Между двумя нейтральными атомами, находящимися на бо- льших (по сравнению с их собственными размерами) расстоя- ниях г, действуют силы притяжения. Обычное квантовомехани- ческое вычисление этих сил (см. III, § 89) становится, однако, неприменимым на слишком больших расстояниях. Дело в том, что в этом вычислении рассматривается лишь электростатиче- ское взаимодействие, т. е. не учитываются эффекты запазды- вания. Такое рассмотрение справедливо лишь до тех пор, по- ка расстояние г остается малым по сравнению с характерными длинами волн Ао в спектрах взаимодействующих атомов. В этом параграфе будет произведено вычисление, свободное от такого ограничения. Поступим примерно так же, как в § 83, т. е. будем вычис- лять в первом не исчезающем приближении амплитуду упруго- го (без изменения внутреннего состояния) рассеяния двух раз- личных атомов. Полученное выражение сравним с амплитудой, которая получилась бы при описании взаимодействия атомов по- тенциальной энергией U®. В последнем случае первым не исчезающим элементом 5-ма- трицы, описывающим данный процесс, был бы элемент первого приближения Sfl = -i j / exp{-i(?i + е2 - е[ - e'2)t}dt. (85.1) Здесь ф\, ф2 и ф[, ф'2 — не зависящие от времени части волновых функций (плоских волн), описывающих поступательное движе- ние двух атомов с начальным и конечными импульсами; ?4, e2 и e'i-> е2 ~кинетические энергии этого движения; координаты ri и г2 атомов как целого можно понимать как координаты их ядер, а расстояние г = |ri — r21• Временной интеграл в (85.1) дает, как обычно, E-функцию, выражающую собой закон сохранения энергии. Для дальнейшего сравнения будет, однако, удобно фор- мально рассматривать предельный случай бесконечно больших масс атомов; при заданных их импульсах этому пределу отвеча- ют равные нулю энергии е. Иначе можно сказать, что рассма- триваются времена, малые по сравнению с периодами 1/е. Тогда (85.1) примет вид Sfi = -it f ф'1ф'*2и(г)ф1ф2A3х1A3х2, (85.2) где t — интервал интегрирования по времени. 394 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ ГЛ. IX Фактическое вычисление амплитуды упругого рассеяния мо- жно при сделанных предположениях разбить на два этапа. Сна- чала усредняем ^-оператор по волновым функциям неизменных (основных) состояний обоих атомов (при заданных координатах их ядер ri и Г2), а также по фотонному вакууму — в начале и в конце процесса фотоны отсутствуют. В результате получим ве- личину, являющуюся функцией от расстояния между ядрами; обозначим ее через (S®) г) . Чтобы найти искомый матричный элемент перехода, надо вычислить затем интеграл Sfi = J Ф'*1'ф1*2{8{г))'ф1'ф2^х1^х2. (85.3) Сравнив с (85.2), мы увидим, что если получить выражение для (S®) в виде (S®) = -itU®, то U(г) и будет искомой энергией взаимодействия атомов. Поскольку мы имеем дело в данном случае со столкновени- ем не элементарных частиц, а сложных систем (атомов, которые в промежуточных состояниях могут быть возбуждены), обыч- ные формальные правила диаграммной техники здесь непосред- ственно неприменимы, и мы начнем с исходного выражения для ^-оператора в виде разложения G2.10). Для взаимодействия атомов существенны компоненты полей с частотами порядка атомных (и меньшими). Соответствующие длины волн велики по сравнению с атомными размерами. По- этому оператор электромагнитного взаимодействия может быть взят в виде F = -E(n)di-E(r2)d2, (85.4) где di, d2 — операторы дипольных моментов атомов (имеются в виду зависящие от времени — гейзенберговские — операторы), а Е(г) —оператор электрического поля, который берется в точках нахождения соответствующих атомов. Как известно, средние значения дипольного момента атома в его стационарных состояниях равны нулю (см. III, § 75). Отсюда следует, что