Выделим в жидкости некоторый объем. Полная сила, дей ствующая на выделенный объем жидкости, равна интегралу
Вектор
взятому по поверхности рассматриваемого объема. Преобразуя его в интеграл по объему, имеем
Отсюда видно, что на каждый элемент объема dV жидкости дей ствует со стороны окружающей его жидкости сила — grad p. dV Другими словами, можно сказать, что на единицу объема жид кости действует сила —grad]9. Мы можем теперь написать уравнение движения элемента объема жидкости, приравняв силу —gradр произведению мас сы р единицы объема жидкости на ее ускорение dv/dt: ttv ! (2.1) Р— = - grad р. dt Стоящая здесь производная dw/dt определяет не изменение скорости жидкости в данной неподвижной точке пространства, а изменение скорости определенной передвигающейся в простран стве частицы жидкости. Эту производную надо выразить через величины, относящиеся к неподвижным в пространстве точкам. Для этого заметим, что изменение dw скорости данной частицы жидкости в течение времени dt складывается из двух частей: из изменения скорости в данной точке пространства в течение времени dt и из разности скоростей (в один и тот же момент времени) в двух точках, разделенных расстоянием rfr, пройден ным рассматриваемой частицей жидкости в течение времени dt. Первая из этих частей равна
где теперь производная dv/dt берется при постоянных ж, у, z, т. е. в заданной точке пространства. Вторая часть изменения
16
И Д ЕА Л ЬН А Я Ж И Д К О С Т Ь
ГЛ. I
скорости равна
Таким образом, dw = — dt + (rfrV)v dt v ' или, разделив обе части равенства на dt , I (vV)v. — = — + ( V7\ dt dt v ) Подставив полученное соотношение в (2.1), находим ^ + (vV)v = -ig rad p . dt р (2.2)
(2.3)
Это и есть искомое уравнение движения жидкости, установ ленное впервые Л. Эйлером в 1755 г. Оно называется уравнением Эйлера и является одним из основных уравнений гидродинами ки. Если жидкость находится в поле тяжести, то на каждую еди ницу ее объема действует еще сила pg, где g есть ускорение сво бодного падения. Эта сила должна быть прибавлена к правой части уравнения (2.1), так что (2.3) приобретает вид ^ + (vV)v = dt р
+ g.
(2.4)
При выводе уравнений движения мы совершенно не учиты вали процессов диссипации энергии, которые могут иметь место в текущей жидкости вследствие внутреннего трения (вязкости) в жидкости и теплообмена между различными ее участками. По этому все излагаемое здесь и в следующих параграфах этой гла вы относится только к таким движениям жидкостей и газов, при которых несущественны процессы теплопроводности и вязкости; о таком движении говорят как о движении идеальной жидкости. Отсутствие теплообмена между отдельными участками жид кости (а также, конечно, и между жидкостью и соприкасаю щимися с нею окружающими телами) означает, что движение происходит адиабатически, причем адиабатически в каждом из участков жидкости. Таким образом, движение идеальной жид кости следует рассматривать как адиабатическое. При адиабатическом движении энтропия каждого участка жидкости остается постоянной при перемещении последнего в 1) Определенную таким образом производную d/dt называют субстанцио нальной, подчеркивая тем самым ее связь с перемещающимся веществом.
УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА
17
пространстве. Обозначая буквой s энтропию, отнесенную к еди нице массы жидкости, мы можем выразить адиабатичность дви жения уравнением | = О, (2.5)
где полная производная по времени означает, как ив (2 .1), изме нение энтропии заданного перемещающегося участка жидкости. Эту производную можно написать в виде — + vgrads = 0. (2.6) dt Это есть общее уравнение, выражающее собой адиабатичность движения идеальной жидкости. С помощью (1.2) его можно на писать в виде «уравнения непрерывности» для энтропии + div(psv) = 0. (2.7)
Произведение psv представляет собой плотность потока эн тропии. Обычно уравнение адиабатичности принимает гораздо более простую форму. Если, как это обычно имеет место, в некоторый начальный момент времени энтропия одинакова во всех точках объема жидкости, то она останется везде одинаковой и неизмен ной со временем и при дальнейшем движении жидкости. В этих случаях можно, следовательно, писать уравнение адиабатично сти просто в виде s = const, (2.8) что мы и будем обычно делать в дальнейшем. Такое движение называют изэнтропическим. Изэнтропичностью движения можно воспользоваться для то го, чтобы представить уравнение движения (2.3) в несколько ином виде. Для этого воспользуемся известным термодинами ческим соотношением dw = Т ds + V dp, где w —тепловая функция единицы массы жидкости, V = 1/р— удельный объем, а Т —температура. Поскольку s = const, имеем dw = V dp = - ф , и поэтому Р Р
— = Vw. Vp Уравнение (2.3) можно, следовательно, написать в виде — + (vV)v = —gradw. (2.9)
18
И Д ЕА Л ЬН А Я Ж И Д К О С Т Ь
ГЛ. I
Полезно заметить еще одну форму уравнения Эйлера, в кото ром оно содержит только скорость. Воспользовавшись известной формулой векторного анализа ^grad'y 2 = [vrotv] + (vV)v, можно написать (2.9) в виде ^ —[vrotv] = —grad^u; + (2.10)
Применив к обеим частям этого уравнения операцию rot, по лучим уравнение — rot v = rot [v rot v], (2.11) содержащее только скорость. К уравнениям движения надо добавить граничные условия, которые должны выполняться на ограничивающих жидкость стенках. Для идеальной жидкости это условие должно выражать собой просто тот факт, что жидкость не может проникнуть за твердую поверхность. Это значит, что на неподвижных стенках должна обращаться в нуль нормальная к поверхности стенки компонента скорости жидкости: = о (2.12) (в общем же случае движущейся поверхности vn должно быть равно соответствующей компоненте скорости поверхности). На границе между двумя несмешивающимися жидкостями должны выполняться условие равенства давлений и условие ра венства нормальных к поверхности раздела компонент скорости обеих жидкостей (причем каждая из этих скоростей равна ско рости нормального перемещения самой поверхности раздела). Как уже было указано в начале § 1, состояние движущейся жидкости определяется пятью величинами: тремя компонента ми скорости v и, например, давлением р и плотностью р. Со ответственно этому полная система гидродинамических уравне ний должна содержать пять уравнений. Для идеальной жидко сти этими уравнениями являются уравнения Эйлера, уравнение непрерывности и уравнение, выражающее адиабатичность дви жения.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Уравнение Эйлера» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
, I (vV)v. — = — + ( V7\ dt dt v ) Подставив полученное соотношение в (2.1), находим ^ + (vV)v = -ig rad p . dt р 