Рассмотрим задачу о потенциальном обтекании несжимаемой идеальной жидкостью какого-либо твердого тела. Такая задача, конечно, полностью эквивалентна задаче об определении тече ния жидкости при движении через нее того же тела. Для полу чения второго случая из первого достаточно перейти к системе координат, в которой жидкость на бесконечности покоится. Мы будем говорить ниже именно о движении твердого тела через жидкость. Определим характер распределения скоростей в жидкости на больших расстояниях от движущегося тела. Потенциальное движение несжимаемой жидкости определяется уравнением Ла пласа А (р = 0. Мы должны рассмотреть такие решения этого уравнения, которые обращаются на бесконечности в нуль, по скольку жидкость на бесконечности неподвижна. Выберем нача ло координат где-нибудь внутри движущегося тела (эта система координат движется вместе с телом; мы, однако, рассматрива ем распределение скоростей в жидкости в некоторый заданный момент времени). Как известно, уравнение Лапласа имеет ре шением 1 /г, где г — расстояние от начала координат. Решением являются также градиент V ( l/r ) и следующие производные от 1/г по координатам. Все эти решения (и их линейные комбина ции) обращаются на бесконечности в нуль. Поэтому общий вид искомого решения уравнения Лапласа на больших расстояниях от тела есть CL . А Т--7 1 . if = ------1- A V - + ... , Г Г где а, А не зависят от координат; опущенные члены содержат производные высших порядков от 1/г. Легко видеть, что посто янная а должна быть равной нулю. Действительно, потенциал ip = —а/г дает скорость Вычислим соответствующий поток жидкости через какую-ни будь замкнутую поверхность, скажем, сферу с радиусом R. НаС И Л А С О П Р О Т И В Л Е Н И Я П Р И П О Т Е Н Ц И А Л Ь Н О М О Б Т Е К А Н И И 49 этой поверхности скорость постоянна и равна а / R 2; поэтому пол ный поток жидкости через нее равен p ( a /R 2)-AnR2 = Air р а . Меж ду тем, поток несжимаемой жидкости через всякую замкнутую поверхность должен, очевидно, обращаться в нуль. Поэтому за ключаем, что должно быть а = 0. Таким образом, ср содержит члены, начиная с членов порядка 1 / г 2. Поскольку мы ищем скорость на больших расстояниях, то члены более высоких порядков можно опустить, и мы получаем <р = A V 1 = - ^ , (11.1) а для скорости v = grad ip V = (Av)vj- = 3(An^ ~ A (11.2) (n — единичный вектор в направлении г). Мы видим, что на больших расстояниях скорость падает, как 1 / г 3. Вектор А за висит от конкретной формы и скорости движения тела и может быть определен только путем полного решения уравнения А(р = = 0 на всех расстояниях, с учетом соответствующих граничных условий на поверхности движущегося тела. Входящий в (11.2) вектор А связан определенным образом с полным импульсом и с полной энергией жидкости, обтекающей движущееся в ней тело. Полная кинетическая энергия жидкости (внутренняя энергия несжимаемой жидкости постоянна) есть Е = \ \ v2dV’ где интегрирование производится по всему пространству вне те ла. Выделим из пространства часть V , ограниченную сферой большого радиуса i?, с центром в начале координат и будем ин тегрировать сначала только по объему V , а затем устремляя R к бесконечности. Имеем тождественно j v2 dV = J и2 dV + у (v + u)(v - u) dV, где u — скорость тела. Поскольку и есть не зависящая от коор динат величина, то первый интеграл равен просто u2(V — Vo), где Vo — объем тела. Во втором же интеграле пишем сумму v + и в виде W((p + ur) и, воспользовавшись также тем, что d ivv = 0 в силу уравнения непрерывности, a d iv u = 0, имеем J v2 dV = и2 (V — Vo) + J div{(<p + ur)(v — u)} dV.50 И Д Е А Л Ь Н А Я Ж И Д К О С Т Ь Г Л . I Второй интеграл преобразуем в интеграл по поверхности S сфе ры и поверхности S q тела: J V2 dV = u2(V — Vo) + ф (ip + ur)(v — u) di. S+ S0 На поверхности тела нормальные компоненты v и и равны друг другу в силу граничных условий; поскольку вектор di направлен как раз по нормали к поверхности, то ясно, что интеграл по Sq тождественно обращается в нуль. На удаленной же поверхности S подставляем для ip и v выражения (11.1), (11.2) и опускаем члены, обращающиеся в нуль при переходе к пределу по R оо. Написав элемент поверхности сферы S в виде di = n R 2 do, где