Уравнения гидродинамики заметно упрощаются в случае ста ционарного течения жидкости. Под стационарным (или уста новившимся) подразумевают такое течение, при котором в каж дой точке пространства, занятого жидкостью, скорость течения остается постоянной во времени. Другими словами, v является функцией одних только координат, так что d v / d t = 0. Уравнение (2.10) сводится теперь к равенству ^grad'y2 — [vrotv] = — grad w. (5.1) Введем понятие о линиях тока как линиях, касательные к ко торым указывают направление вектора скорости в точке касания : ) Для воды при 20° С значение в правой части (4.4) составляет около 1° на 6,7 км; для воздуха значение в правой части (4.5) составляет около 1° на 100 метров.24 И Д Е А Л Ь Н А Я Ж И Д К О С Т Ь Г Л . I в данный момент времени; они определяются системой диффе ренциальных уравнений При стационарном движении жидкости линии тока остаются не изменными во времени и совпадают с траекториями частиц жид кости. При нестационарном течении такое совпадение, разумеет ся, не имеет места: касательные к линии тока дают направления скорости разных частиц жидкости в последовательных точках пространства в определенный момент времени, в то время как касательные к траектории дают направления скорости опреде ленных частиц в последовательные моменты времени. Умножим уравнение (5.1) на единичный вектор касательной к линии тока в каждой ее точке; этот единичный вектор обозна чим 1. Проекция градиента на некоторое направление равна, как известно, производной, взятой по этому направлению. Поэтому искомая проекция от grad w есть dw/dl. Что касается вектора [vrotv], то он перпендикулярен к скорости v, и потому его про екция на направление 1 равна нулю. Таким образом, из уравнения (5.1) получаем Значение const, вообще говоря, различно для разных линий тока. Уравнение (5.3) называют уравнением Бернулли . Если течение жидкости происходит в поле тяжести, то к пра вой части уравнения (5.1) надо прибавить еще ускорение свобод ного падения g. Выберем направление силы тяжести в качестве направления оси z, причем положительные значения £ отсчиты ваются вверх. Тогда косинус угла между направлениями g и 1 равен производной —d z/d l, так что проекция g на 1 есть Соответственно этому будем иметь теперь dx _ dy _ dz Vx Vy Vz (5.2) Отсюда следует, что величина — + w постоянна вдоль линии тока: — + w = const. 2 (5.3) 1)Оно было установлено для несжимаемой жидкости (см. § 10) Д. Бер нулли в 1738 г.П О Т О К Э Н Е Р Г И И 25 Таким образом, уравнение Бернулли гласит, что вдоль линий то ка остается постоянной сумма 2 ^ + w + gz = const. (5.4)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Уравнение Бернулли» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. 