Сохранение 4-импульса при рассеянии фотона свободным электроном (эффект Комптона) выражается равенством p + k=p' + kr (86.1) где рак — 4-импульсы электрона и фотона до столкновения, а р1 и к1 — их 4-импульсы после столкновения. Введенные в § 66 кинематические инварианты: s = (р + кJ = (pf + к1J = т2 + 2рк = т2 + 2р'к', t=(p- р1J = (к1 - кJ = 2(ш2 - рр1) = -2кк', (86.2) и=(р- к1J = (pf - кJ = т2 - 2рк' = т2- 2р'к, s + t + u = 2m2. Рассматриваемый процесс изображается двумя диаграммами Фейнмана G4.14), и его амплитуда Mfi = -AKe2e*ep(uQ^u), (86.3) где Q s — m2 и m (86.4) Здесь е, е' — 4-векторы поляризации начального и конечного фо- тонов; и, и' — биспинорные амплитуды начального и конечного электронов. Согласно изложенным в § 65 правилам, для произвольных поляризационных состояний частиц квадрат |М^| заменяется на г2е4 \Mfl\2 -»¦ 16тг2е4 Sp {pieyp{$Q^p{e}PttQXa} • (86.5) о (р) (рУ одесь рК >, рК > — матрицы плотности начального и конечного электронов, р^\ р^' —то же для фотонов; фотонные (тензор- ные) индексы выписаны явно, а электронные (биспинорные) под- разумеваются; знак Sp относится именно к последним индек- сам. К этим же индексам относится знак эрмитова сопряжения в определении Q^ = 70E^7°- § 86 РАССЕЯНИЕ ФОТОНА ЭЛЕКТРОНОМ 401 Рассмотрим рассеяние неполяризованного фотона на неполя- ризованном электроне, не интересуясь при этом их поляризаци- ями после рассеяния. Усреднение по поляризациям всех частиц достигается с помощью матриц плотности: РЦ = Р{х1 = ~\ё^ Р{е) = \{ПР + т\ рМ' = \Ы + ш); переход к суммированию по поляризациям конечных частиц осу- ществляется умножением еще на 2 • 2 = 4. По формуле F4.23) (в которой надо положить теперь I2 = = -(s — m2J — см. F4.15а)) получим для сечения da = ^{dt2J МЫ + ™)QX С помощью формул F5.2а) находим, что Q^x = Q\^. Отделив члены, переходящие друг в друга при замене к <Н> —к' (и соот- ветственно s <-> и), представим сечение в виде da = dt *e [/(s, и) + g(s, и) + f(u, s) + g(u, s)] , (s — m2J где обозначено f(s u\ = x x pr(e i/) — X 6V ' J 4,(s-m2)(u-m2) x Sp {GP7 + m)Y(^fp + jk + m) (в этих обозначениях мы заранее имеем в виду, что результат будет зависеть лишь от инвариантных величин). Суммирование по \i и v выполняется с помощью формул B2.6); отбросив затем члены с нечетным числом множителей 7, получим f(s, и) = — Sp{(jp')(lP + Jk)(jp)(jp + jk) + (s — m2J L + Am2{^fp + ^fk){^fk — jpf) + ^i2Gj9)G]9/) + 4m4}. Вычислив след с помощью формул B2.13) и выразив все вели- чины через инварианты s, и, найдем после простых преобразо- ваний Ж и) = (s_2m2J {4m2 - (S - m2)(« - m2) + 2m2(S - m2)} . 402 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ. X Аналогичным образом вычисляется g: / \ 2т2 Г/1 2 | / 2\ | / 2\1 g(s, и) = — {4га +(s-m ) + {и-т )) . (s — т2)(и — т2 В результате для сечения получим m2dt Г / т2 . т2 \ i^l ( 2+ г) s — т2J l\s — m2 и — т2 / s — m2 и — т2 / 4 \и — т2 s — т2 где ге = е2 /га. Эта формула выражает сечение через инвари- антные величины. С ее помощью легко выразить сечение через параметры столкновения в любой конкретной системе отсчета. Сделаем это для лабораторной системы отсчета, в которой электрон до столкновения покоился: р = (га, 0). Здесь s - га2 = 2гаа;, и - га2 = -2гао/. (86.7) Написав уравнение сохранения 4-импульса в виде р + к — к1 = р1 и возведя его в квадрат, получим рк — рк1 — кк1 = 0, откуда (в лабораторной системе) т(ио — ио') — иоио'{1 — cos д) = 0, где $ — угол рассеяния фотона. Этим равенством определяется связь между изменением энергии фотона и углом рассеяния: - - - = -A - costf) = 0. (86.8) Инвариант t: t = -2kk' = -2шш'A - costf) = 0. При заданной энергии ио находим (с помощью (86.8)) dt = 2a/2dcos # = -и'2 do', do' = 2тг sintfdtf. Подстановка написанных выражений в (86.6) приводит к следу- ющей формуле для сечения рассеяния в лабораторной системе отсчета: da=rl(^Y (!