Для всякой задачи о движении вязкой жидкости в заданных стационарных условиях должно, в принципе, существовать точ- ное стационарное решение уравнений гидродинамики. Эти реше- ния формально существуют при любых числах Рейнольдса. Но не всякое решение уравнений движения, даже если оно является точным, может реально осуществиться в природе. Осуществля- ющиеся в природе движения должны не только удовлетворять гидродинамическим уравнениям, но должны еще быть устойчи- выми: малые возмущения, раз возникнув, должны затухать со временем. Если же, напротив, неизбежно возникающие в потоке жидкости сколь угодно малые возмущения стремятся возрасти со временем, то движение неустойчиво и фактически существо- вать не может . Математическое исследование устойчивости движения по от- ношению к бесконечно малым возмущениям должно происхо- дить по следующей схеме. На исследуемое стационарное реше- ние (распределение скоростей, в котором пусть будет vo®) на- кладывается нестационарное малое возмущение vi(r, t) которое должно быть определено таким образом, чтобы результирую- щее движение v = vq + vi удовлетворяло уравнениям движе- ния. Уравнение для определения vi получается подстановкой в уравнения — + (vV)v = --Vp + i/Av, div v = 0 B6.1) скорости и давления в виде v = vo+vi, p = Po+Pi, B6.2) причем известные функции vq и ро удовлетворяют уравнениям (vqV)vq = — —^ + ^Avq, div vq = 0. B6.3) Р 1) Ранее неустойчивость по отношению к сколь угодно малым возмущени- ям мы называли абсолютной. Теперь в этом аспекте прилагательное «аб- солютная» мы опускаем, сохранив его (в соответствии с более принятой в современной литературе терминологией) в качестве антитезы к понятию о конвективной неустойчивости (§ 28). 138 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ГЛ. Ill Опуская члены высших порядков по малой величине vi, получим — + (v0V)vi + (viV)v0 = -^ + i/Avi, div vi = 0. B6.4) dt p Граничным условием является исчезновение vi на неподвижных твердых поверхностях. Таким образом, vi удовлетворяет системе однородных линей- ных дифференциальных уравнений с коэффициентами, являю- щимися функциями только от координат, но не от времени. Об- щее решение таких уравнений может быть представлено в виде суммы частных решений, в которых vi зависит от времени по- средством множителей типа e~lujt. Сами частоты ио возмущений не произвольны, а определяются в результате решений уравне- ний B6.4) с соответствующими предельным условиями. Эти ча- стоты, вообще говоря, комплексны. Если имеются такие ио, мни- мая часть которых положительна, то e~iujt будет неограниченно возрастать со временем. Другими словами, такие возмущения, раз возникнув, будут возрастать, т. е. движение будет неустой- чиво по отношению к ним. Для устойчивости движения необ- ходимо, чтобы у всех возможных частот ио мнимая часть была отрицательна. Тогда возникающие возмущения будут экспонен- циально затухать со временем. Такое математическое исследование устойчивости, однако, крайне сложно. До настоящего времени не разработан теорети- чески вопрос об устойчивости стационарного обтекания тел ко- нечных размеров. Нет сомнения в том, что при достаточно ма- лых числах Рейнольдса стационарное обтекание устойчиво. Экс- периментальные данные свидетельствуют о том, что при увели- чении R достигается в конце концов определенное его значение (которое называют критическим, RKp), начиная с которого дви- жение становится неустойчивым, так что при достаточно боль- ших числах Рейнольдса (R > RKp) стационарное обтекание твер- дых тел вообще невозможно. Критическое значение числа Рей- нольдса не является, разумеется, универсальным; для каждого типа движения существует свое RKp. Эти значения, по-видимо- му, — порядка нескольких десятков (так, при поперечном обтека- нии цилиндра незатухающее нестационарное движение наблюда- лось уже при R = udjv « 30, где d — диаметр цилиндра). Обратимся к изучению характера того нестационарного движения, которое устанавливается в результате неустойчиво- сти стационарного движения при больших числах Рейнольдса (Л.Д. Ландау, 1944). Начнем с выяснения свойств этого движения при R, лишь немногим превышающих RKp. При R < RKp у комплексных ча- стот ио = ио\ + «7i всех возможных малых возмущений мнимая часть отрицательна G1 < 0). При R = RKp появляется одна ча- стота, мнимая часть которой обращается в нуль. При R > RKp § 26 УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ 139 у этой частоты 'yi > 0, причем для R, близких к критическому, 7i ^ooi . Функция vi, соответствующая этой частоте, имеет вид vi=A(t)f(a;,y, *), B6.5) где f — некоторая комплексная функция координат, а комплекс- ная амплитуда 2) A(t) = const • е^ге-ш. B6.6) Это выражение для A(t) в действительности пригодно лишь в те- чение короткого промежутка времени после момента срыва ста- ционарного режима: множитель exp (p/\t) быстро растет, между тем как описанный выше метод определения vi, приводящий к выражению вида B6.5), B6.6), применим лишь при достаточной малости vi. В действительности, конечно, модуль \А\ амплитуды нестационарного движения не растет неограниченно, а стремит- ся к некоторому конечному пределу. При R, близких к RKp, этот конечный предел все еще мал, и для его определения поступим следующим образом. Определим производную по времени от квадрата амплиту- ды \А\2. Для самых малых времен, когда еще применимо B6.6), имеем at Это выражение является, по существу, лишь первым членом раз- ложения в ряд по степеням А и А*. При увеличении модуля \А\ (но когда он все еще остается малым) надо учесть следующие члены этого разложения. Ближайшие следующие — члены тре- тьего порядка по А. Нас, однако, интересует не точное значение