Существенным этапом в анализе реакции вида a + b^c + d F8.1) является разложение амплитуды рассеяния по парциальным ам- плитудам, каждая из которых отвечает (при заданной полной энергии е) определенному значению полного момента частиц J в системе их центра инерции х) . Эти парциальные амплитуды представляют собой, другими словами, элементы ^-матрицы в моментном представлении: {eJ'M'\S\eJM). Поскольку момент J и его проекция М на заданную ось z со- храняются, 5-матрица диагональна по этим числам (как и по энергии е). При этом в силу изотропии пространства диагональ- ные элементы не зависят от значения М. При заданных J, М, е матрица рассеяния остается еще матрицей по отношению к спи- новым квантовым числам; элементы этой матрицы мы будем за- писывать более коротко в виде {eJM>!\S\eJM\ = (A'|SJ(?)|A), F8.2) где А и А7 — совокупности спиновых квантовых чисел. В каче- стве последних наиболее естественно воспользоваться здесь спи- ральностями частиц. Напомним, что спиральность (в отличие от проекции спина на произвольную ось в пространстве) сохра- няется для свободной частицы, а также что она коммутирует как с импульсом, так и с моментом частицы (см. § 16). Поэтому спиральностями можно пользоваться как в импульсном, так и в моментном представлениях матрицы рассеяния. Элементы ^-матрицы по индексам спиральностей мы будем называть спиральными амплитудами рассеяния и, таким обра- зом, будем подразумевать под А и А7 совокупности спиральностей начальных и конечных частиц: А = (Аа, А&), А7 = (Ас, А^). В импульсном представлении элементы матрицы рассеяния определяются по отношению к состояниям |бпА) (п = р/|р| —на- правление импульса относительного движения в системе центра инерции), а в моментном — по отношению к состояниям \eJMX). Они выражаются друг через друга в виде разложений \JMX) = I |nA)(nA|JMA) don, F8.3) г) Большая часть результатов, излагаемых в § 68, 69, принадлежит Жакобу и Вику (М. Jacob, G. С. Wick, 1959). § 68 РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ПАРЦИАЛЬНЫМ АМПЛИТУДАМ 303 где интегрирование производится по направлениям п (энергию е в символах состояний будем для краткости опускать). В силу унитарности этого преобразования (см. III, § 12) коэффициенты обратного преобразования (JM A|nA) = (nA| JM А)*. F8.4) По общему правилу преобразования матриц эти же коэффици- енты определят связь между элементами ^-матриц в обоих пред- ставлениях: (n'A'|S|nA) = ^2(nfXf\JMXf)(JMXf\S\JMX)(JMX\nX). F8.5) JM Коэффициенты разложения F8.3) легко найти с помощью результатов § 16. Пусть волновые функции всех состояний выражены в им- пульсном представлении, т. е. как функции направления импуль- са (при заданной энергии); это направление как независимую пе- ременную обозначим v в отличие от направления п как кванто- вого числа состояния. В этом представлении волновая функция имеет вид A6.2) ФпхН = uwS{2)(v - п). F8.6) При подстановке F8.6) в разложение F8.3) последнее сводится к одному члену: *Флм\ = (yX\JMX)vS К F8.7) Спиральность Аа и А^ каждой из двух частиц определяется как проекция ее спина на направление ее же импульса. Если им- пульсы частиц ра = р, р^ = — р, то для первой частицы это — направление п, а для второй — направление —п. Если рассма- тривать теперь систему как одну частицу со спиральностью Л в направлении п, то Л = Аа — А&. Ее волновая функция (в импульс- ном представлении) может быть представлена согласно A6.4) в виде Сравнив выражения F8.7), F8.8) (и изменив обозначение пере- менной v на п), получим для искомых коэффициентов (п\\Ш\) = у!Е±1яЦ,(п). F8.9) Подстановка этих коэффициентов в F8.5) дает <п'А'|5|пА> = ? ^1)^(п'Lм*(nXA'I^IA), F8.10) JM А = Аа — Ль, Л = Ас — Ad, 304 МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ где использовано сокращенное обозначение F8.2). Выберем нап- равление п в качестве оси z\ тогда <п'А'|5|пА> = ? 2-^D%\(n')(\'\SJ\\). F8.11) и F8.10) принимает вид J Мы видим, что разложение по парциальным амплитудам осу- ществляется с функциями ?>д/д в качестве коэффициентов. Для реакции вида F8.1) удобно определить амплитуду рассеяния / таким образом, чтобы сечение (в системе центра инерции) было da= \(ri\'\f\n\)\2do' F8.12) (сравнением с F4.19) можно связать эту амплитуду с матричным элементом Mfj). Ее разложение по парциальным амплитудам на- пишем в виде (n'A'|/|nA) = ^BJ + l)D^M(n')D(kJ>(n)(X'\fJ\X), F8.13) JM или, выбирая ось z вдоль направления п: (n'A'|/|nA> = ^BJ + l)Z?^(n')(A'|/J|A>. F8.14) J Эта формула представляет собой обобщение обычного разложе- ния по парциальным амплитудам для рассеяния бесспиновых ча- стиц (см. III, A23.14)). Поскольку Dqo = ^l(cos#), при равных нулю спинах F8.14) сводится к разложению по полиномам Ле- жандра L Сечение F8.12) относится к случаю, когда все частицы име- ют определенные спиральности. Если же частицы находятся в смешанных поляризационных состояниях, то сечение получает- ся путем усреднения произведения по поляризационным матрицам плотности частиц (см. примеч. на с. 204). Так, для реакции между неполяризо- ванными частицами a, b с образованием неполяризованных же 69 СИММЕТРИЯ СПИРАЛЬНЫХ АМПЛИТУД РАССЕЯНИЯ 305 частиц - (ось z с, d получим do v~^ (Л) х (А( направлена по п, JJ' eAd|/J'|A« знак у cd ;А5)*Дд/д(п/)Дд,д(п/) F8.15) означает суммирование по . Заменив функцию ?)д/д согласно формуле E8.19) (см. III) и затем воспользовавшись разложением A10.2) (см. III), получим окончательно da = (A)JJ' -Л о)(а' -A' (б —угол между n7 и осью 2:); суммирование по L производится по всем целым значениям, возникающим при векторном сложе- нии J и J7. Разложение амплитуды рассеяния по парциальным ампли- тудам полностью учитывает все свойства углового распределе- ния рассеяния, связанные с симметрией по отношению к про- странственным вращениям. Оно, однако, не учитывает в явном виде свойства, связанные с симметрией по отношению к про- странственной инверсии. Р-инвариантность (если взаимодействие обладает ею) приводит к определенным связям между различ- ными спиральными амплитудами (см. ниже, § 69).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Разложение по парциальным амплитудам» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
