Исследуем на основании полученных формул радиационные поправки к закону Кулона. Эти поправки можно наглядно опи- сать как результат поляризации вакуума вокруг точечного заря- да. Без учета поправок поле неподвижного центра (с зарядом е\) дается кулоновым скалярным потенциалом Ф = А^ =е\/г. Ком- поненты его трехмерного разложения Фурье: Ф(к) =4б)(к) =47rei/k2. С учетом радиационных поправок это поле заменяется «эффек- тивным полем»: 4тг 4тг (ср. A03.5)). Второй член и дает искомую добавку к скаляр- ному потенциалу. В первом приближении теории возмущений для V(k2) надо взять полученное в предыду- щем параграфе выражение, а функцию D(к2) заменить ее нулевым приближением ?>(?;2) « L>(?;2) = -4тт/к2. Таким образом, радиационная поправка к по- тенциалу поля Рис- 20 <УФ(к) = -^\V(-k2). A14.2) Для определения вида этой поправки в координатном пред- ставлении надо произвести обратное преобразование Фурье: %- A14-3) Поскольку EФ(к) —функция лишь от t = —k2, то, произведя ин- тегрирование по углам, получим 4тг2г (в последнем преобразовании использована четность подынтег- рального выражения как функции от у = \/—t). Теперь мож- но сместить контур интегрирования в верхнюю полуплоскость комплексной переменной у, совместив его с разрезом функции § 114 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ К ЗАКОНУ КУЛОНА 563 V(—y2) (рис. 20). Этот разрез начинается от точки 2гт и идет вверх по мнимой оси (причем физическому листу соответствует левый берег разреза). Введя вместо у новую переменную, соглас- но у = гж, найдем оо г) = _L_ Г1т6Ф(х2)е-гххс1х. 2т Наконец, возвращаясь к интегрированию по t = ж2, имеем окон- чательно: оо Щг) = — [ Im6<S>(t)e-rVldt. A14.4) 2тг2г J 4т2 Мнимую часть берем из A13.8) и после очевидной замены переменной находим A14.5) {Е. Uehlmg, R. Serber, 1935). Входящий сюда интеграл может быть вычислен в двух пре- дельных случаях. Рассмотрим прежде всего малые г (mr <C 1). Разобьем инте- грал от первого члена в круглой скобке на два: i i Ci причем (i выбрано так, что l/(rar) > d > 1. В силу этого в первом интеграле можно положить г = 0, и тогда Ci В /2 можно, напротив, пренебречь единицей под корнем: оо оо 12 И Г e-2mr<dC = _]n?i .e-2mrCi + 2mr f Ci Ci 564 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ В экспоненте и нижнем пределе интеграла можно положить (д = = 0. Сделав после этого замену переменной 2тгС, = ж, получим ОО h = - lnBCi) + In — + [ e-xlnxdx = - lnBCi) + In — - С, mr J mr 0 где С = 0, 577 ... —постоянная Эйлера. В интеграле же от вто- рого члена в A14.5) можно сразу положить г = 0: (X) Складывая все три интеграла (причем вспомогательное число (д сокращается), получаем + f°(lnJ--C-§)l, г«1. A14.6) Зтг V тг 6 / J m При TTir > 1 в интеграле существенна область ? — 1 ~ 1/ {тг) <С <С 1. Заменой ? = 1 + ? и соответствующими пренебрежениями он сводится к интегралу оо е-2тг Г е-2тгЦ 3 /^ = 3 2 V S S 8(mrK/2 0 Таким образом, в этом случае *) ^^) 1 A14.7) тг (?тггK/2 / ?тг Мы видим, что поляризация вакуума искажает кулоново поле точечного заряда в области г ~ 1/т (= /i/(?tic)), где т — масса электрона. Вне этой области искажение поля убывает по экспо- ненциальному закону. Сделаем еще одно замечание, имеющее общий характер. Мы подразумевали до сих пор, что радиационные поправки происхо- дят от взаимодействия фотонного поля с электрон-позитронным. Так, приписывая внутренние замкнутые петли в фотонных соб- ственно-энергетических диаграммах электронам, мы учитывали тем самым взаимодействие фотона с «электронным вакуумом». Но фотон взаимодействует и с полями других частиц; взаимо- действие с «вакуумами» этих полей описывается такими же соб- ственно-энергетическими диаграммами, в которых внутренние *) Происхождение множителя е 2тг в дФ(г) понятно уже из вида исходно- го интеграла A14.4): при больших г в нем существенны значения t вблизи нижнего предела. Другими словами, показатель экспоненциального множи- теля определяется положением первой особенности функции $Ф(е). § 115 ВЫЧИСЛЕНИЕ МНИМОЙ ЧАСТИ ПОЛЯРИЗАЦИОННОГО ОПЕРАТОРА 565 петли приписываются соответствующим частицам. Вклады та- ких диаграмм по порядку величины отличаются от вкладов элек- тронных диаграмм некоторыми степенями отношения ттге/гтг, где т — масса данной частицы, а те — масса электрона. Ближайшие по массе к электрону частицы — мюоны и пио- ны. Численно отношения те/т^ и mejm^ близки к а. Поэтому радиационные поправки от этих частиц должны были бы учиты- ваться вместе с электронными поправками следующих порядков. Но если для мюонов вычисление радиационных поправок с по- мощью существующей теории в принципе допустимо, то для пи- онов (являющихся сильно взаимодействующими частицами) это невозможно. Это обстоятельство в принципе ограничивает возможность точных расчетов конкретных эффектов в существующей кван- товой электродинамике. Рассмотрение же в сколь угодно высо- ких приближениях поправок от одного лишь фотон-электронно- го взаимодействия было бы превышением допустимой точности. Рассмотренные в этом параграфе радиационные поправки к закону Кулона простираются, как мы видели, в области расстоя- ний г < 1/те. Мы можем теперь добавить, что полученные фор- мулы недостаточны на расстояниях г < 1/га^ (или l/m^), где становятся существенными также и эффекты поляризации ва- куума других частиц.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Радиационные поправки к закону Кулона» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
