Рассмотрим вершинный оператор Г^ = Г^{р2, р\\ к) в случае, когда две электронные линии являются внешними, а фотонная — внутренней. Электронным внешним линиям отвечают множите- ли и\ = u(pi) иЙ2= Ufa), так что Г входит в выражение для диаграммы в виде произведения j%=u2r»Ul. A16.1) Как уже отмечалось в § 111, оно представляет собой электронный ток перехода с учетом радиационных поправок. Требования ре- лятивистской и калибровочной инвариантности позволяют уста- новить общий вид матричной структуры этого тока. Оператор электромагнитного взаимодействия V = e(jA) — истинный скаляр (а не псевдоскаляр), чем выражается сохра- нение пространственной четности в этих взаимодействиях. По- этому ток перехода jji — истинный 4-вектор (а не псевдовектор). Он может выражаться, следовательно, только через истинные же 4-векторы, составленные из имеющихся в нашем распоряжении двух 4-векторов р\ и р2 (третий к = р2 — р\) и биспиноров щ и U2. Таких независимых 4-векторов, билинейных по Щящ, всего три: или, что то же, , A16.2) где Р = pi +Р2- Но условие калибровочной инвариантности тре- бует поперечности тока перехода к 4-импульсу фотона к: jfik = 0. A16.3) Этому условию удовлетворяют первые два из 4-векторов A16.2): первый в силу уравнений Дирака — m)ui = 0, U2(^(P2 — m) = 0, A16.4) § 116 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФОРМФАКТОРЫ ЭЛЕКТРОНА 571 а второй — потому, что Рк = 0. Ток jfi представляется линейной комбинацией этих двух 4-векторов: 3% = Н{п2и{)Р» + /2(u27^i), где /i, /2 — инвариантные функции; их называют электромаг- нитными формфакторами электрона. Так как 4-импульсы р\ и р2 относятся к свободному электро- ну, то р2 = р2 = 7П2, и из трех 4-векторов pi, P2-> k (связанных равенством к = р% — Р\) можно составить всего одну незави- симую скалярную переменную, в качестве которой выберем к . Тогда формфакторы — функции к2. Выражение для тока можно представить и в других видах, с другим выбором двух независимых членов. Использовав урав- нения A16.4) и правила коммутации матриц 7, легко убедиться, что (Ща^щЖ = -2m(u27^i) + fau^P», A16.5) где а^ = 1/2(t//7z/ ~~ 7^7^) • Коэффициент при таком члене име- ет, как мы увидим, важный физический смысл, так что будем писать 2 ^2 A16.6) где /, g — два других формфактора; смысл выделения множите- ля 1/Bга) выяснится ниже . Для краткости мы пишем вместо тока вершинный оператор, подразумевая, что он должен браться «в обкладках» Щ • • • Щ. Для выяснения свойств формфакторов рассмотрим диаграм- му A10.16) процесса взаимодействия электрона с внешним по- лем. Соответствующая ей амплитуда рассеяния Mfi = -ej^Hk), A16.7) где Ар — эффективное (с учетом поляризации вакуума) внеш- нее поле. Амплитуда A16.7) описывает два канала реакции. В канале рассеяния инвариантная переменная Заменив же р2 —» р_, Р\ —^ — р+, мы перейдем к аннигиляцион- ному каналу, отвечающему рождению пары с 4-импульсами р_ и р+. В этом канале Область же значений 0 < t < 4m2 —нефизическая. 1)Во избежание недоразумений напомним: в определении A16.6) предпо- лагается, что к — 4-импульс входящей в вершину фотонной линии; для вы- ходящей линии знак второго члена был бы обратным. 