производной, а ее среднее по времени значение, причем усред- нение производится по промежуткам времени, большим по срав- нению с периодом 2тг/ио\ периодического множителя exp (—icjit) (напомним, что, поскольку ио\ ^> 7ъ этот период мал по сравне- нию со временем I/71 заметного изменения модуля \А\). Но чле- ны третьего порядка непременно содержат периодический мно- житель и при усреднении выпадают 3). Среди членов же чет- 1) Спектр всех возможных (для данного типа движений) частот возмуще- ний содержит как изолированные значения (дискретный спектр), так и зна- чения, непрерывно заполняющие целые интервалы (непрерывный спектр). Можно думать, что для обтекания конечных тел частоты с 71 > О могут иметься только в дискретном спектре. Дело в том, что возмущения, отве- чающие частотам непрерывного спектра, вообще говоря, не исчезают на бес- конечности. Между тем на бесконечности основное движение представляет собой заведомо устойчивый плоскопараллельный однородный поток. 2)Как обычно, подразумевается вещественная часть выражения B6.6). 3) Строго говоря, члены третьего порядка дают при усреднении не нуль, а величины четвертого порядка; мы предполагаем их включенными в члены четвертого порядка в разложении. 140 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ГЛ. Ill вертого порядка есть член, пропорциональный А2А*2 = |А|4, при усреднении не выпадающий. Таким образом, с точностью до чле- нов четвертого порядка имеем ^ = 2Ъ\А\2-»\А\4, B6.7) где а — положительная или отрицательная постоянная (постоян- ная Ландау). Нас интересует ситуация, когда при R > RKp впервые стано- вится неустойчивым (на фоне основного движения) уже сколь угодно малое возмущение. Ей отвечает случай а > 0; рассмот- рим его. Над \А\2 и |А|4 в B6.7) мы не пишем знаков усреднения, так как оно производится только по промежуткам времени, малым по сравнению с 1/71- По этой же причине при решении этого уравнения надо поступать так, как если бы черты над производ- ной в левой его части тоже не было. Решение уравнения B6.7) имеет вид Отсюда видно, что \А\2 асимптотически стремится к конечному пределу |A|Lx = 27i/a. B6.8) Величина 71 зависит от R; вблизи RKp функция 7i® может быть разложена по степеням R — RKp. Но 7i(Rrp) — 0 по самому определению критического числа Рейнольдса; поэтому прибли- женно имеем 7i = const • (R - RKp). B6.9) Подставив это в B6.8), находим следующую зависимость уста- навливающейся амплитуды возмущения от «степени надкритич- ности»: |A|max~(R-RKpI/2. B6.10) Остановимся кратко на случае, когда в уравнении B6.7) а < 0. Для определения предельной амплитуды возмущения два члена разложения B6.7) теперь недостаточны, и надо учесть от- рицательный член более высокого порядка; пусть это будет член -/3\А\6 с /3 > 0. Тогда = М ± [^ + ^7il V B6.11) 2/3 U/32 р ' \ V J с 7i из B6.9). Эта зависимость изображена на рис. 13 б (рис. 13 а отвечает случаю а > 0, формула B6.10)). При R > RKp стаци- онарное движение не может существовать вовсе; при R = RKp § 26 УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ 141 возмущение скачком возрастает до конечной амплитуды (кото- рая, конечно, предполагается все же настолько малой, что ис- пользуемое разложение по степеням |А|2 применимо) г) . В ин- тервале R4p < R < RKp основное движение метастабильно— устойчиво по отношению к бесконечно малым, но неустойчиво по отношению к воз- \а\ тах мущениям конечной амплитуды (сплош- ная линия; штрихо- вая кривая ветвь неустойчива). Вернемся к неста- ционарному движе- нию, возникающему при R > RKp в ре- зультате неустойчи- вости по отношению рис> 13 к малым возмущени- ям. При R, близких к RKp, это движение может быть представ- лено в виде наложения стационарного движения vo® и перио- дического движения vi (r, t) с малой, но конечной амплитудой, растущей по мере увеличения R по закону B6.10). Распределение скоростей в этом движении имеет вид y\ — lyljd , yZj\j.LZjj где f — комплексная функция координат, a ft — некоторая на- чальная фаза. При больших разностях R — RKp разделение ско- рости на две части vq и vi уже не имеет смысла. Мы имеем при этом дело просто с некоторым периодическим движением с частотой ио\. Если вместо времени пользоваться в качестве неза- висимой переменной фазой cpi = uj\t + ft, то можно сказать, что функция v(r, if) является периодической функцией от if с пе- риодом 2тг. Эта функция, однако, не есть теперь простая триго- нометрическая. В ее разложение в ряд Фурье B6.13) (суммирование по всем положительным и отрицательным целым числам р) входят члены не только с основной частотой wi, но и с кратными ей. Уравнением B6.7) определяется только абсолютная величи- на временного множителя A(t), но не его фаза ср\. Последняя 1) В механике о таких системах говорят как о системах с жестким самовоз- буждением, в отличие от систем с мягким самовозбуждением, неустойчивым по отношению к бесконечно малым возмущениям. 142 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ГЛ. Ill остается по существу неопределенной и зависит от случайных начальных условий. В зависимости от этих условий, начальная фаза /3i может иметь любое значение. Таким образом, изучае- мое периодическое движение не определяется однозначно теми заданными стационарными внешними условиями, в которых оно происходит. Одна из величин — начальная фаза скорости — оста- ется произвольной. Можно сказать, что это движение обладает одной степенью свободы, между тем как стационарное движение, полностью определяющееся внешними условиями, не обладает степенями свободы вовсе.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Устойчивость стационарного движения жидкости» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. 