Рассмотрим теперь ток перехода, соответствующий такой же как A38.2), диаграмме A42.1) в которой, однако, линии р\ и р2 отвечают разным частицам (массы М\ и М2); фотонную линию к = р\ — р2 удобнее предста- влять здесь исходящей из вершины. При этом фотон может быть теперь как виртуальным, так и реальным: должно быть лишь к2 < (Mi — М2J, так что значение к2 = 0 допустимо. Таким образом, применения рассматриваемой диаграммы включают в себя, в частности, процессы испускания фотона при превраще- ниях частиц, в том числе ядер (в последнем случае начальной и конечной частицами является ядро в различных состояниях). В связи с поставленным вопросом наиболее интересен случай, когда длина волны фотона велика по сравнению с характерными «размерами» частицы (т. е. размерами, входящими в ее форм- факторы; для ядра они совпадают, конечно, с его «радиусом»). Тогда ток перехода может быть разложен по степеням к г) . Отметим прежде всего, что должно быть Jfi = 0 при к = 0. A42.2) ) Ниже мы следуем методике, предложенной В. Б. Берестецким A948). § 142 МУЛЬТИПОЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ АДРОНОВ 707 Действительно, пределу к —>• 0 отвечает постоянный в простран- стве и времени потенциал. Но такой потенциал не имеет физи- ческого значения и не может являться причиной каких-либо ре- альных процессов. К этому же выводу можно подойти и с более формальной точки зрения: рассмотренные в § 138 токи были от- личны от нуля при к = 0 за счет членов, пропорциональных 4-вектору Р = р\ + р2\ но при М\ ф М_2 произведение (Рк) Ф 0, так что такие члены запрещены условием поперечности тока. Запишем условие поперечности тока Jfi = (pfi, Jfi) в трех- мерном виде: A42.3) Этому условию можно удовлетворить двумя способами: Jfi = o;v(k, о;), pfi = kv(k, uo) A42.4) или Jfi = [ka(k, a;)], pfi = 0. A42.5) Здесь v —некоторый полярный, а а —аксиальный векторы. В первом случае говорят о токе электрического, а во втором — маг- нитного типа. Согласно A42.2) v и а при к, ио —>> 0 остаются конечными или обращаются в нуль. Пусть энергия фотона ио <С М\. Тогда можно пренебречь эф- фектом отдачи и считать покоящейся (в системе покоя частицы Mi) также и конечную частицу М2; при этом ио становится задан- ной величиной: ио = М\ — М2. Состояния покоящихся частиц М\ и М2 характеризуются трехмерными спинорами w\ и W2 рангов 2si и 2.S2, где s\ и 52 — спины частиц. Ток перехода должен быть билинейной комбинацией w\ и w^. Из произведений компонент этих спиноров можно составить неприводимые тензоры рангов / = 5i+52, ..., |«si — 521 (при заданном / это будет истинный или псевдотензор в зависимости от внутренних четностей частиц М\ и М2). Кроме этих тензоров в нашем распоряжении имеется только вектор к. Чтобы построить первый член разложения тока по степеням к, надо с помощью этих величин составить вектор как можно более низкой степени по к. Мы достигнем этой цели, взяв тензор наименьшего ранга и умножив его скалярно / — 1 раз на вектор к. Это и будет полярный вектор v или аксиальный вектор а. Пусть Qim — сферические компоненты тензора, составленно- го из волновых амплитуд частиц. Сферические же компонен- ты тензора ранга / — 1, составленного из компонент к, равны |k|^~1Y^-i,m(nM гДе п — к/а;. По общему правилу сложения сфе- рических тензоров (см. III, A07,3)) сферические компоненты 23* 708 ЭЛЕКТРОДИНАМИКА АДРОНОВ ГЛ. XIV вектора v можно написать в виде где А пробегает значения 0, =Ы (о выборе общего множителя см. ниже). Используя формулы G.16), можно выразить v через шаровые векторы: v = r v ' ; = > -1Г Qi-щХ B/-1)!!