В очень многих случаях течения жидкостей (и газов) их плот ность можно считать неизменяющейся, т. е. постоянной вдоль всего объема жидкости в течение всего времени движения. Дру гими словами, в этих случаях при движении не происходит за метных сжатий или расширений жидкости. О таком движении говорят как о движении несжимаемой жидкости. Общие уравнения гидродинамики сильно упрощаются при применении их к несжимаемой жидкости. Правда, уравнение Эй лера не меняет своего вида, если положить в нем р = const, за исключением только того, что в уравнении (2.4) можно внести р под знак градиента: ^ + (vV )v = —V - + g. (10.1) dt р Зато уравнение непрерывности принимает при р = const про стой вид div v = 0. (10.2) Поскольку плотность не является теперь неизвестной функ цией, как это имеет место в общем случае, то в качестве основ ной системы уравнений гидродинамики несжимаемой жидкости можно выбрать уравнения, содержащие только скорость. Такими уравнениями являются уравнение непрерывности (10.2) и урав нение (2.11): A ro tv = rotfvrot v]. (10.3) Уравнение Бернулли тоже может быть написано для несжи маемой жидкости в более простом виде. Уравнение (10.1) отли чается от общего уравнения Эйлера (2.9) тем, что вместо V w в нем стоит V(p/p). Поэтому мы можем сразу написать уравнение Бернулли, заменив просто в (5.4) тепловую функциюН Е С Ж И М А Е М А Я Ж И Д К О С Т Ь 37 отношением р/р: — + - + gz = const. (10-4) 2 р Для несжимаемой жидкости можно писать р /р вместо w так же и в выражении (6.3) для потока энергии, которое принимает тогда вид pv(H + £ ) , (10.5) Действительно, согласно известному термодинамическому соот ношению имеем для изменения внутренней энергии выражение de — Т ds — р d V ; при s = const и V = 1 / р = const имеем de — = 0, т. е. е = const. Поскольку же постоянные члены в энергии несущественны, то можно опустить £ и в w = е + р/р. В особенности упрощаются уравнения для потенциального течения несжимаемой жидкости. Уравнение (10.3) удовлетворя ется при ro tv = 0 тождественно. Уравнение же (10.2) при под становке v = grad (р превращается в А<р = 0, (10.6) т. е. в уравнение Лапласа для потенциала (р : ) . К этому урав нению должны быть добавлены граничные условия на поверх ностях соприкосновения жидкости с твердыми телами: на непо движных твердых поверхностях нормальная к поверхности ком понента vn скорости жидкости должна быть равна нулю, а в общем случае движущихся твердых тел vn должна быть равна проекции скорости движения тела на направление той же нор мали (эта скорость является заданной функцией времени). Ско рость vn равна, с другой стороны, производной от потенциала (р по направлению нормали: vn = — . Таким образом, граничные дп условия в общем случае гласят, что — является на границах дп заданной функцией времени и координат. При потенциальном движении скорость связана с давлением уравнением (9.3). В случае несжимаемой жидкости в этом урав нении можно писать р /р вместо w : т£ + у + £ = /(*)• (Ю.7) dt 2 р Отметим здесь следующее важное свойство потенциального движения несжимаемой жидкости. Пусть через жидкость дви жется какое-нибудь твердое тело. Если возникающее при этом Потенциал скорости был впервые введен Эйлером. Им же было полу чено для этой величины уравнение вида (10.6), получившее впоследствии название уравнения Лапласа.38 И Д Е А Л Ь Н А Я Ж И Д К О С Т Ь Г Л . I течение жидкости является потенциальным, то это течение за висит в каждый момент только от скорости движущегося тела в этот же момент времени, но, например, не от его ускорения. Действительно, самое уравнение (10.6) не содержит времени явно; время входит в ре шение лишь через граничные условия, со держащие только скорость движущегося в жидкости тела. Из уравнения Бернулли v2/2 + р /р = = const видно, что при стационарном дви жении несжимаемой жидкости (без поля тяжести) наибольшее значение давления достигается в точках, где скорость обраща ется в нуль. Такая точка обычно имеется на поверхности обтекаемого жидкостью тела (точка О на рис. 2) и называется критической точкой. Если и — скорость натекающего на тело потока жидкости (т. е. скорость жидкости на бесконечности), а р о —давление на бесконечности, то давление в критической точке равно Рис. 2 Р тах — РО ри (10.8) Если распределение скоростей в движущейся жидкости зави сит только от двух координат, скажем от х и у, причем скорость параллельна везде плоскости ху, то о таком течении говорят как о двумерном или плоском. Для решения задач о двумерном тече нии несжимаемой жидкости иногда бывает удобным выражать скорость через так называемую функцию тока. Из уравнения непрерывности dvx , dvy дх div v = + 0 видно, что компоненты скорости могут быть написаны в виде производных V x — _ дф _ дф дх (10.9) от некоторой функции ф(х, у), называемой функцией тока. Уравнение непрерывности при этом удовлетворяется автомати чески. Уравнение же, которому должна удовлетворять функция тока, получается подстановкой (10.9) в уравнение (10.3) д_Аф - д^ дА^ + д^ дА^ = 0 dt дх ду ду дх ( 10.10) Зная функцию тока, можно непосредственно определить фор му линий тока для стационарного движения жидкости. ДействиН Е С Ж И М А Е М А Я Ж И Д К О С Т Ь 39 тельно, дифференциальное уравнение линий тока (при двумер ном течении) есть dx _ dy Vx Vy или Vydx — vx dy = 0; оно выражает собой тот факт, что на правление касательной к линии тока в каждой точке совпадает с направлением скорости. Подставляя сюда (10.9), получаем — dx + — dy = d'lp = 0, дх ду откуда ф = const. Таким образом, линии тока представляют со бой семейство кривых, получающихся приравниванием функции ф(х, у) произвольной постоянной. Если между двумя точками 1 и 2 в плоскости ху провести кривую, то поток жидкости Q через эту кривую определится разностью значений функции тока в этих точках независимо от формы кривой. Действительно, если vn — проекция скорости на нормаль к кривой в данной ее точке, то 2 2 2 Q = р J Vn d l = р J ( - V y d x + Vx d y ) = р J di p, 1 1 1 или Q = р(Ф2 - V’i)- (Ю.