Вычисление мнимой части поляризационного оператора по интегралу Фейнмана
При прямом вычислении по диаграмме (петля на диаграм- ме A13.1)) поляризационный оператор в первом приближении теории возмущений давался бы интегралом ->> -е2 / Svi^G(p)^G(p- k)-^-. A15.1) 4тг Однако этот интеграл, взятый по всему четырехмерному р-про- странству, квадратично расходится и для получения конечного результата должен быть регуляризован по описанным в § 112 правилам. Мы не будем воспроизводить здесь полностью такой вывод, но покажем, каким образом можно вычислить по интегралу A15.1) мнимую часть поляризационного оператора (которая бы- ла определена нами в § 113 с помощью условия унитарности); этот вывод содержит в себе ряд поучительных моментов. Мнимая часть интеграла A15.1) не содержит расходимости и не требует поэтому регуляризации. Для скалярной функции 566 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ imV = yslmVJl имеем 3BтгL У (р2-ш2+г0)[(р-А;J-т2+г0] После вычисления следа интеграл принимает вид ImV(k2) =Ъп Г J Пусть к2 > 0. Переходим к системе отсчета, в которой к = = (&о, 0). В этой системе Введя также обозначение е = у р2 + т2 (е не совпадает с «энер- гией» виртуального электрона ро0? перепишем A15.2) в виде / 7 *?ЧРо, р) аро— :— —, 0 '11 5.3) @, Р) = — (ТП +? +^0^0 — р0). Подынтегральное выражение имеет четыре полюса по пере- менной ро'. а)ро = ? — гО, а')ро = — е — гО, Ь) ро = ко — е + гО, б7) ро = ко + ? — гО. На рис. 21 показано расположение этих полюсов; для опре- деленности будем считать, что ко > 0 (окончательный ответ есть функция от к$ и от знака ко не зависит). Вычислим скачок функции V(t), испытываемый ею на разрезе в плоскости комп- /JT\ лексной переменной t = к2 = х-х / у хх = /Cq или, что то же самое, на • • / вещественной оси в плоскости > | > комплексного ко- Вещественная / • •/ часть функции V(t) непрерыв- _ _ —^/ а Ь на на разрезе, так что скачок Рис. 21 AV(t) = 2iImV(t). A15.4) Прежде всего покажем, каким образом уже по виду интегра- ла можно установить положение разреза. Обозначим в A15.3) интеграл по ро как /(р, ко). До тех пор, пока верхние и ниж- ние полюсы на рис. 21 находятся на конечных расстояниях друг 115 ВЫЧИСЛЕНИЕ МНИМОЙ ЧАСТИ ПОЛЯРИЗАЦИОННОГО ОПЕРАТОРА 567 от друга, путь интегрирования по ро можно увести вдаль от по- люсов (штриховая линия на рисунке). В этом случае интеграл 7(р, ко) не изменится при бесконечно малом смещении полю- сов b и Ъ' вниз или вверх от вещественной оси, т. е. при замене ко —>> ко + iS, S —> 0. Другими словами, значения /(р, ко) при стремлении ко к своему вещественному значению сверху и сни- зу будут одинаковы, так что /(р, ко) не даст вклада в скачок AV. Ситуация изменится, лишь если два полюса (при ко > 0 это могут быть полюсы а и Ь) окажутся как раз один под другим, так что контур интегрирования будет «зажат» между ними и не сможет быть уведен. Таким образом, скачок AV ф 0, лишь если где-либо в области интегрирования по d3p может быть выполне- но условие ко — е = ?, т. е. ко = 2е = 2л/р2 + т2. Для этого, очевидно, должно быть ко ^ 2т, т. е. t ^ 4m2 . Перепишем интеграл /(р, ко) в виде опустив члены гО в знаменателе и соответственно изменив кон- тур С интегрирования, как показано на рис. 22. Мы видим, что возникновение скачка AV(t) связано с невозможностью увода Рис. 22 контура от полюса а (когда контур зажат между а и Ь). Имея это в виду, заменим контур С контуром С7, проходящим под точкой а, соответственно добавив интеграл по малой окружности С" во- круг этой точки. После этого контур С можно беспрепятствен- но увести от полюсов, так что интегрирование вдоль него дает вклад лишь в регулярную часть функции V(t). Для определения Аналогичным образом убеждаемся в отсутствие разреза при t = к2 < 0. Выбрав в этом случае систему отсчета, в которой к = @, к), найдем, что полюсы подынтегрального выражения лежат при ро = ±(е-гО), ро = Оба нижних полюса лежат всегда в правой, а оба верхних — в левой полу- плоскости ро, так что никакая их пара не может оказаться рядом. 