л//B/ + 1) ^V У ^' x [V/ + lYS(n) + VZY^fn)]. A42.6) Подставив в A42.4), найдем El-ток перехода: A42.7) (мы различаем везде |к| иш, имея в виду возможные применения как к реальным, так и к виртуальным фотонам, для которых эти величины не совпадают). В A42.7),A42.8) подразумевается, что сферический тен- 30Р Qim (обозначенный здесь Q^)—истинный тензор. Если же это псевдотензор (в таком случае обозначим его Q^), то форму- ла A42.6) определит псевдовектор а. Подстановка в A42.5) дает тогда ТШ-ток перехода: ^[ ' Q^-mYirnW^ A42<9) Pfi = 0. Величины Qj^ и Q^ представляют собой адронные электри- ческие и магнитные мультипольные моменты перехода. Их роль в электродинамике адронов вполне аналогична роли соответствую- щих величин в электродинамике электронов. В то время, однако, § 142 МУЛЬТИПОЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ АДРОНОВ 709 как для электронных систем эти моменты могут быть, в принци- пе, вычислены по волновым функциям (как матричные элементы соответствующих операторов), в электродинамике адронов они выступают как феноменологические величины, значения кото- рых находятся из опыта. Нормировка этих величин в A42.7)-A42.9) выбрана в соот- ветствии с их определением в § 46. В этом можно убедиться, рассматривая токи A42.7)—A42.9) как компоненты Фурье тока перехода в координатном представлении. Так, разложив множи- тель е~гкг в интеграле P/i(k) = J pfi®e-ik43x A42.10) с помощью формулы D6.3), получим pft(k) = Оставив здесь член с наименьшим /, для которого интеграл отли- чен от нуля, и заменив функцию ^(|k|r) при |k|r <C 1 ее первым членом разложения D6.5), мы вернемся к формуле A42.9), при- чем i(9) _ / *« / J-..^v r-jd6x A42.11) в соответствии с определением D6.7). Покажем также, что при применении к испусканию реального фотона полученные формулы приводят к уже известным нам результатам. Амплитуда перехода с испусканием фотона с импульсом к = = от и поляризацией е = @, е): Mfi = -ел/4тге*Л/*. A42.12) Если в начальном и конечном состояниях ядро обладает опре- деленным значением проекции момента (Mi и Mj), то в сумме по т в A42.7)-A42.9) остается лишь по одному члену: т = Mi — — Mf. Поскольку согласно A6.23) произведения Y^e(A)* или Y^e(A)* (А = =Ы — спиральность фотона, е^ _L n) пропорци- ональны DlXm, мы возвращаемся к формулам, рассмотренным в S 48. 710 ЭЛЕКТРОДИНАМИКА АДРОНОВ ГЛ. XIV Дифференциальная вероятность излучения г) dw = 2тг<^ - (Ег - Ef)]\Mft\2^^-3 A42.13) (Ei, ^/—начальная и конечная энергия ядра). Полная вероят- ность получится суммированием по поляризациям и интегриро- ванием no d3к. Подставив A42.7) или A42.9) в A42.12) и затем в A42.13) и произведя указанные действия, мы вернемся к фор- муле D6.9) (или D7.2)). Формулы A42.7)—A42.9) включают в себя все случаи, кото- рые могут иметь место для испускания реального фотона. Для виртуальных же фотонов возможен еще и другой случай, не опи- сываемый этими формулами (R. H. Fowler, 1930). Если спины и четности начального и конечного состояний ядра одинаковы, то из их волновых амплитуд можно составить скаляр Qq , а с его помощью — ток перехода вида Pfi = Q0k2, 3fi = Qo^k. A42.14) Величину Qq называют монопольным (Е0) моментом перехо- да. Для испускания реального фотона соответствующая ампли- туда перехода обращается в нуль (так как е*к = 0). Монополь- ный ток, однако, может быть источником переходов, связанных с испусканием виртуального фотона. Более того, он является един- ственным таким источником при s\ = 52 = 0, когда все мульти- польные моменты равны нулю. По своей зависимости от о; и к монопольный ток A42.14) аналогичен электрическому квадрупольному. Соответственно и момент Qq представляет собой величину того же порядка, что и квадрупольный момент. К этому заключению можно прий- ти также и путем истолкования A42.14) как компоненты Фурье тока в координатном представлении. Разложив в A42.10) множи- тель е~гкг по степеням кг и положив функцию Pfi® сферически- симметричной, получим Сравнив с A42.14), найдем Qo = ~\JPfi®r2dsx. A42.15) Сходство этой величины с квадрупольным моментом очевидно.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Мультипольные моменты адронов» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