И) Мощные методы решения задач о плоском потенциальном обтекании несжимаемой жидкостью различных профилей свя заны с применением к ним теории функций комплексного пере менного . Основание для этих применений заключается в сле дующем. Потенциал и функция тока связаны с компонентами скорости соотношениями 2) _ dip _ дф _ д(р _ дф Х дх ду^ У ду дх Но такие соотношения между производными функций (риф с ма тематической точки зрения совпадают с известными условиями Коши-Римана, выражающими собой тот факт, что комплексное выражение (10.12) 1) Подробное изложение этих методов и их многочисленных применений может быть найдено во многих курсах и монографиях по гидродинамике с более математическим уклоном. Здесь мы ограничиваемся лишь объяснени ем основной идеи метода. 2) Напомним, однако, что существование самой по себе функции тока свя зано только с дву мерностью течения, и отнюдь не требует его потенциаль ности.40 И Д Е А Л Ь Н А Я Ж И Д К О С Т Ь Г Л . I является аналитической функцией комплексного аргумента £ = = х + гу. Это значит, что функция w(z) будет иметь в каждой точке определенную производную ^ = + 4 * (10.13) dz дх дх Функцию w называют комплексным потенциалом, а — — dz комплексной скоростью. Модуль и аргумент последней опреде ляют абсолютную величину скорости v и угол в ее наклона к направлению оси х: — = ve~ie. (10.14) dz На твердой поверхности обтекаемого контура скорость дол жна быть направлена по касательной к нему. Другими словами, контур должен совпадать с одной из линий тока, т. е. на нем должно быть ф = const; эту постоянную можно выбрать равной нулю, и тогда задача об обтекании жидкостью заданного конту ра сводится к определению аналитической функции w(z), прини мающей на этом контуре вещественные значения. Более сложна постановка задачи в случаях, когда жидкость имеет свободную поверхность (такой пример —см. задачу 9 к этому параграфу). Интеграл от аналитической функции по какому-либо замкну тому контуру С равен, как известно, умноженной на 2пг сумме вычетов этой функции относительно ее простых полюсов, распо ложенных внутри (7, поэтому )w'dz = 27vi Е A k , к где А к — вычеты комплексной скорости. С другой стороны, имеем (j)wf d z = (j){vx — ivy)(dx + г dy) = = <j)(vx dx + vy dy) + dy — vy dx). Вещественная часть этого выражения есть не что иное, как цир куляция Г скорости по контуру С. Мнимая же часть (умножен ная на р) представляет собой поток жидкости через этот контур; при отсутствии внутри контура источников жидкости этот поток равен нулю, и тогда имеем просто Г = 2тv i'E A k (10.15) (все вычеты А к при этом чисто мнимые).Н Е С Ж И М А Е М А Я Ж И Д К О С Т Ь 41 Наконец, остановимся на условиях, при выполнении которых жидкость можно считать несжимаемой. При адиабатическом из менении давления на А р плотность жидкости изменится на А р = (~£)sAp■ Но согласно уравнению Бернулли колебания давления в стацио нарно движущейся жидкости — порядка величины Ap ~ p v 2. Про изводная же (др/др)8 представляет собой (как мы увидим в § 64) квадрат скорости звука с в жидкости. Таким образом, находим оценку А р ~ pv2/с 2. Ж идкость можно считать несжимаемой, если А р / р ^ 1. Мы ви дим, что необходимым условием для этого является малость ско рости ее движения по сравнению со скоростью звука: v<^c. (10.16) Это условие достаточно, однако, только при стационарном движении. При нестационарном движении необходимо выполне ние еще одного условия. Пусть т и I — величины порядка про межутков времени и расстояний, на которых скорость жидко сти испытывает заметное изменение. Сравнив члены dw/dt и Х7р/р в уравнении Эйлера, получим, по порядку величины, v/ t ~ ~ Ар/1р или А р ~ lpv/т, а соответствующее изменение р есть А р пи I pv/ тс2. Сравнив теперь члены d p/dt и р div v в уравнении непрерывности, найдем, что производной d p/dt можно прене бречь (т. е. можно считать, что р = const) в случае, если Ар/т <"С <С pv/l или г » - . (10.17) С Выполнение обоих условий (10.16) и (10.17) достаточно для того, чтобы можно было считать жидкость несжимаемой. Усло вие (10.17) имеет наглядный смысл — оно означает, что время //с, в течение которого звуковой сигнал пройдет расстояние /, мало по сравнению со временем т, в течение которого заметно изменяется движение жидкости и, таким образом, дает возмож ность рассматривать процесс распространения взаимодействий в жидкости как мгновенный.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Несжимаемая жидкость» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. Основание для этих применений заключается в сле 