do — элемент телесного угла, получим J v2 dV = u2( ^ - R 3 — Vo) + J {3(A n)(un) — (un)2R 3} do. Наконец, произведя интегрирование 1) и умножив на р / 2, полу чаем окончательно следующее выражение для полной энергии жидкости: Е = ^(4тгАи - V 0u2). (11.3) Как уже указывалось, точное вычисление вектора А требует полного решения уравнения Аср = 0 с учетом конкретных гра ничных условий на поверхности тела. Общий характер зависимо сти А от скорости и тела можно, однако, установить уже непо средственно из факта линейности уравнения для ip и линейности (как по ip, так и по и) граничных условий к этому уравнению. Из этой линейности следует, что А должно быть линейной же функцией от компонент вектора и. Определяемая же формулой (11.3) энергия Е является, следовательно, квадратичной функ цией компонент вектора и и потому может быть представлена в виде _ TTlikUiUk (11 4) где rriik — некоторый постоянный симметрический тензор, ком поненты которого могут быть вычислены с помощью компонент вектора А; его называют тензором присоединенных масс. 1) Интегрирование по do эквивалентно усреднению подынтегрального вы ражения по всем направлениям вектора п и умножению затем на 4тг. Для усреднения выражений типа (А п)(Вп) = АгщВкПк (А, В — постоянные век торы), пишем (А п)(Вп) = AiBkmnk = ^SikAiBk = “ А В -С И Л А С О П Р О Т И В Л Е Н И Я П Р И П О Т Е Н Ц И А Л Ь Н О М О Б Т Е К А Н И И 51 Зная энергию Е , можно получить выражение для полного им пульса Р жидкости. Для этого замечаем, что бесконечно малые изменения Е и Р связаны друг с другом соотношением dE = = u dP 1 ) ; отсюда следует, что если Е выражено в виде (11.4), то компоненты Р должны иметь вид P i = m i k u k . (11.5) Наконец, сравнение формул (11.3)—(11.5) показывает, что Р вы ражается через А следующим образом: Р = 4тгрА - pV0u. (11.6) Следует обратить внимание на то, что полный импульс жид кости оказывается вполне определенной конечной величиной. Передаваемый в единицу времени от тела к жидкости им пульс есть dP/dt. Взятый с обратным знаком, он определяет, очевидно, реакцию F жидкости, т. е. действующую на тело си лу: F = —— . (11.7) dt v ' Параллельная скорости тела составляющая F называется силой сопротивления, а перпендикулярная составляющая — подъемной силой. Если бы было возможно потенциальное обтекание равномер но движущегося в идеальной жидкости тела, то полный импульс Р был бы равен const (так как u = const) и F = 0. Другими слова ми, отсутствовала бы как сила сопротивления, так и подъемная сила, т. е. действующие на поверхность тела со стороны жидко сти силы давления взаимно компенсировались бы (так называ емый парадокс Даламбера). Происхождение этого «парадокса» в особенности очевидно для силы сопротивления. Действитель но, наличие этой силы при равномерном движении тела озна чало бы, что для поддержания движения какой-либо внешний 1) Действительно, пусть тело ускоряется под влиянием какой-либо внеш ней силы F. В результате импульс жидкости будет возрастать; пусть dP есть его приращение в течение времени dt. Это приращение связано с силой соотношением dP = F dt, а умноженное на скорость и дает u d P = Fu dt, т. е. работу силы F на пути u dt, которая в свою очередь должна быть равна увеличению энергии dE жидкости. Следует заметить, что вычисление импульса непосредственно как инте грала f p v dV по всему объему жидкости было бы невозможным. Дело в том, что этот интеграл (со скоростью v, распределенной по (11.2)) расходит ся в том смысле, что результат интегрирования, хотя и конечен, но зависит от способа взятия интеграла: производя интегрирование по большой обла сти, размеры которой устремляются затем к бесконечности, мы получили бы значение, зависящее от формы области (сфера, цилиндр и т. п.). Ис пользуемый же нами способ вычисления импульса, исходя из соотношения u d P = dE, приводит ко вполне определенному конечному значению (давае мому формулой (11.6)), заведомо удовлетворяющему физическому условию о связи изменения импульса с действующими на тело силами.52 И Д Е А Л Ь Н А Я Ж И Д К О С Т Ь Г Л . I источник должен непрерывно производить работу, которая либо диссипируется в жидкости, либо преобразуется в ее кинетиче скую энергию, приводя к