Образование электронной пары при столкновении двух заря- женных частиц описывается диаграммами двух типов: р- A00.1) Две верхние сплошные линии отвечают сталкивающимся части- цам, нижняя — рождающейся паре. Рассмотрим в ультрарелятивистском случае столкновение двух тяжелых частиц (ядер). Изменением состояния движения самих этих частиц при таком столкновении можно пренебречь, т. е. можно рассматривать их как источники внешнего поля . Этому отвечают, две диаграммы первого типа: \qV lgB) lgB) lgA) II II A00.2) P- P -P+ P- P -P+ где q^\ q^ — «импульсы» компонент Фурье полей двух частиц. Потенциал А^ = (Ао, А), создаваемый равномерно движу- щейся со скоростью v классической частицей, удовлетворяет уравнениям - vt - г0), ПА = -47rZev?(r - vt - г0). Его компоненты Фурье: А0(ш, k) = -*f^Le-*kr°6(oo - kv) UJ2 — к2 и аналогично для А (о;, к). В четырехмерном виде где U — 4-скорость частицы, а 4-вектор xq = @, го). Если яд- ро 1 покоится в начале координат (iq = 0), то р = Tq ) есть вектор прицельного расстояния (в плоскости, перпендикулярной 1) Случай столкновения двух легких частиц (электронов), изменением дви- жения которых нельзя пренебречь, значительно более сложен. См. об этом указанную на с. 454 книгу В. Н. Байера, В. М. Каткова и В. С. Фадина. § 100 ОБРАЗОВАНИЕ ПАР ПРИ СТОЛКНОВЕНИЯХ ЧАСТИЦ 497 направлению движения ядра 2). Это выражение для A^(q) и дол- жно использоваться при аналитической записи диаграмм A00.2). В проведении вычислений этим способом в данном случае, од- нако, нет необходимости. Сечение образования пары может быть определено с помощью метода эквивалентных фотонов по из- вестному уже нам сечению образования пары фотоном на ядре. Замена поля одной из частиц (скажем, первой) спектром эквива- лентных фотонов означает, что в диаграммах A00.2) линии q^ рассматриваются как линии реальных фотонов. Совокупность этих двух диаграмм становится тогда тождественной с совокуп- ностью диаграмм, отвечающих образованию пары фотоном на ядре 2. При ?+, е- ^> т сечение последнего процесса дается формулой (94.5). Умножив это выражение на спектр (99.16) эк- вивалентных фотонов первого ядра, получим (с логарифмиче- ской точностью) дифференциальное сечение образования пары при столкновении частиц: л 8 2/7 7 \2 ds+ds- ( 2 i 2 i 2 \ da = -re{ZlZ2a) ^-±—^ (е+ + е_ + -е+е.) х 2?+?- 1п^ A00.3) S++S- где 7 = 1/л/1 — v2 ^> 1. Здесь предполагается, что га < е+, е- < Ш7 : A00.4) верхнее неравенство есть условие применимости метода эквива- лентных фотонов. В тоже время область, определяемая неравен- ствами A00.4), совпадает с областью энергий электрона и по- зитрона, существенных при интегрировании выражения A00.3). При интегрировании по ?+ или Е- при заданной сумме е = ?+ + +?_(^> 777,) существенна область вблизи верхнего предела; отбра- сывая члены, не содержащие большого логарифма, получаем 7 56 2//7 А7 \2i ? л ту de da = —rAZ\Z<ia) In — In—- —. 9тг eV } m ее Интеграл по ?, взятый по области A00.4), расходится как куб ло- гарифма, а на краях этой области — лишь как квадрат логариф- ма. В логарифмическом приближении (In 7 ^> 1), следовательно, область A00.4) действительно основная, и интеграл может быть взят в пределах от m до 7777. Имеем 498 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ. X так что полное сечение образования пары а = ^rl(ZlZ2af In3 -* A00.5) 27тг у 1 — v2 (Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, 1934). Рассмотрим теперь случай нерелятивистских скоростей стал- кивающихся ядер. В этом случае становится существенным изме- нение движения ядер под влиянием их взаимодействия, и основ- ной вклад в сечение образования пары дают диаграммы второго типа в A00.1). Таких диаграмм —четыре: две диаграммы P2< | < ' < P2 p'2< » < ! < P2 A00.6) life Ifc I и две аналогичные, в которых виртуальный фотон к (рождаю- щий пару) испускается первым, а не вторым ядром . Будем считать, что энергия пары мала по сравнению с кине- тической энергией относительного движения ядер в системе их центра инерции: 2 (Ю0.7) (v — начальная относительная скорость, М=М\М2/ {М1 приведенная масса ядер). Тогда можно пренебречь обратным влиянием рождения пары па движение ядер. Если в диаграммах A00.6) убрать электрон-позитронную линию, то оставшиеся их части будут изображать испускание сталкивающимися частица- ми виртуального фотона малой частоты (а;=?++?