Полученные в предыдущем параграфе формулы можно при- менить к позитронию — водородоподобной системе из электрона и позитрона. В системе центра инерции операторы импульсов электрона и позитрона в позитронии: р_ = —р+ = р, где р = —iKV — оператор импульса относительного движения, соответствующий относительному радиус-вектору г = г_— г+. Полный гамильто- § 84 позитроний 389 ниан позитрония г) ТТ Р б . туг туг туг m r г3 Здесь /io = еН/Bтс) —магнетон Бора, й/ = [гр] — оператор ор- битального момента, S = (сг+ + сг_)/2— оператор полного спина системы (его квадрат S2 = ^(З + сг+сг_)). В V\ включены все поправочные члены чисто орбитального характера; V2 — спин-ор- битальное взаимодействие; V3 включает в себя спин-спиновое и «аннигиляционное» взаимодействия. «Невозмущенный» гамильтониан т г отличается, естественно, от гамильтониана атома водорода лишь заменой массы электрона приведенной массой га/2. Уровни энер- гии позитрония поэтому вдвое меньше (по абсолютной величине) уровней атома водорода: Е = -J^L (84.2) (п — главное квантовое число). Остальные члены в (84.1) приводят к расщеплению уров- ней (84.2) —появлению тонкой структуры. Возникающие уровни классифицируются прежде всего по значениям полного момен- та j. Мы видим также, что операторы спинов частиц входят в гамильтониан (84.1) только в виде суммы S. Это значит, что га- мильтониан коммутативен с оператором квадрата полного спина S2, т. е. полный спин продолжает сохраняться и в рассматри- ваемом (втором по 1/с) приближении. Поэтому уровни энергии позитрония можно классифицировать также и по полному спи- ну, принимающему значения S = 0 и S = 1. Уровни со спином О называют уровнями парапозитрония, а уровни со спином 1 — уровнями ортопозитрония. Следует подчеркнуть, что сохранение полного спина в пози- тронии является в действительности точным законом, не свя- занным с тем или иным приближением по 1/с; он следует из ) В обычных единицах. 390 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ ГЛ. IX СР-инвариантности электромагнитных взаимодействий. Пози- троний представляет собой истинно нейтральную систему, а по- тому его состояния характеризуются определенными зарядовой и комбинированной четностями. Последняя равна (—1)^+1 (см. задачу к § 27); поскольку S может иметь лишь два значения, 0 и 1, то сохранение комбинированной четности эквивалентно со- хранению полного спина. При S = 0 полный момент j совпадает с орбитальным. При спине же S = 1 и заданном j число / пробегает значения j, j• ± 1, соответственно чему каждый уровень (n, j) ортопозитрония рас- щепляется, вообще говоря, на три уровня. Поскольку значениям I = j и I = j ±1 отвечают различные четности, гамильтониан не имеет матричных элементов, связывающих эти состояния. Од- нако оператор возмущения (первый член в V3), вообще говоря, имеет недиагональные элементы, связывающие состояния с / = = j-\-lnl=j — 1, при этом число / теряет, разумеется, строгий смысл орбитального момента. Специфическими свойствами обладает эффект Зеемана в по- зитронии (В. Б. Берестецкий, И. Я. Померанчук, 1949). Орбитальный магнитный момент позитрония равен всегда нулю: поскольку в позитронии [г+р+] = [г_р_], оператор Щ = W)([r+p+] - [г-р-]) = 0. Оператор же спинового магнитного момента <т_) (84.3) не пропорционален оператору полного спина S = 1/2(сг+ ~~ сг-) •> а операторы S2 и Д2 не коммутативны. Поэтому состояния с опре- деленными значениями полного спина S и его проекции Sz не являются, вообще говоря, собственными состояниями для маг- нитного момента. Состояния с заданными S и Sz описываются спиновыми фун- кциями Xssz •> имеющими вид Хп = су+су— •) Xi—I = P+P—1 1 Хю = -щ Хоо = -щ где а и ^ — спиновые функции одной частицы, соответствующие проекциям спина +lfe и —XJ2 (индексы «+» или « —» указыва- ют, что функция относится к позитрону или электрону). Из них первые две (хп и Xi-i) —одновременно и собственные функции оператора jiZl отвечающие собственному значению \iz = 0. Функ- § 84 позитроний 391 ции же хю и Хоо не являются собственными функциями \iz\ та- ковыми являются комбинации -^(Хю + Хоо) = <*+?-, -^(Хю - Хоо) = а_C+. (84.5) Легко видеть, что единственными отличными от нуля элемента- ми матрицы (S'SzI/jLzISSz), вычисленными по функциям (84.4), являются элементы (ОО|//,|1О) = AО|м2|ОО) = 2//о- (84.6) В слабых магнитных полях (когда /jLqH <С А, где А — раз- ность между энергиями уровней с S = 0 и S = I) исходным приближением для вычисления зеемановского расщепления яв- ляются состояния с определенными значениями полного спина. В первом приближении это расщепление дается средним значе- нием оператора энергии возмущения VH = -%Н. Но все диагональные матричные элементы оператора fiz (а тем самым и Vh), вычисленные по функциям (84.4), равны нулю. Таким образом, в слабых полях линейный эффект Зеемана в по- зитронии отсутствует. В предельном случае сильных полей (/jqH ^> А) можно пре- небречь взаимодействием спинов, приводящим к установлению определенных значений S. Компоненты расщепленного уровня будут в этом случае соответствовать состояниям с определенны- ми значениями \iz = ±2/io (описываемым функциями (84.5)), а величина их сдвига будет составлять ±2/jqH.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Позитроний» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