постоянно уходящему на бесконечность потоку энергии в движущейся жидкости. Но никакой диссипа ции энергии в идеальной жидкости, по определению, нет, а ско рость приводимой телом в движение жидкости настолько быстро убывает с увеличением расстояния от тела, что никакого потока энергии на бесконечности тоже нет. Следует, однако, подчеркнуть, что все эти соображения отно сятся лишь к движению тела в неограниченной жидкости. Если же, например, жидкость имеет свободную поверхность, то рав номерно движущееся параллельно этой поверхности тело будет испытывать силу сопротивления. Появление этой силы (называ емой волновым сопротивлением) связано с возникновением на свободной поверхности жидкости системы распространяющихся по ней волн, непрерывно уносящих энергию на бесконечность. Пусть некоторое тело совершает под влиянием действующей на него внешней силы f колебательное движение. При соблю дении рассмотренных в предыдущем параграфе условий окру жающая тело жидкость совершает потенциальное движение, и для вывода уравнений движения тела можно воспользоваться полученными выше соотношениями. Сила f должна быть равна производной по времени от полного импульса системы, равного сумме импульса М и тела (М — масса тела) и импульса Р жид кости: М — + — = f. dt dt С помощью (11.5) получаем отсюда: M dui . duk _р - ~ + m ik— = fi, dt dt что можно написать также и в виде ^ ( M 6 ik + m ik) = f i. (11.8) dt Это и есть уравнение движения тела, погруженного в идеальную жидкость. Рассмотрим теперь в некотором смысле обратный вопрос. Пусть сама жидкость производит под влиянием каких-либо внеш них (по отношению к телу) причин колебательное движение. Под влиянием этого движения погруженное в жидкость тело тоже начинает двигаться . Выведем уравнение этого движения. Будем предполагать, что скорость движения жидкости мало меняется на расстояниях порядка величины линейных размеров 1)Речь может идти, например, о движении тела в жидкости, по которой распространяется звуковая волна с длиной волны, большой по сравнению с размерами тела.С И Л А С О П Р О Т И В Л Е Н И Я П Р И П О Т Е Н Ц И А Л Ь Н О М О Б Т Е К А Н И И 53 тела. Пусть v есть скорость жидкости в месте нахождения тела, которую она имела бы, если бы тела вообще не было; другими словами, v есть скорость основного движения жидкости. По сде ланному предположению v можно считать постоянной вдоль все го объема, занимаемого телом. По-прежнему через и обозначаем скорость тела. Силу, действующую на тело и приводящую его в движение, можно определить из следующих соображений. Если бы тело полностью увлекалось жидкостью (т. е. было бы v = и), то на него действовала бы такая же сила, которая бы действовала на жидкость в объеме тела, если бы тела вовсе не было. Импульс этого объема жидкости есть pVov, и потому действующая на него сила равна pVо — . Но в действительности тело не увлекается пол- dt ностью жидкостью; возникает движение тела относительно жид кости, в результате чего сама жидкость приобретает некоторое дополнительное движение. Связанный с этим дополнительным движением импульс жидкости равен т ^ ( щ — Vk) (в выражении (11.5) надо теперь писать вместо и скорость и —v движения тела относительно жидкости). Изменение этого импульса со временем приводит к появлению дополнительной силы реакции, действую щей на тело и равной —т ^ ( и к — vk)/dt. Таким образом, полная сила, действующая на тело, равна ~ т гктАик ~ Vk)' dt dt Эту силу надо приравнять производной по времени от импульса тела. Таким образом, приходим к следующему уравнению дви жения: ± М щ = pV0^ - m ikU u k - vk). dt dt dt Интегрируя это уравнение по времени, получаем (.M8ik + m ik)uk = (mik + pV06ik)vk. (11.9) Постоянную интегрирования полагаем равной нулю, поскольку скорость и тела, приводимого жидкостью в движение, должна обратиться в нуль вместе со скоростью жидкости v. Полученное соотношение определяет скорость тела по скорости жидкости. Если плотность тела равна плотности жидкости (М = pVo), то, как и следовало ожидать, u = v.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Сила сопротивления при потенциальном обтекании» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. Выведем уравнение этого движения. 