Аннигиляции электрона и позитрона D-импульсы р_ и р+) с образованием двух фотонов (к\ и к2) отвечают две диаграммы: ¦<— Р- Они отличаются от диаграмм рассеяния фотона на электроне заменой р —>> р_, р'—>> —р+, к —>> — fei, ?/ —>> Й2- (88.2) Оба процесса — два перекрестных канала одной и той же (обоб- щенной) реакции. После замены (88.2) кинематические инвари- анты (86.2) приобретают следующий смысл: s = (р_ - fciJ, ) ( ) (88.3) к2J = (р_ - к2J Если рассеяние фотона было «s-каналом, то аннигиляция есть t- канал. Квадрат |Му^|2 для аннигиляции (усредненный по поляриза- циям электронов и просуммированный по поляризациям фото- нов) будучи выражен через инварианты s, и, совпадает с ана- логичной величиной для рассеяния с изменением лишь смысла инвариантов . В формуле же для сечения F4.23), в множите- лях при \Mfi\2, надо заменить: s <-> ?, причем для величины / имеем теперь, согласно F4.15а), I2 = U{t-Am2). 4 Произведя соответствующие изменения в формуле (86.6), полу- чим в результате сечение аннигиляции 2т 2 7 о 2 т as Физическая область аннигиляционного канала есть область II на рис. 7 (см. с. 299). При заданном t (заданной энергии в системе При этом учитывается, что фотоны и электроны имеют одинаковое чи- сло (два) независимых поляризаций и потому несущественно, по которым |М/г| усредняется, а по которым суммируется. 416 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ. X центра инерции) интервал изменения s определяется уравнением границы su = т4. Вместе с соотношением s + t + и = 2т2 это дает ^/t(tAm) ^ s - т2 ^ -- + -\/t(t-Am2). (88.5) Интегрирование выражения (88.4) элементарно; результат на- до еще разделить на 2, учитывая тождественность двух конеч- ных частиц (фотонов). Таким образом, получим (88.6) где г = t/4m2 (Р. Л. М. i?irac; 1930). В нерелятивистском пределе (т —> 1) находим отсюда <т = -НЦ(н.р.). (88.7) В ультрарелятивистском же случае (т —>> оо) ^l)(y. р.). (88.8) В лабораторной системе, в которой одна из частиц (скажем, электрон) до столкновения покоилась, инвариант г есть r = i(l+7), 7 = -- (88-9) 2 m Формулы (88.6)—(88.8) дают зависимость полного сечения от энергии налетающего позитрона: ^^T^] (88-10) В частности, в нерелятивистском пределе х) l (н. р.), (88.11) где г>+ — скорость позитрона. В системе центра инерции электрон, позитрон и оба фотона имеют одинаковые энергии е = ио. Инварианты: тп2 — s = 2е(е — |р| cos 6), m2 — и = 2е(е + |р| cos 6), ? = 4б2, (88.12) где в — угол между импульсами электрона и одного из фотонов. *) Эта формула, однако, неприменима, когда г>+ < а, и нельзя пренебрегать кулоновым взаимодействием компонент пары (ср. конец § 94). § 88 ДВУХФОТОННАЯ АННИГИЛЯЦИЯ ЭЛЕКТРОННОЙ ПАРЫ 417 Подставив (88.12) в (88.4), получим угловое распределение анни- гиляционных фотонов В ультрарелятивистском случае оно имеет симметричные мак- симумы в направлениях в = 0 и в = тг. Вблизи 6 = 0 2 2 j 7 гет ао / \ /оо 1 /i\ rfcr « ^ (у. р.). (88.14) 2s2((92+m2/s2) U F J V 7 Полное сечение получается из (88.6): 4г> In 1±^ - 2B - г;2)! , (88.15) 1 — г> J где г; = |р|/б = v?2 — т2/е — скорость сталкивающихся частиц. Мы не будем рассматривать здесь в деталях поляризацион- ные эффекты при аннигиляции *) . Остановимся лишь на неко- торых качественных особенностях этих эффектов в предельных случаях больших и малых скоростей v сталкивающихся частиц. Будем рассматривать процесс в системе центра инерции. В пределе v —>• 0 отличный от нуля вклад в сечение даст лишь состояние с орбитальным моментом относительного дви- жения / = 0. Но S-состояние системы «электрон + позитрон» имеет отрицательную четность (см. задачу к § 27). В нечетных же состояниях системы двух фотонов их поляризации взаимно ортогональны (см. § 9). Таким же свойством должны, следова- тельно, обладать в нерелятивистском случае и аннигиляционные фотоны. Если электрон и позитрон поляризованы, то в том же нере- лятивистском случае можно утверждать, что их аннигиляция возможна лишь при антипараллельных спинах. Действительно, поскольку аннигиляция происходит в ^-состоянии, полный мо- мент системы совпадает с полным спином частиц, равным 1 при параллельных спинах. Система же двух фотонов вообще не име- ет состояний с полным моментом 1 (см. § 9). В ультрарелятивистском пределе (v —>• 1) аннигиляция про- дольно поляризованных (спиральных) электрона и позитрона во- зможна лишь при разных знаках их спиральностей 2) . В этом пределе спиральные частицы ведут себя как нейтрино (см. ко- нец § 80), а потому аннигилирующие электрон и позитрон долж- ны быть аналогичны нейтрино и антинейтрино, откуда и следует сделанное утверждение. ^См. McMaster W. H.//Rev. Mod. Phys. —1961. — V. 33. —P. 8. 2) Поскольку направления импульсов частиц в системе центра инерции противоположны, различным по знаку спиральностям отвечают параллель- ные спины. 14 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том IY 418 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ. X Аннигиляция же электрона и позитрона с одинаковыми спи- ральностями возникает в ультрарелятивистском случае лишь при учете членов, содержащих т. По порядку величины ампли- туда этого процесса отличается множителем т/е от амплитуды аннигиляции пары с параллельными спинами; сечение же отли- чается соответственно множителем {т/еJ
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Двухфотонная аннигиляция электронной пары» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. В формуле же для сечения F4.23), в множите- 