_). Мы возвращаемся, таким образом, к ситуации, рассмотренной в § 98 для испускания реального мягкого фотона, и можем восполь- зоваться полученной там для нерелятивистского случая форму- лой (98.13) (с тем отличием, что вместо амплитуды л/1тге* реаль- ного фотона будет стоять пропагатор виртуального фотона 2) . ) Отметим, что образованию пары при столкновении двух электронов от- вечает всего 36 диаграмм: 2! • 3! = 12 диаграмм типа а), получающихся друг из друга перестановками двух начальных и трех конечных электронов, плюс 2 • 2! • 3! = 24 диаграммы типа б), получающиеся таким же образом из двух диаграмм A00.6). 2)В нерелятивистском случае импульс фотона мал по сравнению с из- менением импульса излучающих частиц (\Sp\ ~ ш/v), и потому им можно пренебречь (по сравнению с Sp) даже тогда, когда не пренебрегаем энергией фотона. Это тем более относится в данном случае к виртуальному фотону, для которого к2 = (р+ +р_J > 0, так что |к| < ш. В этих условиях разница между реальным и виртуальным фотоном исчезает, чем и оправдывается использование формулы (98.13). § 100 ОБРАЗОВАНИЕ ПАР ПРИ СТОЛКНОВЕНИЯХ ЧАСТИЦ 499 Таким образом, амплитуда всего процесса рождения пары запи- шется в виде 2XDXfl(k)[-ie(u-^u+)], A00.8) где q = @, q), q = M(v' - v). Как обычно, в нерелятивистском случае фотонный пропага- тор следует выбрать в калибровке G6.14). По амплитуде A00.8) находим сечение процесса: 2 х р+ р~ D7rJfe_7Q^+h (Ю0.9) 2s+2s_B7rNu;2(u;2-k2JV J ' ' ^ +l ' V J где w = ?+ + e—, k = p+ + p_, Q = q — —k(qk); UJ2 d<Jpa,c — сечение упругого рассеяния ядер друг на друге (в систе- ме их центра инерции). Оно дается формулой Резерфорда ^ A00.10) (приближенное равенство предполагает малость отклонения ядер от их начального направления движения —оси х). Подста- вив это выражение в A00.9) и произведя обычным образом сум- мирование по поляризациям пары, получим х р{Ы )GQ)G^ )GQ)}?^ A00.11) Дальнейшее вычисление производится в приближении, в кото- ром все возникающие при интегрировании логарифмы считаются большими величинами. Мы увидим, что с этой точностью основ- ную роль играют энергии пары ?_|_, ?_ ^> т и углы б между р+ и р_ в области ш/б<6>< 1. A00.12) ) Диаграммы A00.6) соответствуют борновскому приближению для рас- сеяния ядер. Однако поскольку формула Резерфорда точная (для кулонова взаимодействия), то справедливость полученных результатов в действитель- ности не требует соблюдения условия применимости борновского приближе- 500 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ. X С соответствующими пренебрежениями вычисление следа в A00.11) дает + 2(p+q)(p_q) ^ причем можно положить: |р+| = ?+, |p_| = ?_. В знаменателе же () е+е- Интегрируя по направлениям р+ и р_ при постоянном угле между ними, получаем da = —(ZiZ2e2J—( — — — ) (е\ + e2_)de+de- x Зтг2 v2 \ Mi М2 / CLQyCLQz (~\ с\г\ 1 о\ х ; 7^^~- A00.13) 92 + ш (?+ + ?- Вид зависимости от в подтверждает предположение A00.12), и интегрирование по в дает In —^±?z # Интегрирование же по- следнего множителя в A00.13) производится в пределах от qy = = qz = 0 до 4 /q* + q% ~ 1/R, где Д — величина порядка радиуса ядер (это значение соответствует наименьшим прицельным рас- стояниям— см. ниже); это интегрирование дает тгln(ql + q% + q2z) 2тгIn —. qy=qz=O С другой стороны, полная энергия пары, равная изменению энер- гии ядер, есть ? = (?++ е-) = y(v/2 - v2) ~ Mv(v'x - vx) = vqx, откуда qx = e/v. Таким образом, находим ) tIn rfcr = —(ZiZ2e ) — — —-) -t In — In——ds+ds-, 3ttV J v2 \M2 Mj s4 Re me + а после интегрирования по ?+ или в- при заданной сумме е da = V(ZlZ2e2Je^(^ - ^ifln^ln^. A00.14) § 101 ИЗЛУЧЕНИЕ ФОТОНА ЭЛЕКТРОНОМ 501 Энергии е можно привести в соответствие прицельное расстоя- ние р ~ v/e (энергия пары — порядка частоты, отвечающей вре- мени столкновения). Поэтому логарифмическая расходимость при интегрировании по ? в A00.14) означает такую же расходи- мость по прицельным расстояниям. Это значит, что существен- ны большие р (тем самым, кстати, оправдывается использова- ние сечения рассеяния A00.10) в чисто кулоновом поле ядра). Соответственно существенна область энергий: т ^ е ^ v/R. Интегрирование A00.14) дает полное сечение образования пары; окончательно (в обычных единицах) dG = ™-(ZlZ2aJrl(c-O^ - ^)ln3 J™- A00.15) 27тг ' e\vJ V M2 Mi / mc2R V J (E. M. Лифшиц, 1935) *).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Образование пар при столкновениях частиц» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. 