстоя- ния {закон Колмогорова-Обухова). Величину v\ можно рассма- тривать и как скорость турбулентных движений масштаба А: изменение средней скорости на малых расстояниях мало по срав- нению с изменением пульсационной скорости на этих же расстоя- ниях, и им можно пренебречь. г) Величина е имеет размерность эрг/(г-с) = см2/с3, не содержащую раз- мерности массы; единственной величиной, содержащей размерность массы, является плотность р. Поэтому последняя вообще не участвует в составле- нии величин, размерность которых не содержит размерности массы. 190 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ГЛ. Ill К соотношению C3.6) можно прийти и другим путем, выра- жая постоянную величину — диссипацию е — через величины, ха- рактеризующие пульсации масштаба А. При этом е должно быть пропорционально квадрату градиента скорости v\ и соответст- вующему коэффициенту турбулентной вязкости щурб\ ~ \v\: откуда и получается C3.6). Поставим теперь вопрос несколько иначе. Определим поря- док величины vT изменения скорости в заданной точке простран- ства, испытываемого ею в течение промежутка времени т, мало- го по сравнению с характеристическим временем Т ~ 1/и дви- жения в целом. Для этого замечаем, что благодаря наличию об- щего течения каждый данный участок жидкости в продолжение промежутка времени т перемещается в пространстве на расстоя- ние порядка произведения ти средней скорости и на время т. Поэтому в данной точке пространства по истечении времени т будет находиться участок жидкости, который в начальный мо- мент был удален от этой точки на расстояние ит. Искомую вели- чину vT можно, следовательно, получить, подставляя в C3.6) ти вместо А: vt~(?utI/s. C3.7) От величины vT следует отличать изменение v'T скорости дан- ного перемещающегося в пространстве участка жидкости. Это изменение может, очевидно, зависеть только от величины ?, опре- деляющей локальные свойства турбулентности, и, разумеется, от величины самого интервала времени т. Составляя из е и т комби- нацию размерности скорости, получаем для искомого изменения <~(бтI/2. C3.8) В отличие от изменения скорости в заданной точке пространства оно пропорционально квадратному, а не кубическому корню из т. Легко видеть, что при т <^Т изменение v'T всегда меньше из- менения vT х) . С помощью выражения C3.1) для е можно переписать фор- мулы C3.6), C3.7) в виде И, (У\ C3.9) Аи \lJ ' Аи \tJ V J В такой записи ясно видно свойство подобия локальной тур- булентности: мелкомасштабные характеристики различных тур- 1) Неравенство v'T < wr, по существу, уже подразумевалось при выводе C3.7). § 33 РАЗВИТАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ 191 булентных течений отличаются только масштабами измерения длин и скоростей (или, что то же, длин и времен) . Выясним теперь, на каких расстояниях начинает играть роль вязкость жидкости. Эти расстояния Ао определяют собой в то же время порядок величины масштабов наиболее мелкомасштаб- ных пульсаций в турбулентном потоке (величину Ао называют внутренним масштабом турбулентности в противоположность внешнему масштабу I). Для этого составляем «локальное число Рейнольдса»: \ А v где R ~ Аи -Ijv — число Рейнольдса движения в целом. Порядок величины Ао определяется тем, что должно быть R^0~l. Отсюда находим Ao~//R3/4. C3.10) К этому же выражению можно прийти, составляя комбинацию размерности длины из величин ежи: \0~(и3/еI/А. C3.11) Таким образом, внутренний масштаб турбулентности быстро па- дает при увеличении числа Рейнольдса. Для соответствующей скорости имеем vXo~Au/R1/4. C3.12) Она тоже падает с увеличением R 2) . Область масштабов А ~ / называют областью энергии; в ней сосредоточена основная часть кинетической энергии жидкости. Значения А < Ао составляют область диссипации —в ней про- исходит диссипация кинетической энергии. При очень больших значениях R обе эти области достаточно раздвинуты друг от дру- га, и между ними расположен инерционный интервал, в котором Ао < А</; к нему относятся излагаемые в этом параграфе результаты. Закон Колмогорова-Обухова можно представить в эквива- лентной спектральной (по пространству) форме. Введем вмес- то масштабов А соответствующие «волновые числа» пульсаций А;~1/А, и пусть Е(к) dk есть кинетическая энергия (единицы мас- сы жидкости), заключенная в пульсациях со значениями к в за- данном интервале dk. Функция Е(к) имеет размерность см3/с2; составляя комбинацию этой размерности из е и /с, получим Е(к)~е2/Зк~5/3. C3.13) ) В этой связи в современной литературе широко используется термин автомодельность движения (по английской терминологии self-similarity). ) Формулы C3.10)—C3.12) определяют законы изменения соответствую- щих величин с R. Что же касается количественной стороны дела, то более правильным было бы писать в них отношение R/RKp вместо R. 192 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ГЛ. Ill В эквивалентности этой формулы закону C3.6) легко убедиться, заметив, что квадрат v\ определяет порядок величины суммар- ной энергии, заключенной в пульсациях со всеми масштабами порядка и меньше заданного значения А. К этому же результату мы придем, интегрируя выражение C3.13): / ?2/3 Наряду с пространственными масштабами турбулентных пульсаций, можно рассматривать также и их временные харак- теристики—частоты. Нижний конец частотного спектра турбу- лентного движения лежит при частотах ~и/1. Верхний же его конец определяется частотами щ „ ^L „ ^R3/4^ C3.14) Ао / отвечающими внутреннему масштабу турбулентности. Инерци- онной области отвечают частоты в интервале Неравенство ио ^> — означает, что по отношению к локальным свойствам турбулентности основное движение можно считать стационарным. Распределение энергии по частотному спектру в инерционной области получается из C3.13) заменой к ~ ио/и: Е{ио)~{иеJ/3ио-ъ/\ C3.15) причем Е(ио) duo есть энергия, заключенная в частотном интер- вале duo. Частота ио определяет период повторяемости во времени дви- жения в данном участке пространства, наблюдаемого из непо- движной системы отсчета. Ее надо отличать от частоты (обо- значим ее через о/), определяющей период повторяемости дви- жения в данном перемещающемся в пространстве участке жид- кости. Распределение энергии по спектру этих частот не может зависеть от w, и должно определяться только параметром е и самой частотой ио1. Снова из соображений размерности найдем, что Е(ио')~е/ио'2. C3.16) Эта формула находится в таком же отношении к закону C3.15), как C3.8) к C3.7). Турбулентное перемешивание приводит к постепенному рас- хож: дению жидких частиц, находящихся первоначально вблизи § 34 КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ СКОРОСТЕЙ 193 друг от друга. Рассмотрим две жидкие частицы на малом (в инерциальной области) расстоянии А. Снова руководствуясь со- ображениями размерности, можно заключить, что скорость из- менения этого расстояния со временем — ~(еЛI/3. C3.17) dt Интегрируя это соотношение, найдем, что время т, в течение которого две частицы, находившиеся первоначально на расстоя- нии Ai друг от друга, разойдутся на расстояние А2 ^> Ai, равно по порядку величины т~Л24/3/е1/3. C3.18) Обратим внимание на самоускоряющийся характер процесса: скорость расхождения растет с увеличением А. Это свойство свя- зано с тем, что к расхождению частиц, находящихся на рас- стоянии А, приводят только пульсации масштабов < А; пульсации больших масштабов переносят обе частицы вместе и не приводят к их расхож:дению г) . Наконец, остановимся на свойствах движения в участках с размерами X ^ Xq. В таких участках движение обладает пра- вильным характером и его скорость меняется плавно. Поэтому можно разложить здесь v\ по степеням А и, сохранив только первый член, получим v\ = const-А. Коэффициент определяется требованием, чтобы при А ~ Ао было v\ ~ v\0. Таким образом, находим ^^^A~^AR1/2. C3.19) Ло / Этот результат можно получить также и путем приравнивания двух выражений для диссипации энергии е\ выражения (Аи)^/I C3.1), определяющего е через характеристики крупномасштаб- ных пульсаций, и выражения v(v\/XJ, определяющего ту же ве- личину через градиент скорости тех пульсаций, в которых фак- тически и происходит диссипация.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Развитая турбулентность» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. Что же касается частот этих крупномасштабных 