отличная от нуля амплитуда рассеяния появится только в четвертом приближении теории возмущений, т. е. как матричный элемент оператора t4- T{9 (h)V (t2)V (h)V(t4)}. (85.5) 1) Вместо более громоздкого обозначения диагонального матричного эле- мента— с указанием состояний атома и фотонного поля. 1 0 0 3 2 —о —о 4 1 \ \ t >s 3 2 / / \ \ 4 1 ] i i 4 3 2 I I I А 4 § 85 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АТОМОВ НА ДАЛЕКИХ РАССТОЯНИЯХ 395 Действительно, в более низких порядках каждый член в произ- ведениях операторов V будет содержать хотя бы один из опера- торов di или d2 в первой степени и при усреднении по состоянию соответствующего атома обратится в нуль. Усредним оператор (85.5) по фотонному вакууму. По теоре- ме Вика среднее от произведения четырех операторов поля Е сводится к сумме произведений их попарных средних (сверток). Разбиение на пары может быть произведено тремя способами, которые можно изобразить диаграммами: (85.6) где штриховые линии изображают свертки, а цифрам отвечают аргументы t\, ?2, ^з? ^4- Кроме того, каждой точке могут от- вечать пространственные координаты ri или Г2 (причем двум точкам ri и двум Г2; в противном случае в данном члене суммы один из операторов di или d2 войдет в первой степени и обра- тится в нуль при усреднении по состоянию атома). Очевидно, что в точках, соединенных линиями, должны стоять различные ri и Г2. В противном случае диаграмма (т. е. соответствующий ей член в матричном элементе) сведется к произведению незави- симых функций от ri и от Г2, вместо того чтобы быть функцией от разности ri — Г2; такие члены не имеют отношения к рассе- янию г) . В соответствии с этими условиями можно расставить аргументы ri и Г2 по четырем точкам диаграммы четырьмя спо- собами. Учитывая также коммутативность операторов di и d2 и усредняя по состояниям каждого из атомов, находим, что все получающиеся таким образом 3 • 4 = 12 членов одинаковы (они различаются лишь обозначением переменных интегрирования). В результате получим (85.7) где г, /с,... —трехмерные векторные индексы. 1) Они дают не интересующие нас здесь поправки к собственным энергиям каждого из атомов. 396 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ ГЛ. IX Для вычисления величин Dg(Xl - х2) = (Т(Ег(Х1)Ек(х2))) (85.8) воспользуемся калибровкой потенциалов, в которой скалярный потенциал Ф = 0. Тогда Е = —dA/dt, и мы имеем Dg(Xl - х2) = ^ ^ 1\U12 ОТ где х = х\ — Х2, a Dik(x) — фотонный пропагатор в данной кали- бровке х) . Ниже нам будет удобнее пользоваться пропагатором Dik(uo, r) в смешанном о;, r-представлении, который связан с Dik(t, r) со- отношением При этом Dg(t, r) = -г [u;2Dtk(u;, r)e~iwt^. (85.9) J 27r Величины otikih - t2) = i(T!{di(ti)dk(t2))) (85.10) разлагаем в интеграл Фурье (X) —iwt / \ dcu 2тг сю / Положив для удобства ?2 = 0, t\ = t, запишем по определению Т-произведения оо сцк(ч>)= I elwtatk{t)dt = — СЮ 0 оо = г Г eiwt(dk(O)di(t))dt + i f eiwt(di(t)dk(O))dt. (85.11) ) Первая производная —Dik(t) имеет конечный скачок при t = 0. Поэтому dt вторая производная, т. е. функция Dik(t), содержит также ^-функционный член (~ (Г4)(ж2 — х\)). Этот член, однако, равен нулю при всех п ф Г2 и нас здесь не интересует. § 85 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АТОМОВ НА ДАЛЕКИХ РАССТОЯНИЯХ 397 Входящие сюда средние (по основному состоянию атома) значе- ния выражаются через матричные элементы дипольного момента: (dk(O)di(t)) = (di(t)dk(o)) = Для сходимости интегралов в (85.11) в первом из них надо понимать ио как ио — гО, а во втором —как ио + гО. Произведя ин- тегрирование, получим = V ( alk(uo) = V ( по + и — гО J по п Если основное состояние является ^-состоянием, то этот тензор сводится к скаляру: а^ = с^гЬ ГДе а(ш) = - V |dOn|2 ( + ) • (85.13) n Если же атом обладает моментом, то тот же результат получится после усреднения по его направлениям, что и будет подразуме- ваться (нас интересует, конечно, взаимодействие атомов, усред- ненное по их взаимным ориентациям). Сравнив (85.12) с выражением E9.17), мы увидим, что a^iuo) совпадает с тензором когерентного рассеяния фотона частоты ио на атоме. Согласно E9.23) а(ш) при ио > 0 совпадет с поляризу- емостью атома. Значения же а(ио) при ио < 0 выражаются через значения при ио > 0 с помощью очевидного из (85.13) соотноше- ния а(—со) = а(ио). Подставив полученные выражения в (85.7), найдем /п/ \\ 1 / ii ii dQi dQ,2 duj\ duj2 (Sir)) = - / dt\. . . dti—-—-—-—- X V J/ 2 J 2тг 2тг 2тг 2тг x exp{-ia;i(ti - t2) - гоо2{и ~ U) - ifii(*i - t4) (r = ri — r2; мы учли также четность функции Z?^(a;, r) по г). Интегрирование по трем временам дает E-функции (в силу кото- рых —Oi = О2 = a;2 = cji), а по четвертому — множитель t: {S®) = -itU®, где U® = \ I ^ai(u)a2(uj)[Dlk(u, r)]2^. (85.14) 398 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ ГЛ. IX Эта формула и определяет энергию взаимодействия двух ато- мов на любых расстояниях, больших по сравнению с атомными размерами а. Остается найти и подставить сюда явное выраже- ние для функции Dik(uj, г). Сравнив друг с другом выражения G6.14) и G6.8), найдем, что Dik{u, k) = (Sik - Щ) D(u, к), где D дается формулой G6.8). В о;, r-представлении эта связь выразится, следовательно, равенством Dik(co, г) = - (Sik + -\т-?~) Я(", г)- (85-15) Подставив сюда D(w, г) из G6.16) и произведя дифференциро- вания, найдем Dik(uj, r) = \Sik[l + —- - —. ^ N1 —. (85.16) Наконец, подставив это выражение в (85.14), после простых пре- образований с учетом четности функции а(ио) получим следую- щее окончательное выражение для энергии взаимодействия ато- мов: Щг) = ОО = -L Г тгг2 j uor (cjtJ (cjr)^ (cjr)^ (85.17) Это общее выражение можно упростить в предельных случа- ях «малых» (а <С г <^ Ао) и «больших» (г ^> Ао) расстояний. При г < Ао в интеграле существенны (см. ниже) значения о;~о;о, где ojq^c/Xq — атомные частоты; поэтому иог<^1. В этом случае можно оставить в квадратных скобках только последний член и заменить экспоненту единицей. Написав интеграл в преде- лах от — оо до оо (с целью дальнейшего преобразования), найдем (X) ^) = А / aiMaiMdw. (85.18) Как и должно быть, мы получили для взаимодействия на этих расстояниях закон 1/г6. Интеграл в этой формуле легко вычис- § 85 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АТОМОВ НА ДАЛЕКИХ РАССТОЯНИЯХ 399 ляется, после подстановки в него а(оо) из (85.13), путем замыка- ния контура интегрирования бесконечно удаленной полуокруж- ностью в нижней полуплоскости комплексной переменной ио] при этом интеграл определяется вычетами подынтегрального выра- жения в полюсах ио = оопо ~ coq. Предположив для упрощения записи результата оба атома одинаковыми, получим (в обычных единицах) ~ v , / , (85.19) n,n' что совпадает с формулой Лондона (см. III, § 89, задача). В предельном же случае больших расстояний, г ^> Ао, в инте- грале существенны значения со < с/г <С ooq] при со > ooq интеграл погашается быстро осциллирующим множителем ехрBго;г). По- этому можно заменить поляризуемости а\(ио) и ot2{uS) их стати- ческими значениями ai@) и «2@). После этого интегрирование производится элементарно (причем для обеспечения сходимости следует заменить в экспоненте г —>> г + гО. В результате оконча- тельно находим (в обычных единицах): U® = _g3ficai@)aa@) (852()) 4тг г7 (H.B.G. Casimir, D. Polder, 1948) :).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Взаимодействие атомов на далеких расстояниях» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