± + ^- sin2 A do> (86<9) {О. Klein, Y. Nishina, 1929; И. Е. Тамм, 1930). Поскольку угол $ однозначно связан с со' соотношением (86.8), сечение может быть выражено через энергию рассеянного фото- на со': К + — +(—--) -2т(— --) ' (86Л0) LUJ UJ \UJ UJ J \UJ UJ J л § 86 РАССЕЯНИЕ ФОТОНА ЭЛЕКТРОНОМ 403 причем ио' меняется в пределах W ^оо. (86.11) 1 + 2ио/т У J При uj <С т в (86.9) можно положить ио1 ~ о;, и получает- ся, как и должно быть, классическая нерелятивистская формула Томсона da= -r2(l + cos2 $)do' (86.12) (см. II, G8.7)). Для вычисления полного сечения вернемся к формуле (86.6). (входящие в нее инварианты s, ?, и пробегают значения, удовле- творяющие неравенствам s > га2, i ^ 0, us ^ ш4. (86.13) Они были уже получены в § 67 (соответствующая им физиче- ская область — I на рис. 7, с. 299). Легко убедиться в них и непо- средственно, написав выражения инвариантов в системе центра инерции. Здесь р + к = 0, а энергии электрона е и фотона ио связаны посредством е = \/ио2 + т2. Инварианты: s = (е + иоJ = га2 + 2ш(ш + е), и = т2 - 2ио(е + a;cos6>), (86.14) t = -2uo2(l -cos#), где б — угол рассеяния (угол между рир' или между кик7). Три неравенства (86.13) получаются из условий: ио ^ 0, — 1 ^ cos в ^ 1. При заданном s (заданной энергии частиц) интегрирование по t можно заменить интегрированием по и = 2m2 — s — t в интервале m4/s ^ гл ^ 2m2 — s. Введя вместо s, гл величины s — т2 т2 — и /оп -, гч ж = —, у = —, (86.15) т2 т2 получим Г J и после элементарного интегрирования МЫ (8616) 404 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ. X Первые члены разложения при х дают 8тггР2 а = 1 (нерелятивистский случай) A-х) (н. р.). (86.17) Первый член есть классическое томсоновское сечение. В обрат- ном, ультрарелятивистском случае i » 1, и разложение форму- лы (86.16) дает (у. р.). (86.18) В лабораторной системе отсчета х = 2ио/т, (86.19) так что формулы (86.16)—(86.18) прямо дают зависимость а сечения рассеяния на неподвижном электроне от энергии фотона. На рис. 13 дан график зависимости а от ио/т. Отметим, что в ультрареляти- вистском случае сечение падает с уве- личением энергии как в лабораторной системе отсчета (а ос uo~l In о;), так и в системе центра инерции х « 4а;2/??!2, а ос о; In о;). Угловое же распреде- ление в ультрарелятивистском случае носит в этих двух системах отсчета совершенно различный характер. В лабораторной системе диффе- ренциальное сечение имеет резкий максимум в направлении вперед. В ( 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0 V \ \ \ \ 1 0 0,01 0,1 Рис. 13 10 100 ио/т узком конусе # < ^Jm/uo имеем а/ ~ а; и сечение da/do' ~ r2 (достигая значения г2 при $ —>• 0). Вне этого конуса сечение убывает, и в области #2 ^> тп/ио (где ио' « га/A — cos?9)) имеем 2 cj(l-costf) т. е. сечение уменьшается в ~ ио/т раз. В системе же центра инерции дифференциальное сечение имеет максимум в направлении назад. При тг — в <^ 1 имеем из (86.14) Наибольший член в сечении (86.6) da « 8тгг2 m2dt 4(s — т2)(т2 — и) § 87 ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ 405 откуда г? do1 2 1 + (тг - 6Jио2/т2 Сечение da /do' ~ т\ в узком конусе тг — б < га/а;, а вне его уменьшается по порядку величины в о;2/га2 раз.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Рассеяние фотона электроном» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