572 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ Обратимся к условию унитарности A11.12). В канале рассея- ния (t < 0) нет в данном случае физических промежуточных состояний: один свободный электрон не может изменить свой им- пульс или родить какие-либо другие частицы. Нет их, конечно, и в нефизической области. Поэтому при t < 4m2 правая сторона в равенстве A11.12) отсутствует, так что матрица Tfi (или, что то же, Mfi) эрмитова: Mfi = M*f. Перестановка начального и конечного состояний означает пере- становку р2 и pi, а тем самым замену к —>> —к. Представив Mfi в виде A16.7), имеем поэтому Но Д(е)(—к) = А^*{к), так что отсюда следует, что матрица токов перехода тоже эрмитова: 3fi=3if ПРИ t<4m2. A16.8) Используя свойства матриц 7 B1.7), легко проверить, что Поэтому j*.? отличается от jfi лишь заменой функций f(t) и g(t) комплексно-сопряженными. Из равенства A16.8) следует тогда, что эти функции вещественны. Таким образом, Im/(t) = Img(t) =0, t < 4m2. A16.9) В аннигиляционном же канале (? > 4т2) состояние / — пара, которая может превратиться в пару же с другими импульсами (упругое рассеяние) или в какую-либо более сложную систему. Поэтому правая часть условия унитарности отлична от нуля, матрица Mfi (а с нею и jfi) не эрмитова, а потому формфак- торы комплексны. Аналитические свойства функций f(t) и g(t) вполне анало- гичны рассмотренным в § 111 свойствам функции V(t) (хотя это и затруднительно доказать столь же прямым способом). Эти функции аналитичны в комплексной плоскости ?, разрезанной вдоль положительной вещественной оси t > 4m2, причем Условие перенормировки A10.19), примененное к вершинно- му оператору A16.6), приводит к требованию /@) = 1. A16.10) § 116 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФОРМФАКТОРЫ ЭЛЕКТРОНА 573 Для того чтобы автоматически учесть это условие (при вычис- лении функции /(?) по ее мнимой части), надо применить дис- персионное соотношение вида A11.8) не к самой функции /(?), а к (/ — 1)/?. Тогда получим дисперсионное соотношение «с одним вычитанием»: оо -i = - f -^fp тг J t'(t' —t — г 4m2 Для формфактора же g(t) никакие значения физическими требованиями заранее не предписываются. Поэтому для него дисперсионное соотношение пишется «без вычитаний»: оо (t)= 1 Г 6 W тг J t' Img(t') -1 - гО 4m2 Значение g@) имеет важный физический смысл: оно дает поправку к магнитному моменту электрона. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим рассеяние нерелятивистского электрона в по- стоянном, медленно меняющемся в пространстве магнитном по- ле. Член в амплитуде рассеяния A16.7), связанный с формфак- тором g(fc2), имеет вид SMfi = ^-ё{к2){п2а^щ)крА^{к). A16.13) Для чисто магнитного поля А^е^ = (О, А); постоянство поля во времени означает, что 4-вектор к^ = @, к), а медленному изменению поля в пространстве отвечают малые к (имея в виду дальнейший переход к пределу к —>> 0, сразу пишем в A16.13) А^ вместо эффективного Л^). Раскрыв выражение A16.13) и выразив его через трехмерные величины, получим 8M}i = ^-g(-k2)(u2Su1)i[kAk], где S —матрица B1.21). Произведение i[kAk] заменяем напря- женностью магнитного поля Нк, после чего можно перейти к пределу к —>> 0. Наконец, введя нерелятивистские спинорные ам- плитуды г^х, u>2, согласно B3.12), U2 = находим окончательно и\ = v2m f q1 j , = — g@)Hk • 2m(w%<rw1). A16.14) 574 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ Сравним это выражение с амплитудой рассеяния в постоян- ном электрическом поле со скалярным потенциалом Ф^: Мы видим, что электрону в магнитном поле можно приписать дополнительную потенциальную энергию 2т Это значит, что электрон обладает «аномальным» магнитным моментом ^ A16.15) (обычные единицы) в дополнение к «нормальному» дираковско- му магнитному моменту еН/Bтс).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Электромагнитные формфакторы электрона» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. Для краткости мы пишем вместо 