568 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ же искомого скачка достаточно рассматривать лишь интеграл по окружности С7/, что сводится к взятию вычета в полюсе а. Эта операция может быть осуществлена заменой в подынтегральном выражении: 1 9 9 —>> —2тгг6(ро — е ) A15.6) pI-s2 (знак « —» связан с тем, что окружность вокруг полюса обходит- ся в отрицательном направлении). При этом следует учитывать в аргументе E-функции лишь корень ро = +? (обходится лишь полюс а, но не а7); это условие будет автоматически учтено, если условиться производить интегрирование лишь по половине им- пульсного 4-пространства: ро > 0. После замены A15.6) скачок интеграла /(р, ко) вычисляется непосредственно: оо X А/ = {/(р, к0 + iS) - /(р, ко - г5)}я_>+о = -2ттг х оо / <*(Ро - е2)г<р(ро, J . (ко — роJ — г2 + i5 (ко — роJ — г2 — it 0 Используя равенство 1 р 1 (ко — РоJ — е2 ±id (ко — роJ — i (см. A11.3)), получаем гп6[(ко - ро? ~ А/ = гBтггJ j 6(р20 - е2N[(ко - ро? - е2] ^(р0, р) dp0. о Аргументы E-функций мож:но переписать в инвариантном виде, вычитая и прибавляя к ним р2: pi - е2 = р2 - т2, (ко - роJ - е2 = (к - рJ - т2. После этого находим окончательно АГ(к2)=гBтггJ Г dAp • ф)8(р2 - тп2N[(р - кJ - тп2]. A15.7) Ро>0 Ввиду наличия E-функций интегрирование производится факти- чески лишь в области пересечения гиперповерхностей р2 = ш2, (р - кJ = ш2. A15.8) Поскольку в этой области все 4-векторы р времениподобны, то условие интегрирования по ро > 0 имеет инвариантный характер (верхняя полость конуса р2 = тп2). § 115 ВЫЧИСЛЕНИЕ МНИМОЙ ЧАСТИ ПОЛЯРИЗАЦИОННОГО ОПЕРАТОРА 569 Сравним A15.7) с исходной формулой A15.2). Мы видим, что скачок функции V(t) на разрезе в плоскости t можно получить, если в исходном фейнмановском интеграле произвести замену 2 * ._ ->¦ -2тгг5(р2 - т2) A15.9) в пропагаторах, отвечающих пересеченным на диаграмме A13.1) линиям петли (S. Mandelstam, 1958, R. Cutkosky, 1960). Обратим внимание на то, что условия A15.8) выделяют ту область импульсного пространства, в которой линии виртуаль- ных частиц на диаграмме отвечают реальным частицам (или, как говорят, 4-импульсы р и р — к лежат на массовой поверх- ности). Здесь ясно видна связь с методом соотношения унитар- ности, в котором эти же линии заменялись на линии реальных частиц промежуточного состояния. Мы видим также математическую причину отсутствия рас- ходимости в мнимой части диаграммы: она определяется интег- рированием по конечной области массовой поверхности вмес- то интегрирования по всему бесконечному импульсному 4-про- странству в исходном фейнмановском интеграле. Чтобы получить теперь из A15.7) выведенную в § 113 фор- мулу, вернемся к системе отсчета, в которой к = 0, и проведем интегрирование по d^p = |р|б de фо do. Интегрирование сводится к снятию E-функций. При этом 6(р2 - ш2)ф0 = S(pl - ?2)фо -^ —8(ро - e)dp0 и затем 8[(р - кJ - m2]ds = 5[(ро - к0J - s2]de = = ё(-2ек0 + k2)ds -»¦ — ё(е - Щйе. 2ко 2 В результате получим AV{t) = -^ | ^i^(e, p)do, A15.10) где t = к2 = /cq, а значение функции (р берется при р0 = е = ко/2, р2 = е2 - га2 = /$/4 - га2, т. е. равно и не зависит от угла. Поэтому интегрирование по do сводится к умножению на 4тг, и мы возвращаемся к A13.8). 570 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ В изложенном выводе существен только тот факт, что диа- грамма рассекается на две части путем пересечения всего двух линий. Поэтому сформулированное правило остается в силе и для диаграмм, составленных из любых двух блоков, соединенных двумя (электронными или фотонными) линиями. Интеграл, вы- численный путем замены A15.9), определит при этом тот вклад в мнимую часть диаграммы, который в методе соотношения уни- тарности связан с соответствующим двухчастичным промежу- точным состоянием.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Вычисление мнимой части поляризационного оператора по интегралу Фейнмана» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. 